知識點一 導數與函數的單調性

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1、真誠為您提供優(yōu)質參考資料，若有不當之處，請指正。 1.函數的單調性：在某個區(qū)間（a,b）內，如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞減.如果，那么函數在這個區(qū)間上是常數函數. 注：函數在（a,b）內單調遞增，則，是在（a,b）內單調遞增的充分不必要條件. 2.函數的極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，并且，曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正． 一般地，當函數 在點處連續(xù)時，判斷 是極大（?。┲档姆椒ㄊ牵? （1）如果在附近的左側 ，右側，那么是極大值． （2）如果在附近的左側 ，右側，那么 是極小值．

2、 注：導數為0的點不一定是極值點 知識點一：導數與函數的單調性方法歸納： 在某個區(qū)間（a,b）內，如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞減.如果，那么函數在這個區(qū)間上是常數函數. 注：函數在（a,b）內單調遞增，則，是在（a,b）內單調遞增的充分不必要條件. 例1】（B類）已知函數的圖象過點，且在點處的切線方程為. （Ⅰ）求函數的解析式； （Ⅱ）求函數的單調區(qū)間. 【解題思路】注意切點既在切線上，又原曲線上.函數在區(qū)間上遞增可得：；函數在區(qū)間上遞減可得：. 【例2】（A類）若在區(qū)間[－1,1]上單調遞增，求的取值范圍. 【解題思路

3、】利用函數在區(qū)間上遞增可得：；函數在區(qū)間上遞減可得：.得出恒成立的條件,再利用處理不等式恒成立的方法獲解 【例3】（B類）已知函數,,設． （Ⅰ）求函數的單調區(qū)間； （Ⅱ）若以函數圖像上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的最小值 【課堂練習】 1.（B） 已知函數的圖像經過點，曲線在點處的切線恰好與直線垂直. （Ⅰ）求實數的值； （Ⅱ）若函數在區(qū)間上單調遞增，求的取值范圍. 2．（B類）設函數，在其圖象上一點P（x，y）處的切線的斜率記為 （1）若方程的表達式； （2）若的最小值

4、 3.（A類）已知函數 ，．當 時，討論函數 的單調性. 例一[解析】（Ⅰ）由的圖象經過，知， 所以. 所以. 由在處的切線方程是， 知，即，. 所以 即 解得. 故所求的解析式是. （Ⅱ）因為， 令，即， 解得 ，. 當或時，， 當時，， 故在內是增函數，在內是減函數，在內是增函數. 例二【解析】又在區(qū)間[－1,1]上單調遞增 在[－1,1]上恒成立 即在 [－1,1]時恒成立. 故的取值范圍為　 例三解析】（I）， ∵，由，∴在上單調遞增. 由，∴在上單調遞減. ∴的單調遞減區(qū)間

5、為，單調遞增區(qū)間為. （II），恒成立 當時，取得最大值. ∴，∴amin= 課堂練習；1，【解析】（Ⅰ）的圖象經過點 ∴ ∵，∴ 由已知條件知 即 ∴解得： （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令則或 ∵函數在區(qū)間上單調遞增 ∴ ∴或 即或 2，解析】（1）根據導數的幾何意義知 由已知-2、4是方程的兩個實根 由韋達定理， （2）在區(qū)間[—1，3]上是單調遞減函數，所以在[—1，3]區(qū)間上恒有 其中點（—2，3）距離原點最近， 所以當有最小值13 3，【解析】∵， ∴（1）當時，若為增函數； 為減函數； 為增函數． （2

6、）當時，為增函數； 為減函數； 為增函數 知識點二: 導數與函數的極值最值方法歸納： 1.求函數的極值的步驟: (1)確定函數的定義域，求導數 . (2)求方程的根. (3)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查 在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么在這個根處無極值. 2.求函數在上最值的步驟：（1）求出在上的極值. （2）求出端點函數值.

7、 （3）比較極值和端點值，確定最大值或最小值. 注:可導函數在處取得極值是的充分不必要條件. 【例4】（A類）若函數在處取得極值,則 . 【解題思路】若在附近的左側，右側，且,那么是的極大值；若在附近的左側，右側，且,那么是的極小值. 【解析】因為可導,且,所以,解得. 驗證當時, 函數在處取得極大值. 【注】 若是可導函數，注意是為函數極值點的必要條件.要確定極值點還需在左右判斷單調性. [例5】（B類）已知函數， （I）求的單調區(qū)間；（II）求在區(qū)間上的最小值. 【解析】（I），令；所以在上遞減，在上遞增； （II）當時，函數在區(qū)間上遞增，所以；

8、 當即時，由（I）知，函數在區(qū)間上遞減，上遞增，所以；當時，函數在區(qū)間上遞減，所以. 【例6】（B類）設是函數的兩個極值點. （1）試確定常數a和b的值； （2）試判斷是函數的極大值點還是極小值點，并求相應極值. 【解析】（1） 由已知得： （2）變化時.的變化情況如表： （0，1） 1 （1，2） 2 — 0 + 0 — 極小值 極大值 故在處，函數取極小值；在處，函數取得極大值 4.（A類）設.若在上存在單調遞增區(qū)間，求的取值范圍. 5.（B類）設，． （1）求的單調區(qū)間和最小值； （2）討論

9、與的大小關系； 6.（C類）已知函數 (Ⅰ)證明：曲線 . 課堂練習；4，【解析】在上存在單調遞增區(qū)間， 即存在某個子區(qū)間 使得. 由， 在區(qū)間上單調遞減，則只需即可. 由解得， 所以，當時，在上存在單調遞增區(qū)間 5，解】（1）由題設知，∴令0得=1， 當∈（0，1）時，＜0，是減函數，故（0，1）是的單調減區(qū)間. 當∈（1，+∞）時，＞0，是增函數，故（1，+∞）是的單調遞增區(qū)間， 因此，=1是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值為 (2)，設，則， 當時，，即，當時，， 因此，在內單調遞減，當時，，即 6，【解析】(Ⅰ) ，，又 曲線的切線方程是：，在上式中令，得. 所以曲線 7 / 7