安徽省高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第4單元第23講 簡(jiǎn)單的三角恒等變換課件 理

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1、能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換212sin 22.5 1233A. B. 1.(2010)C. D.2232福計(jì)算的結(jié)果等建于卷2cos45 B.2 原式，解析：故選sin1. 9s10n.iAAA由兩角和的正弦公式得由弦函數(shù)有界，得性知，解析：sincoscossin1 ABCD2.ABCABBABBABC在中，已知，則是直角三角形 銳角三角形鈍角三角形 等邊三角形(1tan)(1tan)2 A. B.443C 2 443.DkkkkkkZZZ若，則的值是，.，.，(1tan)(1tan) 2tantantantan1tan()B.14kk

2、 Z因?yàn)?= ，所以= ，所以= ，所解以= ，析：故選 要用終邊相同的易錯(cuò)點(diǎn)：角表示2 3tantan63cos4cos . ABABAB若，則3tan131tantan221coscoscos23.4tanAtanBABtanAtanBcosA cosBsinA sinBABcosA cosBABAB，所以，即，所以解析： ()22 122 .5 sincos已知，化簡(jiǎn) 2221222242222|sincos2 cos|()22224 22(sincos)2co2sin.2s222sincossincoscos 解析： 因?yàn)椋遥?，所以原式 2 aa，漏掉易錯(cuò)點(diǎn)：絕對(duì)值 12 三角函數(shù)

3、式化簡(jiǎn)的一般要求：三角函數(shù)種數(shù)盡量少；項(xiàng)數(shù)盡量少；次數(shù)盡量低；盡量使分母不含三角函數(shù)式；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)式；能求出的值應(yīng)盡量求出值依據(jù)三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常采用的變換方法：異角化同角；異名化同名；異次化同次；高次三角化簡(jiǎn)求值降次常見的有給變換的基本題型化簡(jiǎn)、求值和證明角求值，給值求值，給值求角 ()3給角求值的關(guān)鍵是正確地分析角已知角與未知角之間的關(guān)系，準(zhǔn)確地選用公式，注意轉(zhuǎn)化為特殊值給值求值的關(guān)鍵是分析已知式與待求式之間角、名稱、結(jié)構(gòu)的差異，有目的地將已知式、待求式的一方或兩方加以變換，找出它們之間的聯(lián)系，最后求待求式的值給值求角的關(guān)鍵是求出該角的某一三角函數(shù)值，討論角的范圍，求

4、出該角它包括無條件的恒等式和附加條件恒等式的證明常用方法：從左推到右；從右推到左證明；左右互推2tan22 2 2()2212241.cossinsin 已知：，求例的值題型一題型一 恒等變換下的化簡(jiǎn)求值恒等變換下的化簡(jiǎn)求值222tan22 22 212tantan222()()24 2tan0tan2.2cossin1cossin22sin() 2 23.2(sincoscossin)444112112tantancossintansincostan 由，解得或，因?yàn)?，所以?，所以析，所以解： 對(duì)于附加條件求值問題，要先看條件可不可以變形或化簡(jiǎn)，然后看所求式子能否化簡(jiǎn)，再看它們之間的相互聯(lián)

5、系，通過分析找到已知與所求評(píng)析：的紐帶(1sincos )(sincos)21222cos3(2 )2式 ：化變簡(jiǎn)：222332242(2cos2sincos)(sincos)222222(1 cos )2222222|2(sincos)(sincos)cossin22222 c2os .cossincossincosacos 因?yàn)椋?，所以原式解析?2cos()s2.in()292320cos2 已知，例且，求的值題型二題型二 恒等變換下的拆角求值恒等變換下的拆角求值() ()222()()222sin() cos()22抓住已知角，分析： 與目標(biāo)角的關(guān)系：，因此先求得，的值，再代公式2

6、20230.242212cos()0sin()02923022221sin()11 22 59 4.9cos 因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解所以析?225cos()112233coscos()()222cos()cos()sin()sin()222215452()939 75 .273sin ，故解析：“”“”“”“”()()2()222()()22 根據(jù)已知角與目標(biāo)角的聯(lián)系，將題目中的目標(biāo)角整體 變成 已知角整體 之間的 和、差、倍、半、余、補(bǔ)、負(fù) ，應(yīng)用已知條件，直接解決問題常用 湊角 技巧：，評(píng)析：等111coscos()(0)7142(22.) 已知，且， ，式求變的值221(0)co

7、s274 3sin1711() cos()2 145 3sin()114coscos 因?yàn)椋?，且，所以，又因解為，所以析：，coscos()cos()cossin()sin11153431.1471472(0)()2.20)3(a 所以又， ，則，所以(0,18 0 )( 90 90 )在給角求角的式子中，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)角與已知角的聯(lián)系，將目標(biāo)角用已知角表示，求得其某一名三角函數(shù)值但對(duì)于在間的角，選用余弦或正切比選用正弦好，在，間的角，宜選用正弦注意避開討論，減評(píng)析：少失誤333sin3 si3.(2n010)cos3 coscos 2 .xxxxx證明：例南京模擬題型三題型三 恒等變換下的三角證

8、明恒等變換下的三角證明33211sin3 sin1cos2cos3 cos1cos2221cos3 cossin3 sin21 cos2cos3 cossin3 sin211cos2cos2 cos4221cos21cos4cos 22xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx證明：注意到左邊的角為“ ”和“ ”，因此應(yīng)盡量將左邊的角向右邊的角“ ”靠攏左邊右邊 “” 三角恒等式的證明實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)化簡(jiǎn)過程，因此我們?nèi)匀灰⒁馊呛愕茸儞Q思想方法的靈活運(yùn)用不同于化簡(jiǎn)求值問題的地方是化簡(jiǎn)不是隨意化簡(jiǎn)，而是要等于等式的另一端，因此在化簡(jiǎn)過程中，必須強(qiáng)化 目標(biāo)意識(shí) ，也就是每化簡(jiǎn)一步要盡量向其

9、評(píng)析：目標(biāo)靠攏sinsin(2)(1)1tan(3)a.t n .2mmmm已知，求證：變式sinsin(2)sin()sin ()sin()coscos()sin sin()coscos()sin1sin()cos1cos( 1tan)sin()tan .2mmammmmmm因?yàn)?，所?證明，所以 ，所以 ，所以： 23 sincos1sin2.2131 2sin2cos42242tan().3nnnnaaaaanS等比數(shù)備選例題列中，其中 求： 是數(shù)列的第幾項(xiàng)？若 ，求數(shù)列的前 項(xiàng)和 2321*2112sincos1.(sincos )()nnnaqasinsincosqasincossi

10、ncosaaanqN設(shè)數(shù)列的公比為 ，則解析： ，所以所以 22245132sin 2cos42211(4sin 2cos43)4sin 2(12sin 2)3221(2sin 24sin 22)(1sin 2)2(sincos)132sin 2cos42215naa ，所以是數(shù)列中解析：的 第 項(xiàng) 11115115244tan()tan3343sincos25511sinc( ).144515os( )55nnnnnqSa 由，得-，又，所以，所以，所以，解析： 故 123三角恒等變形的實(shí)質(zhì)是對(duì)角、函數(shù)名稱及運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是一系列的三角公式，因此對(duì)三角公式在實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化中的應(yīng)

11、用應(yīng)有足夠的了解：同角三角函數(shù)關(guān)系可實(shí)現(xiàn)函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)公式及和、差、倍角的三角函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)角的形式的轉(zhuǎn)化倍角公式及其變形公式可實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)的升冪或降冪的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也可完成角的轉(zhuǎn)化510(0)coscos2510.xyxyxy已知 ， ，且，求253 10(0)sinsin25102sinsincoscossin.2(0)(0)23.44xyxyxyxyxyxyxypxy由 ， ，得，則又由 ， ，得，故或錯(cuò)解：(0)xy這里選用了兩角和的正弦公式求的值，但是在，上與一個(gè)正弦值對(duì)應(yīng)的角不唯一，從而造成了多解的錯(cuò)誤，這里應(yīng)選用余弦或錯(cuò)解分析： 正切公式2 53 10sinsin.5102coscos cossin sin02(03.4)xyxyxyxyxyxy正解： 由題設(shè)，可知，由， ，得，