安徽省高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第5單元第29講 平面向量的數(shù)量積課件 理

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1、12 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量是否具有垂直關(guān)系31.設(shè)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量是任意的非零平面向量,且相互不共線且相互不共線,則則（ab）c-（ca）b=0；|a|-|b|a-b|；（bc）a-（ca）b不與不與c垂直垂直；（3a+2b）（）（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中，是真命題的有中，是真命題的有（ ）A.B.C.D.D4 平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故假故假；由向量的減法運(yùn)算可知由

2、向量的減法運(yùn)算可知|a|、|b|、|a-b|恰為一個(gè)三角形恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由的三條邊長(zhǎng)，由“兩邊之差小于第三邊兩邊之差小于第三邊”，故真，故真；因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋╞c）a-（ca）bc=（bc）ac-（ca）bc=0，所以垂直，所以垂直.故假；故假；（3a+2b）（）（3a-2b）=9aa-4bb=9|a|2-4|b|2成立成立.故故真真.故選故選D. 易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)向量數(shù)量積運(yùn)算易混淆于代數(shù)中的代數(shù)式運(yùn)算，對(duì)向量數(shù)量積運(yùn)算易混淆于代數(shù)中的代數(shù)式運(yùn)算，錯(cuò)誤類比使用某些運(yùn)算律錯(cuò)誤類比使用某些運(yùn)算律.解析5 603 ( )2.abab已知 、 均為單位向量，它們的夾角為，那么C解析 33|

3、3 |2 |22|3 |cos601 9123 1132C. ababbab a遵循平行四邊形法則故選6 2,34,7( .)3 abab已知，則 在 上的投影為 6513A. .55C. 13 . 65BDA解析 cos| |2( 4)371365 .54272A65. a ba baaabb故選7 1,1(. 23)24.kkababa 已知向量，若與 垂直，則實(shí)數(shù) 等于_解析：2(416)1,12460.kkkkkkkabaab a，由已知得，解得-185.已知已知a=（,2），），b=（3,2）,如果如果a與與b的夾角為銳角的夾角為銳角,則則的取值范圍是的取值范圍是。. a與與b的夾角

4、為銳角，即的夾角為銳角，即cos=且且akb，可得，可得0且且.故填：故填：0且且. 易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)夾角為銳角的要求只注意到對(duì)夾角為銳角的要求只注意到cos0而忽略而忽略cos1的限制的限制.0且130a ba b 43134313解析91.數(shù)量積的概念數(shù)量積的概念_()._.abab 已知兩個(gè)非零向量 和 ，它們的夾角為 ，我們把數(shù)量叫做 與 的數(shù)量積 或內(nèi)積 ，記作_規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為cosa b|cosa ba b0 1_2_ 3_.向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：；數(shù)量積的性質(zhì)：a bb a()()()a ba babab ca cb c10 2 1_() 2_30_4 c

5、os_5 | _|.eaeaaa ba ba b是與 同方向的單位向量； ； ； ae |a| 2aab | |a bab1122()(). 2 3_. .xyxyaba babab 若，則_ 向向量 在 上的投影為 兩個(gè)向量 、 垂直的充分必要條件是_量數(shù)量_積的坐標(biāo)運(yùn)_定理_算1212x xy y|a bb12120 x xy y11已知已知 =3, =4，a與與b的夾角為的夾角為 .求：求：()(3a-2b)(a-2b)；() 利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可算出第一問，求利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可算出第一問，求 可先求可先求(a+b)2，再開方，再開方.4ab.ab ab 題型一 平

6、面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 例1分析12 ()所以所以(3a-2b)(a-2b)=3a2-8ab+4b2=39-86 +64=91-48 .()所以所以2cos3 46 242a ba b ，22229,16aabb，22 2222292ababaa bb6 2162512 2，2512 2. ab解析13向量的數(shù)量積運(yùn)算是向量之間的一種運(yùn)算，結(jié)果是向量的數(shù)量積運(yùn)算是向量之間的一種運(yùn)算，結(jié)果是一個(gè)數(shù)量一個(gè)數(shù)量.平面向量的數(shù)量積運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法平面向量的數(shù)量積運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法.在在進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清向量的模和夾角進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清向量的模和夾角.評(píng)析14已知已知（）若若a與與b

7、的夾角為的夾角為150，求，求（）若（若（a-b）與）與a垂直，求垂直，求a與與b的夾角的大小的夾角的大小. （）因?yàn)橐驗(yàn)?=（a+2b）2=a2+4ab+4b2=所以所以3,2.ab2ab 22ab 224cos1504aa bb22334324272 （ ）（），27.ab變式1解析15()因?yàn)橐驗(yàn)?a-b)a，所以，所以(a-b)a=a2-ab=0，所以所以ab=a2.所以所以cosa,b=因?yàn)橐驗(yàn)?a,b180,所以所以a,b=30.232aa baa ba bb，16題型二 平面向量夾角的問題例2分析17解析1819(1)中最值問題不少都轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題中最值問題不少都轉(zhuǎn)化為函數(shù)最

8、值問題解決，因此解題關(guān)鍵在于尋找變量，以構(gòu)造函解決，因此解題關(guān)鍵在于尋找變量，以構(gòu)造函數(shù)而數(shù)而(2)中即為數(shù)量積定義的應(yīng)用中即為數(shù)量積定義的應(yīng)用評(píng)析20變式2解析 22233coscossinsin2222 cos2 332222 22221.xxxxxxcosxcossinxsincos xcos xx a bab， 33(cossin)22(cossin)022232221xxxxxfxaba bababab 已知向量，且， ，求：及；若的最小值是，求 的值21 22220cos0.2cos24 cos2(cos)12.00cos1.202cos12cos0101cos3121222xxf

9、xxxfxxxxxfxxfxx ab因?yàn)椋?，所以，所以，即因?yàn)椋?，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，這與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，由已知得，解得； 1cos114 ,351412812xfx 當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，取得最小值由已知得，解得，這與相矛盾 綜上所述，為所求22題型三 平面向量數(shù)量積及應(yīng)用例3 213(131)()223223kttktkf tkf t ababcabdabcd 已知平面向量，證明：；若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù) 和 ，使，且，試求函數(shù)關(guān)系式；對(duì)的結(jié)論，討論函數(shù)的單調(diào)性23解析 22222222332213 3102233 330.410433(0)4120tk

10、tttktkt ttktk tkttftt a babcabdabcdc dabababa baabba bc d證明：因?yàn)椋?所以因?yàn)?，且，所以又，所以，所?4 3211233344011011(1)(1)1,030,10.f tttfttftkttftttf t 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，和，單調(diào)遞減區(qū)間為由知，令得或，令得，且和所以，評(píng)析0t 該例為向量與函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的綜合問題，求解時(shí)要靈活變換，及時(shí)調(diào)整思維角度，并注意解題的嚴(yán)謹(jǐn)性，如容易忽略25變式3解析 2123sincos2cos444 3sincos122 2sin()1.26xxxxxxm n 2(2 3sin2)(coscos

11、)4442cos()32cosc2o1sxxxxfxABCABCabcacBbCfAmnm nm n 已知向量，若，求的值；記，在中，角 、 、 的對(duì)邊分別是 ， ， ，且滿足，求的取值范圍26 212sin()262.2coscos2sinsincossin cos2sin cossin cossin cos2sin cossinsinsinsin1cos1201coss23in ()32622xBCACBxBCABCBBCABBCABCBCAAxBB m nacb因?yàn)?，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以因?yàn)?，所以，且，所以?03A所以，27 1sin()1.6262 2262sin()

12、1262sin(2,)1263AAxfxAfAfAm n所以，又因?yàn)?，所的取值范圍是以，?8解析29303132 12本題是關(guān)于平面向量的一道綜合創(chuàng)新題，它考查了平面向量的基本概念及其運(yùn)算，是一個(gè)向量與平面解析幾何、三角函數(shù)及不等式的綜合題，是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)的一個(gè)優(yōu)秀試題，但解決這一問題的基本知識(shí)卻是向量中最基本也是最重要的知識(shí)平面向量的數(shù)量積將角度和長(zhǎng)度有機(jī)地聯(lián)系在一起，因此，涉及角度與距離有關(guān)的問題，可優(yōu)先考慮用向量的數(shù)量積進(jìn)評(píng)析：行處理33()()( 0 ) 10 a b ca b ca ba cbca b ab0本講是平面向量這一單元的重要內(nèi)容，要準(zhǔn)確理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的

13、定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的五個(gè)重要性質(zhì)及三個(gè)運(yùn)算規(guī)律向量的數(shù)量積的運(yùn)算不同于實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，數(shù)量積不滿足結(jié)合律、消去律；或，但滿足交換律和分配律12122222 2cosx xy yxyaba ba baa公式；的關(guān)系非常密切，必須能夠靈活綜合運(yùn)用3412211212 34 5 00 x yx yx xy yabab通過向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度，平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，兩個(gè)向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩直線是否垂直與要區(qū)分清楚由于向量有多種表達(dá)形式，又向量的各種運(yùn)算都可用坐標(biāo)表示，于是在運(yùn)用向量知識(shí)解決有關(guān)問題時(shí)往往有多種方法其中坐標(biāo)法是最常用，最重要的一種方法35375472ababababab 若向量垂直于向量，并且向量垂直于，求非零向量 、 的夾角錯(cuò)解36錯(cuò)解分析：246232 .a bbb0ba 對(duì)于向量數(shù)量積運(yùn)算，不能約分，即由，且得不到正解2222224623221cos|22|60 .aba bbba baa bababa ba ba ba ba baab設(shè)向量 、 的夾角為 ，接上解，所以，將此式代入式得，所以，即，所以，所以向量 、 的夾角為