高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六篇 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課件 理

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1、第第4 4節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用知識(shí)鏈條完善知識(shí)鏈條完善考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí)知識(shí)鏈條完善知識(shí)鏈條完善 把散落的知識(shí)連起來把散落的知識(shí)連起來【教材導(dǎo)讀【教材導(dǎo)讀】 數(shù)列求和有哪些方法數(shù)列求和有哪些方法? ?提示提示: :公式法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、錯(cuò)位相減法公式法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、錯(cuò)位相減法. .知識(shí)梳理知識(shí)梳理 1.1.數(shù)列求和的基本方法數(shù)列求和的基本方法(1)(1)公式法公式法直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解. .(2)(2)倒序相加法倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列 a

2、an n 滿足與首末兩項(xiàng)等滿足與首末兩項(xiàng)等“距離距離”的兩項(xiàng)的和相等的兩項(xiàng)的和相等( (或等于或等于同一常數(shù)同一常數(shù)),),那么求這個(gè)數(shù)列的前那么求這個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,可用倒序相加法可用倒序相加法. .(3)(3)裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差, ,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消, ,從從而求得其和而求得其和. .(4)(4)分組求和法分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由幾個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由幾個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式組成組成, ,求和時(shí)可用分組求和法求和時(shí)可用分組

3、求和法, ,分別求和而后相加分別求和而后相加. .(5)(5)并項(xiàng)求和法并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前一個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)和中項(xiàng)和中, ,若項(xiàng)與項(xiàng)之間能兩兩結(jié)合求解若項(xiàng)與項(xiàng)之間能兩兩結(jié)合求解, ,則稱之為并項(xiàng)則稱之為并項(xiàng)求和求和. .形如形如a an n=(-1)=(-1)n nf(n)f(n)類型類型, ,可采用并項(xiàng)法求解可采用并項(xiàng)法求解. .(6)(6)錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的構(gòu)成的, ,那么這個(gè)數(shù)列的前那么這個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)和可用此法來求項(xiàng)和可用此法來求, ,如等比數(shù)列的前

4、如等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的公式就是用此法推導(dǎo)的. .2.2.數(shù)列應(yīng)用題的常見模型數(shù)列應(yīng)用題的常見模型(1)(1)等差模型等差模型: :當(dāng)增加當(dāng)增加( (或減少或減少) )的量是一個(gè)固定量時(shí)的量是一個(gè)固定量時(shí), ,該模型是等差模該模型是等差模型型, ,增加增加( (或減少或減少) )的量就是公差的量就是公差. .(2)(2)等比模型等比模型: :當(dāng)后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)當(dāng)后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí), ,該模型該模型是等比模型是等比模型, ,這個(gè)固定的數(shù)就是公比這個(gè)固定的數(shù)就是公比. .(3)(3)遞推模型遞推模型: :找到數(shù)列中任一項(xiàng)與它前面項(xiàng)之

5、間的遞推關(guān)系式找到數(shù)列中任一項(xiàng)與它前面項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式, ,可由可由遞推關(guān)系入手解決實(shí)際問題遞推關(guān)系入手解決實(shí)際問題, ,該模型是遞推模型該模型是遞推模型. .等差模型、等比模型等差模型、等比模型是該模型的兩個(gè)特例是該模型的兩個(gè)特例. .夯基自測夯基自測1.(20151.(2015高考浙江卷高考浙江卷) )已知已知 a an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,公差公差d d不為零不為零, ,前前n n項(xiàng)和是項(xiàng)和是S Sn n, ,若若a a3 3,a,a4 4,a,a8 8成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,則則( ( ) )(A)a(A)a1 1d0,dSd0,dS4 400 (B)a(B)a1 1d0

6、,dSd0,dS4 400,dSd0,dS4 400 (D)a(D)a1 1d0,dSd00B BA A C C 解析解析: :由已知可得由已知可得a a1 1=4,a=4,a2 2=f(a=f(a1 1)=f(4)=2,)=f(4)=2,a a3 3=f(a=f(a2 2)=f(2)=4,)=f(2)=4,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 為周期數(shù)列為周期數(shù)列,a,an+2n+2=a=an n, ,所以所以a a2 0152 015=a=a2 21 007+11 007+1=a=a1 1=4.=4.故選故選C.C.5.35.32 2-1-1+4+42 2-2-2+5+52 2-3-3+ +(n+2

7、)+(n+2)2 2-n-n= =.考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí)考點(diǎn)一考點(diǎn)一 數(shù)列求和數(shù)列求和( (高頻考點(diǎn)高頻考點(diǎn)) )考查角度考查角度1:1:分組法求和分組法求和. .【例【例1 1】 (2015(2015哈師大附中月考哈師大附中月考) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n ,b,bn n 滿足滿足a a1 1=5,a=5,an n=2a=2an-n-1 1+3+3n-1n-1(n2,n(n2,nN N* *),b),bn n=a=an n-3-3n n(n(nN N* *).).(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;(2)(2)求數(shù)列

8、求數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n. .反思?xì)w納反思?xì)w納 分組法求和的常見類型分組法求和的常見類型(1)(1)若若a an n=b=bn nc cn n, ,且且bbn n,c,cn n 為等差或等比數(shù)列為等差或等比數(shù)列, ,可采用分組法求可采用分組法求aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .考查角度考查角度2:2:裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法. .高考掃描高考掃描: :20112011高考新課標(biāo)全國卷高考新課標(biāo)全國卷,2015,2015高考新課標(biāo)全國卷高考新課標(biāo)全國卷【例【例2 2】 (2015(2015遼寧沈陽高三一模遼寧沈陽高三一模) )已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 a an

9、n 的公差的公差d0,d0,它的它的前前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,若若S S5 5=70,=70,且且a a2 2,a,a7 7,a,a2222成等比數(shù)列成等比數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;反思?xì)w納反思?xì)w納 (2) (2)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí), ,應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)一項(xiàng), ,也有可能前面剩兩項(xiàng)也有可能前面剩兩項(xiàng), ,后面也剩兩項(xiàng)后面也剩兩項(xiàng), ,再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后, ,有有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù), ,使前后相等使前

10、后相等. .考查角度考查角度3:3:錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法求和. .高考掃描高考掃描: :20142014高考新課標(biāo)全國卷高考新課標(biāo)全國卷【例【例3 3】 (2015(2015東北三校第二次聯(lián)考東北三校第二次聯(lián)考) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,且且a a1 1=2,a=2,an+1n+1=S=Sn n+2,n+2,nN N* *. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;(2)(2)設(shè)設(shè)b bn n=n=na an n, ,求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. .反思?xì)w納反思?xì)w納 錯(cuò)位相

11、減法求和策略錯(cuò)位相減法求和策略(1)(1)如果數(shù)列如果數(shù)列aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列,b,bn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,求數(shù)列求數(shù)列aan nb bn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和時(shí)時(shí), ,可采用錯(cuò)位相減法可采用錯(cuò)位相減法, ,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bbn n 的公比的公比, ,然然后作差求解后作差求解. .(2)(2)在寫在寫“S Sn n”與與“qSqSn n”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以以便下一步準(zhǔn)確寫出便下一步準(zhǔn)確寫出“S Sn n-qS-qSn n”的表達(dá)式的表達(dá)式. .(3)(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相

12、減法求和時(shí)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí), ,若等比數(shù)列的公比為參數(shù)若等比數(shù)列的公比為參數(shù), ,應(yīng)分公比等于應(yīng)分公比等于1 1和不等于和不等于1 1兩種情況求解兩種情況求解. .數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合考點(diǎn)二考點(diǎn)二 【例【例4 4】 (2015(2015高考安徽卷高考安徽卷) )設(shè)設(shè)nnN N* *,x,xn n是曲線是曲線y=xy=x2n+22n+2+1+1在點(diǎn)在點(diǎn)(1,2)(1,2)處的處的切線與切線與x x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 x xn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;反思?xì)w納反思?xì)w納 (1) (1)數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類數(shù)

13、列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類: :已知函已知函數(shù)條件數(shù)條件, ,解決數(shù)列問題解決數(shù)列問題, ,一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象; ;已知數(shù)列條件已知數(shù)列條件, ,解決函數(shù)問題解決函數(shù)問題, ,一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡變形化簡變形. .(2)(2)數(shù)列與不等式的恒成立問題數(shù)列與不等式的恒成立問題. .此類問題常構(gòu)造函數(shù)此類問題常構(gòu)造函數(shù), ,通過函數(shù)的單通過函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決問題調(diào)性、最值等解決問題. .(3)(3)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題. .解決此類問題要靈活選擇不等

14、式解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法的證明方法, ,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等如比較法、綜合法、分析法、放縮法等. .(2)(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 b bn n 滿足滿足b bn n=a=an+1n+1-a-an n, ,求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. .備選例題備選例題 【例【例2 2】 (2015(2015河南省六市第二次聯(lián)考河南省六市第二次聯(lián)考) )已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a a1 1=1,=1,a a2 2=3,=3,且滿足對(duì)任意的且滿足對(duì)任意的nnN N* *, ,都有都有a an+1n+1-a-an n22n n,a

15、,an+2n+2-a-an n332 2n n成立成立, ,則則a a2 2 015015= =.解析解析: :因?yàn)橐驗(yàn)閍 an n-a-an+2n+2-3-32 2n n, , a an+1n+1-a-an n22n n. . 式與式與式相加得式相加得a an+1n+1-a-an+2n+2-2-2n+1n+1, ,所以所以a an+2n+2-a-an+1n+122n+1n+1. .又又a an+2n+2-a-an+1n+122n+1n+1. .由由和和可得可得a an+2n+2-a-an+1n+1=2=2n+1n+1, ,所以所以a an+1n+1-a-an n=2=2n n. .利用累加法

16、可求得利用累加法可求得a an+1n+1-a-a1 1=2=2n n+2+2n-1n-1+ +2+21 1=2=2n+1n+1-2,-2,所以所以a an+1n+1=2=2n+1n+1-1,-1,所以所以a an n=2=2n n-1.-1.所以所以a a2 0152 015=2=22 0152 015-1.-1.答案答案: :2 22 0152 015-1-1【例【例3 3】 (2015 (2015河南六市第一次聯(lián)考河南六市第一次聯(lián)考) )已知已知 a an n 是一個(gè)公差大于是一個(gè)公差大于0 0的等的等差數(shù)列差數(shù)列, ,且滿足且滿足a a3 3a a5 5=45,a=45,a2 2+a+a

17、6 6=14.=14.(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;解解: :(1)(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,則由題意知?jiǎng)t由題意知d0.d0.由由a a2 2+a+a6 6=14,=14,可得可得a a4 4=7.=7.由由a a3 3a a5 5=45,=45,得得(7-d)(7+d)=45,(7-d)(7+d)=45,可得可得d=2.d=2.所以所以a a1 1=7-3d=1.=7-3d=1.可得可得a an n=2n-1.=2n-1.【例【例4 4】 (2015(2015石家莊一模石家莊一模) )設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 a an n 的前的前

18、n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n,a,a1 1=1,a=1,an+1n+1=S=Sn n+1+1(n(nN N* *,-1),-1),且且a a1 1,2a,2a2 2,a,a3 3+3+3為等差數(shù)列為等差數(shù)列 b bn n 的前三項(xiàng)的前三項(xiàng). .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n ,b,bn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;解解: :(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閍 an+1n+1=S=Sn n+1(n+1(nN N* *),),所以所以a an n=S=Sn-1n-1+1(n2),+1(n2),所以所以a an+1n+1-a-an n=a=an n, ,即即a an+1n+1=(+1)a=(+1)a

19、n n(n2),+10,(n2),+10,又又a a1 1=1,a=1,a2 2=S=S1 1+1=+1,+1=+1,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 為以為以1 1為首項(xiàng)為首項(xiàng), ,公比為公比為+1+1的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,所以所以a a3 3=(+1)=(+1)2 2, ,所以所以4(+1)=1+(+1)4(+1)=1+(+1)2 2+3,+3,整理得整理得2 2-2+1=0,-2+1=0,得得=1.=1.所以所以a an n=2=2n-1n-1,b,bn n=1+3(n-1)=3n-2.=1+3(n-1)=3n-2.(2)(2)求數(shù)列求數(shù)列 a an nb bn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 把經(jīng)典問題的解決程序化把經(jīng)典問題的解決程序化數(shù)列的綜合問題數(shù)列的綜合問題答題模板答題模板: :第一步第一步: :由條件等式確定數(shù)列由條件等式確定數(shù)列aan n 是一個(gè)特殊數(shù)列是一個(gè)特殊數(shù)列( (等差或等差或等比數(shù)列等比數(shù)列).).第二步第二步: :由條件確定首項(xiàng)由條件確定首項(xiàng)a a1 1. .第三步第三步: :確定數(shù)列確定數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式及的通項(xiàng)公式及bbn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .第四步第四步: :根據(jù)數(shù)列根據(jù)數(shù)列bbn n 的通項(xiàng)公式特點(diǎn)的通項(xiàng)公式特點(diǎn), ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .