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1、10.3 空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系
典例精析
題型一 證明三線共點(diǎn)
【例1】 已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且＝＝2.求證：直線EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P.
【證明】因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，
所以EF∥BD，且EF＝BD.
又因?yàn)椋剑?，所以GH∥BD，且GH＝BD，
所以EF∥GH且EF＞GH，
所以四邊形EFHG是梯形，其兩腰所在直線必相交，
設(shè)兩腰EG、FH的延長線相交于一點(diǎn)P，
因?yàn)镋G?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，
所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝A
2、C，所以P∈AC，
故直線EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P.
【點(diǎn)撥】證明三線共點(diǎn)的方法：首先證明其中的兩條直線交于一點(diǎn)，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個(gè)平面的交線；由公理3可知，兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上，即三條直線交于一點(diǎn).
【變式訓(xùn)練1】如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延長線交于M，RQ、DB的延長線交于N，RP、DC的延長線交于K.求證：M、N、K三點(diǎn)共線.
【證明】
?M、N、K在平面BCD與平面PQR的交線上，即M、N、K三點(diǎn)共線.
題型二 空間直線的位置關(guān)系
【例2】 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中點(diǎn)，連接AE
3、并延長與BC的延長線交于點(diǎn)F，連接BE并延長交AD的延長線于點(diǎn)G，連接FG.
求證：直線FG?平面ABCD且直線FG∥A1B1.
【證明】因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，在正方體中AE?平面ABCD，
又AE∩BC＝F，所以F∈AE，所以F∈平面ABCD，
同理G∈平面ABCD，所以FG?平面ABCD.
因?yàn)镋CAB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD，
所以在正方體中CFDG，所以四邊形CFGD是平行四邊形，
所以FG∥CD，又CD∥AB，AB∥A1B1，
所以直線FG∥A1B1.
【點(diǎn)撥】空間直線的位置關(guān)系，常需利用線面、面面、線線的關(guān)系確定，推導(dǎo)時(shí)需有理有據(jù).
【變式
4、訓(xùn)練2】已知AC的長為定值，點(diǎn)D?平面ABC，點(diǎn)M、N分別是△DAB和△DBC的重心.求證：無論B、D如何變換位置，線段MN的長必為定值.
【解析】如圖，延長DM交AB于F，延長DN交BC于E.
因?yàn)镸、N為重心，所以F、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，
所以EF∥AC且EF＝AC.
又在△DEF中，DM∶MF＝DN∶NE＝2∶1，
所以MN∥EF且MN＝EF，所以MN∥AC且MN＝AC，
即MN為與B、D無關(guān)的定值.
題型三 異面直線所成的角
【例3】 在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，BC＝且AD⊥BC，對角線BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角.
【解析】作平行線，找出與
5、異面直線所成的角相等的平面角，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.如圖所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位線定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角.
同理，GH＝，HF＝，GH∥AD，HF∥BC.
又AD⊥BC，所以∠GHF＝90°，所以GF2＝GH2＋HF2＝1.
在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，
所以∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角為90°.
【點(diǎn)撥】立體幾何中，計(jì)算問題的一般步驟：(1)作圖；(2)證明；(3)計(jì)算.求異面直線所成的角常采用
6、“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移，利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移，補(bǔ)形平移.計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.
【變式訓(xùn)練3】線段AB的兩端在直二面角α－CD－β的兩個(gè)面內(nèi)，并與這兩個(gè)面都成30°角，求異面直線AB與CD所成的角.
【解析】在平面α內(nèi)作AE⊥CD，
因?yàn)棣粒瑿D－β是直二面角，由面面垂直的性質(zhì)定理，
所以AE⊥β，所以∠ABE是AB與平面β所成的角.
所以∠ABE＝30°，所以AE＝AB，同理作BF⊥CD，則易得BF＝AB.
在平面β內(nèi)作BGEF，則四邊形BGEF是矩形，即BG⊥GE.
又因?yàn)锳E⊥β，BG?β，所以AE⊥BG.
所以BG⊥平面AEG，所以BG⊥AG.
因?yàn)锽G∥EF，所以BG∥CD，所以∠ABG是異面直線AB與CD所成的角.
又因?yàn)樵赗t△AEG中，AG＝＝＝AB，
所以在Rt△ABG中，sin∠ABG＝＝，
所以∠ABG＝45°.
總結(jié)提高
本節(jié)內(nèi)容主要以四個(gè)公理為依托，導(dǎo)出異面直線，等角定理，線線、線面、面面關(guān)系.可見，解決此類問題要以公理為標(biāo)準(zhǔn)，以眼前的點(diǎn)、線、面的實(shí)際物體為參考，培養(yǎng)空間想象能力，重點(diǎn)是點(diǎn)共線、線共面、異面直線、等角定理應(yīng)用.
內(nèi)容總結(jié)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案103 空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系
