《普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)學(xué)案排列組合二項(xiàng)式定理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)學(xué)案排列組合二項(xiàng)式定理（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案
第39講排列、組合、二項(xiàng)式定理
一．課標(biāo)要求：
1．分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理
通過實(shí)例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題；
2．排列與組合
通過實(shí)例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實(shí)際問題；
3．二項(xiàng)式定理
能用計數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理； 會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題。
二．命題走向
本部分內(nèi)容主要包括分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理三部分；考查內(nèi)容：（
2、1）兩個原理；（2）排列、組合的概念，排列數(shù)和組合數(shù)公式，排列和組合的應(yīng)用；（3）二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)和。
排列、組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，而且在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，因此新高考會有題目涉及；二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考每年必考內(nèi)容，新高考會繼續(xù)考察。
考察形式：單獨(dú)的考題會以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目；預(yù)測2007年高考本部分內(nèi)容一定會有題目涉及，出現(xiàn)選擇填空的可能性較大，與概率相結(jié)合的解答題出現(xiàn)的可能性較大。
三．要點(diǎn)精講
1．排列、組合、二項(xiàng)
3、式知識相互關(guān)系表
2．兩個基本原理
（1）分類計數(shù)原理中的分類；
（2）分步計數(shù)原理中的分步；
正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。
3．排列
（1）排列定義，排列數(shù)
（2）排列數(shù)公式：系 ==n·(n－1)…(n－m+1)；
（3）全排列列： =n!；
（4）記住下列幾個階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；
4．組合
（1）組合的定義，排列與組合的區(qū)別；
（2）組合數(shù)公式：Cnm==；
（3）組合數(shù)的性質(zhì)
①Cnm=Cnn-m；②；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…
4、+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；
5．二項(xiàng)式定理
（1）二項(xiàng)式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；
（2）通項(xiàng)公式：二項(xiàng)式展開式中第k+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；
6．二項(xiàng)式的應(yīng)用
（1）求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和；
（2）證明一些簡單的組合恒等式；
（3）證明整除性。①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項(xiàng)式的整除問題；
（4）近似計算。當(dāng)|x|充分小時，我們常用下列公式估計近似值：
①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+x2；
5、（5）證明不等式。
四．典例解析
題型1：計數(shù)原理
例1．完成下列選擇題與填空題
（1）有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有種。
A．81 B．64 C．24 D．4
（2）四名學(xué)生爭奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是（ ）
A．81 B．64 C．24 D．4
（3）有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競賽，
①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競賽，則有不同的參賽方法有；
②每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則有不同的參賽方法有；
③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競賽，每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則不同的參賽方法有。
解析：（1）完成一件事是“
6、分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，是選用基本原理的關(guān)鍵。將“投四封信”這件事分四步完成，每投一封信作為一步，每步都有投入三個不同信箱的三種方法，因此：N=3×3×3×3=34=81，故答案選A。
本題也可以這樣分類完成，①四封信投入一個信箱中，有C31種投法；②四封信投入兩個信箱中，有C32（C41·A22+C42·C22）種投法；③四封信投入三個信箱，有兩封信在同一信箱中，有C42·A33種投法、，故共有C31+C32（C41·A22+C42C22）+C42·A33=81（種）。故選A。
（2）因?qū)W生可同時奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將4名學(xué)生看作4個“店”，3項(xiàng)冠軍看作“客”，每個“客”
7、都可住進(jìn)4家“店”中的任意一家，即每個“客”有4種住宿法。由分步計數(shù)原理得：N=4×4×4=64。
故答案選B。
（3）①學(xué)生可以選擇項(xiàng)目，而競賽項(xiàng)目對學(xué)生無條件限制，所以類似（1）可得N=34=81（種）；
②競賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生，而學(xué)生無選擇項(xiàng)目的機(jī)會，每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生，共有N=43=64（種）；
③等價于從4個學(xué)生中挑選3個學(xué)生去參加三個項(xiàng)目的競賽，每人參加一項(xiàng)，故共有C43·A33=24（種）。
例2．今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有種不同的方法（用數(shù)字作答）。
解析：本題考查排列組合的基本知識，由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，
8、實(shí)際上是一個組合問題，共有。
點(diǎn)評：分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，在高中數(shù)學(xué)中，只有這兩個原理，尤其是分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之化簡,達(dá)到求解的目的。
題型2：排列問題
例3．（1）在這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（ ）
（A）36個 （B）24個 （C）18個 （D）6個
（2）從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（ ）
（A
9、）108種 （B）186種 ?。–）216種 （D）270種
（3）在數(shù)字1,2，3與符號＋，－五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是（ ）
A．6 B. 12 C. 18 D. 24
（4）高三（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（ ）
（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040
解析：（1）依題意，所選
10、的三位數(shù)字有兩種情況：（1）3個數(shù)字都是奇數(shù)，有種方法（2）3個數(shù)字中有一個是奇數(shù)，有，故共有＋＝24種方法，故選B；
（2）從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有=186種，選B；
（3）先排列1，2，3，有種排法，再將“＋”，“－”兩個符號插入，有種方法，共有12種方法，選B；
（4）不同排法的種數(shù)為＝3600，故選B。
點(diǎn)評：合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問題，首先應(yīng)該進(jìn)入排列問題的情景，想清楚我處理時應(yīng)該如何去做。
例4．（1）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有個（用數(shù)字作答）；
（2）電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含
11、4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.
解析：（1）可以分情況討論：① 若末位數(shù)字為0，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，4，各為1個數(shù)字，共可以組成個五位數(shù)；② 若末位數(shù)字為2，則1與它相鄰，其余3個數(shù)字排列，且0不是首位數(shù)字，則有個五位數(shù)；③ 若末位數(shù)字為4，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，0，各為1個數(shù)字，且0不是首位數(shù)字，則有=8個五位數(shù)，所以全部合理的五位數(shù)共有24個。
（2）分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填 A22·A44＝48. 從而應(yīng)填48
12、。
點(diǎn)評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復(fù)雜的問題都是以排列公式為輔助。
題型三：組合問題
例5．（1）將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的３個班實(shí)習(xí)，每班至少１名，最多２名，則不同的分配方案有（ ）
（A）３０種 ?。˙）９０種 （C）１８０種 （D）２７０種
（2）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（ ?。?
A．10種 B．20種 C．36種 D．52種
解析：（1）將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的3個班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則將5
13、名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個班，共有種不同的分配方案，選B；
（2）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，分情況討論：①1號盒子中放1個球，其余3個放入2號盒子，有種方法；②1號盒子中放2個球，其余2個放入2號盒子，有種方法；則不同的放球方法有10種，選A。
點(diǎn)評：計數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問題的基礎(chǔ)，應(yīng)用計數(shù)原理結(jié)合
例6．（1）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有種；
（2）5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個
14、學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（ ）
（A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種
解析：（1）可以分情況討論，① 甲去，則乙不去，有=480種選法；②甲不去，乙去，有=480種選法；③甲、乙都不去，有=360種選法；共有1320種不同的選派方案；
（2）人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有＝60種，若是1,1,3，則有＝90種，所以共有150種，選A。
點(diǎn)評：排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問題，諸如分組問題等；
題型4：排列、組合的綜合問題
例7．平面上給定10個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線
15、，由這10個點(diǎn)確定的直線中，無三條直線交于同一點(diǎn)（除原10點(diǎn)外），無兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點(diǎn)的個數(shù)（除原10點(diǎn)外）。（2）這些直線交成多少個三角形。
解法一：（1）由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C102=45條。
這45條直線除原10點(diǎn)外無三條直線交于同一點(diǎn)，由任意兩條直線交一個點(diǎn)，共有C452個交點(diǎn)。而在原來10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此。所以，在原來點(diǎn)上有10C92點(diǎn)被重復(fù)計數(shù)；
所以這些直線交成新的點(diǎn)是：C452－10C92=630。
（2）這些直線所交成的三角形個數(shù)可如下求：因?yàn)槊總€三角形對應(yīng)著三個頂點(diǎn)，這三個點(diǎn)來自上述630個點(diǎn)或原來的10個點(diǎn)。所以三角形的個
16、數(shù)相當(dāng)于從這640個點(diǎn)中任取三個點(diǎn)的組合，即C6403=43486080（個）。
解法二：（1）如圖對給定的10點(diǎn)中任取4個點(diǎn)，四點(diǎn)連成6條直線，這6條直線交3個新的點(diǎn)。故原題對應(yīng)于在10個點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍，即這些直線新交成的點(diǎn)的個數(shù)是：3C104=630。
（2）同解法一。
點(diǎn)評：用排列、組合解決有關(guān)幾何計算問題，除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實(shí)際幾何意義。
例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。
解 設(shè)傾斜角為θ，由θ
17、為銳角，得tanθ=->0,即a、b異號。
（1）若c=0，a、b各有3種取法，排除2個重復(fù)（3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0），故有3×3-2=7（條）；
（2）若c≠0，a有3種取法，b有3種取法，而同時c還有4種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有3×3×4=36條，從而符合要求的直線共有7+36=43條；
點(diǎn)評：本題是1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有0.37。錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線。
題型5：二項(xiàng)式定理
例9．（1）在的展開式中，的冪的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有
A．3項(xiàng)
18、 B．4項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng)
（2）的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是
（A）0 ?。˙）2 ?。–）4 ?。―）6
解析：本題主要考查二項(xiàng)式展開通項(xiàng)公式的有關(guān)知識；
（1），當(dāng)r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24時，x的指數(shù)分別是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均為2的整數(shù)次冪，故選C；
（2）的展開式通項(xiàng)為，因此含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有2項(xiàng).選B；
點(diǎn)評：多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則。在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運(yùn)算級別,盡量化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過程可以適當(dāng)
19、注意令值法的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令.在二項(xiàng)式的展開式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別。
例10．（1）在（x－）2006 的二項(xiàng)展開式中，含x的奇次冪的項(xiàng)之和為S，當(dāng)x＝時，S等于（ ）
A.23008 B.－23008 C.23009 D.－23009
（2）已知的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－,其中=－1，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是（ ）
(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45
（3）若多項(xiàng)式
（ ）
(A)9
20、 (B)10 (C)－9 (D)－10
解析：（1）設(shè)（x－）2006＝a0x2006＋a1x2005＋…＋a2005x＋a2006；
則當(dāng)x＝時，有a0（）2006＋a1（）2005＋…＋a2005（）＋a2006＝0 （1），
當(dāng)x＝－時，有a0（）2006－a1（）2005＋…－a2005（）＋a2006＝23009 （2），
（1）－（2）有a1（）2005＋…＋a2005（）＝－23009?2＝－23008，，故選B；
（2）第三項(xiàng)的系數(shù)為－，第五項(xiàng)的系數(shù)為，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－可得n＝10，則＝，令40
21、－5r＝0，解得r＝8，故所求的常數(shù)項(xiàng)為＝45，選A；
（3）令，得，令，得；
點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式展開式的特殊值法，基礎(chǔ)題；
題型6：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
例11．證明下列不等式：
（1）≥（）n,（a、b∈{x|x是正實(shí)數(shù)},n∈N）;
（2）已知a、b為正數(shù)，且+=1，則對于n∈N有
（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1。
證明：（1）令a=x+δ，b=x－δ，則x=；
an+bn=(x+δ)n+(x-δ)n
=xn+Cn1xn-1δ+…+Cnnδn+xn-Cn1xn-1δ+…(-1)nCnnδn
=2(xn+Cn2xn-2δ2+Cn4xn-4δ4+…)
≥2x
22、n
即≥（）n
（2）(a+b)n=an+Cn1an-1b+…+Cnnbn
(a+b)n=bn+Cn1bn-1a+…+Cnnan
上述兩式相加得：
2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+…+Cnk(an-kbk+bn-kak)+…+Cnn(an+bn) (*)
∵+=1，且a、b為正數(shù)
∴ab=a+b≥2 ∴ab≥4
又∵?an-kbk+bn-kak≥2=2()n(k=1,2,…,n-1)
∴2(a+b) n≥2an+2bn+Cn12()n+Cn22（）n+…+Cnn-12()n
∴(a+b)n－an-bn
≥(Cn1+Cn2+…+Cnn
23、-1)·（）n
≥(2n－2)·2n
=22n－2n+1
點(diǎn)評：利用二項(xiàng)式定理的展開式，可以證明一些與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題。題（1）中的換元法稱之為均值換元（對稱換元）。這樣消去δ奇數(shù)次項(xiàng)，從而使每一項(xiàng)均大于或等于零。題（2）中，由由稱位置二項(xiàng)式系數(shù)相等，將展開式倒過來寫再與原來的展開式相加，這樣充分利用對稱性來解題的方法是利用二項(xiàng)式展開式解題的常用方法。
例12．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù)；
（2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余數(shù)是多少？
（3）根據(jù)下列要求的精確度，求1.025的近似值。①精確到0.01；②精確到0.00
24、1。
解析：（1）首先考慮4·6n+5n+1被4整除的余數(shù)。
∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+…+Cn+1n·4+1，
∴其被4整除的余數(shù)為1，
∴被20整除的余數(shù)可以為1，5，9，13，17，
然后考慮4·6n+1+5n+1被5整除的余數(shù)。
∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+…+Cnn-1·5+1)，
∴被5整除的余數(shù)為4，
∴其被20整除的余數(shù)可以為4，9，14，19。
綜上所述，被20整除后的余數(shù)為9。
（2） 7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7
25、 =(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1
=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9+(－1)nCnn-1
(i)當(dāng)n為奇數(shù)時
原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+（－1）n-1Cnn-1·9－2
∴除以9所得余數(shù)為7。
(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時
原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9
∴除以9所得余數(shù)為0，即被9整除。
（3）(1.02)5≈（1+0.02）5
=1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C5
26、5·0.025
∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5
∴①當(dāng)精確到0.01時，只要展開式的前三項(xiàng)和，1+0.10+0.004=1.104，近似值為1.10。
②當(dāng)精確到0.001時，只要取展開式的前四項(xiàng)和，1+0.10+0.004+0.0008=1.10408，近似值為1.104。
點(diǎn)評：（1）用二項(xiàng)式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時，通常把底數(shù)適當(dāng)?shù)夭鸪蓛身?xiàng)之和或之差再按二項(xiàng)式定理展開推得所求結(jié)論；
（2）用二項(xiàng)式定理來求近似值，可以根據(jù)不同精確度來確定應(yīng)該取到展開式的第幾項(xiàng)。
五．思維總結(jié)
解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律
1．分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原
27、理使用方法有兩種：①單獨(dú)使用；②聯(lián)合使用。
2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。
3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：
（1）元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；
（2）位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；
（3）整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數(shù)，再減去不滿足限制條件的排列數(shù)。
4．對解組合問題，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：
（1）對“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑嬎?，是解組合題的常用方法；
（2）是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”；
（3）設(shè)計“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。
內(nèi)容總結(jié)
（1）2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案
第39講排列、組合、二項(xiàng)式定理
一．課標(biāo)要求：
1．分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理
通過實(shí)例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理
（2）③四封信投入三個信箱，有兩封信在同一信箱中，有C42·A33種投法、，故共有C31+C32（C41·A22+C42C22）+C42·A33=81（種）
普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)學(xué)案排列組合二項(xiàng)式定理
