“一分為二”看問題二

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1、四、對導(dǎo)函數(shù)一分為二成兩個函數(shù)之和 ? 例7 證明:對任意的正整數(shù)，不等式都成立. ? 分析? 對任意的正整數(shù)，要證不等式都成立，設(shè)，則只要證明當(dāng)時，不等式即 恒成立.設(shè)，則只要證當(dāng)時，恒成立即可. ? 證明 設(shè).則當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，也就是恒成立.令，則，故對任意的正整數(shù)，不等式都成立. ? 點評 這里判斷導(dǎo)函數(shù)的符號時，其分子不能用因式分解法定號，我們將分子一分為二成兩個非負(fù)數(shù)之和，從而確定導(dǎo)函數(shù)的符號，使問題得以解決. ? 例8討論函數(shù)的零點個數(shù). ? 解 ，注意到，且當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以.又時，；當(dāng)時，.由函數(shù)的圖像可

2、知： ? （1）當(dāng)即時，函數(shù)的圖像與軸只有一個公共點，所以只有一個零點； ? （2）當(dāng)即時，函數(shù)的圖像與軸沒有公共點，所以沒有零點； ? （3）當(dāng)即時，函數(shù)的圖像與軸有兩個公共點，所以有兩個零點. ? 點評? 這里將導(dǎo)函數(shù)一分為二成兩個函數(shù)與之和，而這兩個函數(shù)具有相同的零點和相同的單調(diào)性，從而得出導(dǎo)函數(shù)零點和單調(diào)性，本解法充分體現(xiàn)了一分為二的對立與統(tǒng)一. ? 一分為二是普遍的，但不能作機械的理解.本文所舉案例中的函數(shù)的可分性從內(nèi)容、形式及過程是多種多樣的，既可對自變量的取值范圍一分為二，也可將一個函數(shù)整體一分為二成兩個函數(shù)的和差積商，還可對其導(dǎo)函數(shù)或其局部一分為二.一分為二只是一種形式，正確地認(rèn)識和把握一分為二，就既要看到矛盾雙方的對立和排斥，也要看到雙方的聯(lián)系和統(tǒng)一，以及在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化，對立和統(tǒng)一才是一分為二的精髓.