《2015《步步高》高考數(shù)學(廣東專用文)大一輪復習題庫訓練:第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 解三角形應用舉例 Word版含答案(2014高考)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2015《步步高》高考數(shù)學(廣東專用文)大一輪復習題庫訓練:第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 解三角形應用舉例 Word版含答案(2014高考)(9頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、第7講 解三角形應用舉例
一、選擇題
1.在某次測量中,在A處測得同一平面方向的B點的仰角是50°,且到A的距離為2,C點的俯角為70°,且到A的距離為3,則B、C間的距離為( )
A. B.
C. D.
解析 因∠BAC=120°,AB=2,AC=3.
∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos ∠BAC
=4+9-2×2×3×cos 120°=19.
∴BC=.
答案 D
2.如圖所示,為了測量某障礙物兩側A,B間的距離,給定下列四組數(shù)據(jù),不能確定A,B間
2、距離的是( ).
A.α,a,b B.α,β,a
C.a,b,γ D.α,β,b
解析 選項B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可確定AB.選項C中可由余弦定理確定AB.選項D同B類似,故選A.
答案 A
3.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是 (
3、).
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析 如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根據(jù)正弦定理得=,解得BC=10(海里).
答案 A
4. 如圖,兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 ( ).
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析 依題意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以
4、∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.
答案 B
5.如圖,設A、B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側,在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計算出A、B兩點的距離為( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
解析 由題意,得B=30°.由正弦定理,得=,
∴AB===50(m).
答案 A
6. 如圖,在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30°,測得
5、湖中之影的俯角為45°,則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) ( ).
A.2.7 m B.17.3 m
C.37.3 m D.373 m
解析 在△ACE中,
tan 30°==.∴AE=(m).
在△AED中,tan 45°==,
∴AE=(m),∴=,
∴CM==10(2+)≈37.3(m).
答案 C
二、填空題
7.如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60°,再由點C沿北偏東15°方向走10米到位置D,測得∠BDC=45°,則塔AB的高是________米.
解析 在△
6、BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,=,BC==10.在Rt△ABC中,tan 60°=,AB=BCtan 60°=10(米).
答案 10
8.如圖,在日本地震災區(qū)的搜救現(xiàn)場,一條搜救狗從A處沿正北方向行進x m到達B處發(fā)現(xiàn)一個生命跡象,然后向右轉105°,進行10 m到達C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象,這時它向右轉135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點,那么x=________.
解析 由題知,∠CBA=75°,∠BCA=45°,∴∠BAC=180°-75°-45°=60°,∴=.
∴x= m.
答案 m
9. 在2012年7月12日
7、倫敦奧運會上舉行升旗儀式.如圖,在坡度為15°的觀禮臺上,某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面,在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°,且座位A,B的距離為10米,則旗桿的高度為________米.
解析 由題可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理得=,解得AN=20(米),在Rt△AMN中,MN=20 sin 60°=30(米).故旗桿的高度為30米.
答案 30
10. 如圖,一船在海上自西向東航行,在A處測得某島M的方位角為北偏東α角,前進m海里后在B處測得該島的方位角為北偏東β角,已知該島周圍n海里范圍內(包括邊界)有暗
8、礁,現(xiàn)該船繼續(xù)東行,當α與β滿足條件________時,該船沒有觸礁危險.
解析 由題可知,在△ABM中,根據(jù)正弦定理得=,解得BM=,要使該船沒有觸礁危險需滿足BMsin(90°-β)=>n,所以當α與β的關系滿足mcos αcos β>nsin(α-β)時,該船沒有觸礁危險.
答案 mcos αcos β>nsin(α-β)
三、解答題
11.如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15 n mile/h,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā),朝北偏東θ的方向作勻速直線航行,速度為m n mile/h.
(1)若兩船能相遇
9、,求m.
(2)當m=10時,求兩船出發(fā)后多長時間距離最近,最近距離為多少n mile?
解 (1)設t小時后,兩船在M處相遇,
由tanθ=,得sinθ=,cosθ=,
所以sin∠AMB=sin(45°-θ)=.
由正弦定理,=,∴AM=40,
同理得BM=40.
∴t==,m==15.
(2)以A為原點,BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,設在t 時刻甲、乙兩船分別在P(x1,y1),Q(x2,y2)處,則|AP|=15t,|BQ|=10t.
由任意角三角函數(shù)的定義,可得
即點P的坐標是(15t,15t),
即點Q的坐標是(10t,2
10、0t-40),
∴|PQ|==
=≥20,
當且僅當t=4時,|PQ|取得最小值20,即兩船出發(fā)4小時時,距離最近,最近距離為20 n mile.
12.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cos θ的值.
解 如題圖所示,在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120°,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,故BC=20(海里).
由正弦定理得=,
11、
所以sin∠ACB=sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB=.
易知θ=∠ACB+30°,故cos θ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°
=.
13.如圖,某測量人員為了測量西江北岸不能到達的兩點A,B之間的距離,她在西江南岸找到一個點C,從C點可以觀察到點A,B;找到一個點D,從D點可以觀察到點A,C;找到一個點E,從E點可以觀察到點B,C;并測量得到數(shù)據(jù):∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1百米.
(1)求△CDE
12、的面積;
(2)求A,B之間的距離.
解 (1)在△CDE中,∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,S△CDE=DC·CE·sin 150°=×sin 30°=×=(平方百米).
(2)連接AB,依題意知,在Rt△ACD中,
AC=DC·tan∠ADC=1×tan 60°=(百米),
在△BCE中,∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理=,得
BC=·sin∠CEB=×sin 45°=(百米).
∵cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°
=×+×=
13、,
在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,
可得AB2=()2+()2-2××=2-,
∴AB=百米.
14.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時,輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛,經過t小時與輪船相遇.
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應為多少?
(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時,試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時
14、間與輪船相遇.
解 (1)設相遇時小艇航行的距離為S海里,則
S=
== .
故當t=時,Smin=10(海里),
此時v==30(海里/時).
即小艇以30海里/時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最小.
(2)設小艇與輪船在B處相遇,則v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),
故v2=900-+,∵0<v≤30,
∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥.
又t=時,v=30海里/時.
故v=30海里/時時,t取得最小值,且最小值等于.
此時,在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可設計航行方案如下:
航行方向為北偏東30°,航行速度為30海里/時,小艇能以最短時間與輪船相遇.