高二數(shù)學(xué)選修1 直接證明 課件

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1、2.2.1 2.2.1 直接證明直接證明引例引例1:1:已知已知: :四邊形是四邊形是ABCDABCD平行四邊形平行四邊形. .求證求證:AB=CD,BC=DA:AB=CD,BC=DA2 21 13 34 4證明證明: :連結(jié)連結(jié)AC, AC, 四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 ABCD,BCCDABCD,BCCD故故1=2, 3=41=2, 3=4又又AC=CA ABCCDAAC=CA ABCCDAAB=CD,BC=DAAB=CD,BC=DAA AB BC CD D直接從原命題的條件逐步推得命題成直接從原命題的條件逐步推得命題成立立, ,這種證法通常稱為這種證法通常稱為直

2、接證明直接證明. .直接證明的直接證明的一般形式一般形式: :A AB BC C 本題結(jié)論本題結(jié)論已知定義已知定義本題條件本題條件已知公理已知公理已知定理已知定理引例引例2 2：回顧基本不等式：回顧基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的證明的證明. .a a + + b ba ab b2 2證明證明: :因?yàn)橐驗(yàn)? : 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2證明證明: :要證要證只需證只需證: :只需證只需證: :只需證只需證: :因?yàn)橐驗(yàn)? : 成立成立

3、所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等定理等, ,經(jīng)過一系列的推理論證經(jīng)過一系列的推理論證, ,最后推最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立, ,這種證明方這種證明方法叫做法叫做綜合法綜合法用用P P表示表示已知條件、已有的定義、公理、已知條件、已有的定義、公理、定理定理等等, ,Q Q表示所要表示所要證明的結(jié)論證明的結(jié)論. .則綜合法用框圖表示為

4、則綜合法用框圖表示為: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q綜合法推證過程綜合法推證過程: :已知條件已知條件結(jié)論結(jié)論由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做等）為止，這種證明的方法叫做分析法分析法 特點(diǎn)：特點(diǎn)：由果索因由果索因.

5、.已知條件已知條件結(jié)論結(jié)論分析法推證過程分析法推證過程: :用框圖表示分析法的思考過程、特點(diǎn)用框圖表示分析法的思考過程、特點(diǎn). .1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一個(gè)明顯得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論成立的結(jié)論直接證明（數(shù)學(xué)理論）上述兩種證法有什么異同？都是直接證明都是直接證明證法證法1 1 從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止為止 綜合法綜合法相同不同不同 證法證法2 2 從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，

6、直到使結(jié)論成立的條件和已知條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件吻合為止條件吻合為止 分析法分析法直接證明（例題）.1DFCEBFAEBDOACOOCDAB，求證：，交于點(diǎn)，如圖，已知例直接證明證證 （綜合法綜合法） 因?yàn)橐驗(yàn)锽DOACO因?yàn)橐驗(yàn)樗运杂忠驗(yàn)橛忠驗(yàn)樗运訠OAODOCO（已知）BFAE FOEO （對(duì)頂角相等）FODEOC所以所以FODEOC所以所以FDEC 直接證明證證 （分析法分析法）要證明）要證明CE=DF，只需證明，只需證明為此只需證明為此只需證明FODEOCFOEOFODEOCDOCO為了證明為了證明 只需只需 為了證明為了證明 只需證明只需證明 也只需也

7、只需 DOCO BDOACOFOEO ）（因?yàn)橐阎狟FAEBOAO（已知）BDOACO因?yàn)橐驗(yàn)?是對(duì)頂角，所以它們相等，從而是對(duì)頂角，所以它們相等，從而 FODEOC與FODEOC成立，因此命題成立成立，因此命題成立. 分析法分析法 解題方向比較明確，解題方向比較明確， 利于尋找解題思路；利于尋找解題思路； 綜合法綜合法 條理清晰，易于表述。條理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法尋求尋求思路，再用思路，再用綜合法綜合法有條理地有條理地表述解題過程表述解題過程例例2:2:已知已知a0,b0,a0,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4

8、abc4abc因?yàn)橐驗(yàn)閎 b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏 c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.證明證明: :直接證明（練習(xí)）. 221, 0, 0. 1abbaba求證：若直接證明（練習(xí)）.11, 1, 1.2abbaba求證：若證證要證要證11abba只需證明只需證明112abba只需證明只需證明只需證明只需證明

9、22)1 (abba0) 1)(1(22ba11ba1122ba01, 0122ba0) 1)(1(22ba因此所以原命題成立.直接證明, ,a b c3.3.ABCABC三邊長三邊長的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：. 90B證明：證明：acb212)(12cabbcab 1acbac222acbcaB2222cos因?yàn)橐驗(yàn)閍,b,ca,b,c為為ABCABC三邊三邊 所以所以 a + c b a + c b 01cab所以所以 cosBcosB0 0 90B因此因此直接證明（回顧小結(jié)）分析法分析法 解題方向比較明確，解題方向比較明確， 利于尋找解題思路；利于尋找解題思路； 綜合法綜合法 條理清晰，易于表述。條理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法尋求尋求思路，再用思路，再用綜合法綜合法有條理地有條理地表述解題過程表述解題過程分析法分析法綜合法綜合法概念概念