2019-2020年高考數(shù)學 玩轉壓軸題 專題4.3 立體幾何的動態(tài)問題.doc

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2019-2020年高考數(shù)學 玩轉壓軸題 專題4.3 立體幾何的動態(tài)問題 一．方法綜述 立體幾何的動態(tài)問題是高考的熱點，問題中的“不確定性”與“動感性”元素往往成為學生思考與求解問題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性。一般立體動態(tài)問題形成的原因有動點變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉以及投影與截面問題，由此引發(fā)的常見題型為動點軌跡、角度與距離的計算、面積與體積的計算、探索性問題以及有關幾何量的最值求解等。此類題的求解并沒有一定的模式與固定的套路可以沿用，很多學生一籌莫展，無法形成清晰的分析思路，導致該題成為學生的易失分點。究其原因，是因為學生缺乏相關學科素養(yǎng)和解決問題的策略造成的。 動態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊含著某些不變的因素，因此要認真分析其變化特點，尋找不變的靜態(tài)因素，從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口。求解動態(tài)范圍的選擇、填空題，有時應把這類動態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個極端位置，即用特殊法求解范圍。對于探究存在問題或動態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時，可以引進參數(shù)，把動態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題。具體地，可通過構建方程、函數(shù)或不等式等進行定量計算，以算促證。 二．解題策略 類型一 立體幾何中動態(tài)問題中的角度問題 例1.【xx高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點。設異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為. 【答案】 ，當時取等號.所以，當時，取得最大值. 【指點迷津】空間的角的問題，一種方法，代數(shù)法，只要便于建立空間直角坐標系均可建立空間直角坐標系，然后利用公式求解；另一種方法，幾何法，幾何問題要結合圖形分析何時取得最大（?。┲?。當點M在P處時，EM與AF所成角為直角，此時余弦值為0（最?。擬點向左移動時，EM與AF所成角逐漸變小時，點M到達點Q時，角最小，余弦值最大。 【舉一反三】 1、【xx四川，理8】如圖，在正方體中，點為線段的中點.設點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】B ，. 又直線與平面所成的角小于等于，而為鈍角，所以的范圍為，選B. 2、【xx屆內蒙古包頭市十校高三聯(lián)考】在正方體中，點在線段上運動，則異面直線與所成角的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3、【xx屆江西鷹潭一中高三理上學期月考五】如圖，已知平面，，、是直線上的兩點，、是平面內的兩點，且，， ，，．是平面上的一動點，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 類型二 立體幾何中動態(tài)問題中的距離問題 【例2】如圖所示，在空間直角坐標系中，是坐標原點，有一棱長為的正方體，和分別是體對角線和棱上的動點，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【指點迷津】求兩點間的距離或其最值。一種方法，可建立坐標系，設點的坐標，用兩點間距離公式寫出距離，轉化為求函數(shù)的最值問題；另一種方法，幾何法，根據(jù)幾何圖形的特點，尋找那兩點間的距離最大（?。?，求其值。 【舉一反三】 1、【xx屆湖南省長沙市長郡中學高三下第六次月考】如圖，已知正方體棱長為4，點在棱上，且，在側面內作邊長為1的正方形，是側面內一動點，且點到平面距離等于線段的長，則當點運動時，的最小值是（ ） A．21 B．22 C．23 D．25 【答案】B 【解析】在上取點，使得，則面，連結，則．在平面上，以所在直線為軸，以所在直線為軸，由題意可知，點軌跡為拋物線，其方程為，點坐標為，設，則（其中，當時，，故．2、如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為__________. 【答案】 3、【xx屆浙江省溫州市高三第二次模擬考試】如圖，在三棱錐中，平面平面，與均為等腰直角三角形，且，．點是線段上的動點，若線段上存在點，使得異面直線與成的角，則線段長的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 類型三 立體幾何中動態(tài)問題中的面積、體積問題 【例3】在棱長為6的正方體中，是中點，點是面所在的平面內的動點，且滿足，則三棱錐的體積最大值是（ ） A. 36 B. C. 24 D. 【答案】B 【指點迷津】求幾何體體積的最值，先觀察幾何圖形三棱錐，其底面的面積為不變的幾何量，求點P到平面BCD的距離的最大值，選擇公式，可求最值。 【舉一反三】 1、【xx屆山東棗莊市高三理上學期末】《 九章九術》是我國古代數(shù)學名著,它在幾何學中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，若，當陽馬體積最大時，則塹堵的體積為（ ） A． B． C. D． 【答案】C 2、【黑龍江省哈爾濱市第六中學xx屆高三下學期第一次模擬】已知矩形中， ， 分別是上兩動點，且，把四邊形沿折起，使平面平面，若折得的幾何體的體積最大，則該幾何體外接球的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3、【xx新課標2文10】已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 類型四 立體幾何中動態(tài)問題中的軌跡問題 【例4】如圖直三棱柱中，為邊長為2的等邊三角形，，點、、、、分別是邊、、、、的中點，動點在四邊形內部運動，并且始終有平面，則動點的軌跡長度為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因為分別為的中點，所以，，所以平面，平面，又因為,所以平面平面，要使平面，則平面，所以點的軌跡為線段，點的軌跡長度為. 故本題正確答案為. 【指點迷津】由已知可知平面平面，要始終有平面，點M為定點，所以點P的軌跡為線段HF，求其長度即可。 【舉一反三】 1、如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點滿足 ，則點的軌跡是（ ） A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支 【答案】C. 2、【xx屆浙江稽陽聯(lián)誼學校高三月考】在正方體中，已知點為平面中的一個動點，且點滿足：直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小，則點的軌跡為（ ） A．直線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 【答案】D 3、【xx屆浙江省名校協(xié)作體高三下學期考試】已知平面平面，，且.是正方形，在正方形內部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根據(jù)題意，以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖1所示，則，，設，易知直線與平面所的角分別為，均為銳角， 類型五 立體幾何中動態(tài)問題中的翻折、旋轉問題 【例5】如圖，已知，是的中點，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 試題分析：設，設，則由題意，在空間圖形中，設， 在中，， 在空間圖形中，過作，過作，垂足分別為，， 過作，連結，∴， 則就是二面角的平面角，∴， 在中，，， 【舉一反三】 1、【xx課標1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______. 【答案】 【解析】 2、【浙江省xx屆高三3月聯(lián)考】矩形中， ， ，將與沿所在的直線進行隨意翻折，在翻折過程中直線與直線成的角范圍（包含初始狀態(tài)）為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】初始狀態(tài)直線與直線成的角為 ，翻折過程中當時, 直線與直線成的角為直角，因此直線與直線成的角范圍為，選C. 3、如圖，等邊三角形的中線與中位線相交于，已知是△繞旋轉過程中的一個圖形，下列命題中，錯誤的是（ ） A．動點在平面上的射影在線段上 B．恒有平面⊥平面 C．三棱錐的體積有最大值 D．異面直線與不可能垂直 【答案】D 三．強化訓練 1、【xx課標3，理16】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論： ①當直線AB與a成60角時，AB與b成30角； ②當直線AB與a成60角時，AB與b成60角； ③直線AB與a所成角的最小值為45； ④直線AB與a所成角的最小值為60. 其中正確的是________.（填寫所有正確結論的編號） 【答案】②③ 【解析】 試題分析：由題意，是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線，由，又AC⊥圓錐底面，在底面內可以過點B，作，交底面圓于點D，如圖所示，連結DE，則DE⊥BD，，連結AD，等腰△ABD中， ,當直線AB與a成60角時，，故，又在中，， 過點B作BF∥DE，交圓C于點F，連結AF，由圓的對稱性可知 , 為等邊三角形，，即AB與b成60角，②正確，①錯誤. 由最小角定理可知③正確； 很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，直線與所成的最大角為90，④錯誤. 正確的說法為②③. 2、【xx高考山東，理7】在梯形中，， .將梯 形繞所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（） （A）（B）（C）（D） 【答案】C 3、【xx屆河北定州市月考卷】設動點在棱長為1的正方體的對角線上，記，當為鈍角時，的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】 4、【江西師范大學附屬中學xx屆高三3月月考】如右圖所示，在棱長為2的正方體中， 為棱的中點，點分別為面和線段上的動點，則周長的最小值為_______． 【答案】 【解析】將面與面折成一個平面，設E關于的對稱點為M，E關于 對稱點為N,則周長的最小值為. 5、如圖所示，在棱長為2的正四面體中，是棱的中點，若是棱上一動點，則的最小值為 A． B． C． D． 【答案】B 6、在直三棱柱中，底面為直角三角形， ，，，是上一動點，則的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 7、在長方體中，，，點為對角線上的動點，點為底面上的動點（點，可以重合），則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】由題意易得：，作平面于，由對稱性可知，因此 ，問題轉化為在平面內，體對角線上找一點使得最小，如下圖所示，過點作它關于直線的對稱點，交直線與點, 再過點作于點，交于點，則的長度即為所求的最小值，易得，∴， ，故選C． 8、已知直角梯形，，，，沿折疊成三棱錐，當三棱錐體積最大時，，兩點間的距離是 . 【答案】 9、如圖，矩形中，，，平面，若在上只有兩個點滿足，則的取值范圍是 . 【答案】. 【解析】由，得：，設 ，，則由勾股定理可計算：，，，代入整理得： ，由題意得方程有兩個正根，∴ . 10、【xx高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( ) （A） （B） （）2 （）4 【答案】 11、【xx屆江西鷹潭一中高三理上學期月考五】如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，為上任意一點，，為上任意兩點，且的長為定值，則下面的四個值中不為定值的是（ ） A．點到平面的距離 B．三棱錐的體積 C．直線與平面所成的角 D．二面角的大小 【答案】C 【解析】 試題分析：A：∵平面也就是平面，既然和平面都是固定的，∴到平面的距離是定值；B：∵的面積是定值．（∵定長，到的距離就是到的距離也為定長，即底和高都是定值），再根據(jù)的結論到平面的距離也是定值，∴三棱錐的高也是定值，于是體積固定．∴三棱錐的體積是定值；C：∵是動點，也是動點，推不出定值的結論，∴就不是定值．∴直線與平面所成的角不是定值；D：∵，為上任意一點，、為上任意兩點，∴二面角的大小為定值．故選：C． 12、長方體中，已知，，棱在平面內，則長方體在平面內的射影所構成的圖形面積的取值范圍是 ． 【答案】. 【考點】立體幾何中的動態(tài)問題. ∴（其中，），因此，，當且僅當時取到，因此. 13、如圖所示，正方體的棱長為, 分別是棱，的中點，過直線的平面分別與棱、交于，設，給出以下四個命題： （1）平面平面； （2）當且僅當時，四邊形的面積最??； （3）四邊形周長，則是偶函數(shù)； （4）四棱錐的體積為常函數(shù)；以上命題中真命題的序號為______. 【答案】①②③④. ∴，則，則是偶函數(shù)；（4）根據(jù)分割思想，有，又，到平面的距離為1， ，又，，∴為常函數(shù)． 14、【xx高考北京理第8題】如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y(tǒng)，DP＝z(x，y，z大于零)，則四面體P—EFQ的體積 (　　) A．與x，y，z都有關 B．與x有關，與y，z無關 C．與y有關，與x，z無關 D．與z有關，與x，y無關 【答案】D 【解析】 試題分析：　∵DC∥A1B1，EF＝1， ∴S△EFQ＝12＝ (定值)． 而點P到面EFQ的距離為P到面A1DCB1的距離，為DPsin45＝z. ∴V四面體P—EFQ＝z＝z. 15、【xx屆廣西陸川縣中學高三9月月考】正四棱錐的底面邊長為2，高為2，是邊的中點，動點在棱錐表面上運動，并且總保持，則動點的軌跡的周長為_____________． 【答案】 【解析】 16、如圖，矩形中，，為邊的中點，將沿直線翻折成，若為線段的中點，則在翻折過程中，下面四個命題中不正確的是（ ） A．是定值 B．點在某個球面上運動 C．存在某個位置，使 D．存在某位置，使平面 【答案】C． 【解析】取中點，連接，，則，，∴平面平面， ∴平面，故D正確；由，為定值，為定值， 由余弦定理可得，∴是定值，故A正確；∵是定點，∴是在以為圓心，為半徑的圓上，故B正確；∵在平面中的射影為，與不垂直，∴存在某個位置，使錯誤，故選C． 17、在平行四邊形中，， ，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 18、直角梯形，滿足，，，現(xiàn)將其沿折疊成三棱錐，當三棱錐體積取最大值時其外接球的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B. 19、【江西省xx屆高三4月新課程教學質量監(jiān)測】如圖所示，正方體的棱長為1， ， 分別是棱， 的中點，過直線的平面分別與棱， 交于， ，設， ，給出以下命題： ①四邊形為平行四邊形； ②若四邊形面積， ，則有最小值； ③若四棱錐的體積， ，則為常函數(shù)； ④若多面體的體積， ，則為單調函數(shù). ⑤當時，四邊形為正方形. 其中假命題的個數(shù)為（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 20、【xx屆浙江省臺州市高三上學期期末質量評估考試】如圖，在矩形中，四邊形為邊長為的正方形，現(xiàn)將矩形沿過點的動直線 翻折，使翻折后的點在平面上的射影落在直線上,若點在折痕上射影為，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A