2019版高考數(shù)學(xué) 6.1 不等關(guān)系與不等式課件.ppt

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第六章不等式 推理與證明第一節(jié)不等關(guān)系與不等式 知識(shí)梳理 1 必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填 1 實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系 a b a b a b 0 a b a b 0 a b 0 2 不等式的性質(zhì) 對(duì)稱(chēng)性 a b 雙向性 傳遞性 a b b c 單向性 可加性 a b a c b c 雙向性 a b c d 單向性 b a a c a c b d 可乘性 a b c 0 ac bc a b cb 0 c d 0 單向性 乘方法則 a b 0 an bn n N n 1 單向性 開(kāi)方法則 a b 0 n N n 2 單向性 ac bd 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 倒數(shù)性質(zhì) 設(shè)ab 0 則a b 雙向性 2 有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì) 若a b 0 m 0 則 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 比較法 作差或作商 2 數(shù)學(xué)思想 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想 放縮思想 3 記憶口訣 不等式性質(zhì)的記憶口訣 對(duì)稱(chēng)傳遞性同向可加乘乘乘方開(kāi)方不忘兩端正 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 兩個(gè)實(shí)數(shù)a b之間 有且只有a b a b a b三種關(guān)系中的一種 2 一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù) 不等號(hào)方向不變 3 一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大 則其倒數(shù)就越小 4 同向不等式具有可加和可乘性 5 兩個(gè)數(shù)的比值大于1 則分子不一定大于分母 解析 1 正確 兩個(gè)實(shí)數(shù)a b之間的大小關(guān)系只有三種a b a b或a 4 5 正確 當(dāng)這個(gè)比值中的分母小于零時(shí) 分子小于分母 當(dāng)這個(gè)比值中的分母大于零時(shí) 分子大于分母 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修5P74T3改編 下列四個(gè)結(jié)論 正確的是 a b cb d a b 0 cbd a b 0 a b 0 A B C D 解析 選D 利用不等式的同向可加性可知 正確 對(duì) 根據(jù)不等式的性質(zhì)可知ac bd 故 不正確 因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增的 所以 正確 對(duì) 由a b 0可知a2 b2 0 所以所以 不正確 2 必修5P75B組T1改編 下列各組代數(shù)式的判斷正確的是 x2 5x 61時(shí) x3 x2 x 1 x2 y2 1 2 x y 1 解析 2x2 5x 9 x2 5x 6 x2 3 0 所以x2 5x 6 x 2 x 4 故 錯(cuò)誤 當(dāng)x 1時(shí) x3 x2 x 1 x 1 x2 1 0 所以當(dāng)x 1時(shí) x3 x2 x 1 故 正確 x2 y2 1 2 x y 1 x 1 2 y 1 2 1 0 所以x2 y2 1 2 x y 1 故 正確 答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 四川高考 若a b 0 c d 0 即得又a b 0 得從而有 2 2013 北京高考 設(shè)a b c R 且a b 則 A ac bcB C a2 b2D a3 b3 解析 選D y x3在 上為增函數(shù) 所以a3 b3 3 2015 東莞模擬 設(shè)a b R 若a b 0B a3 b3 0C a2 b2 0D a b 0 解析 選D 因?yàn)閍 b 0 所以 b a 所以b a 所以a b 0 考點(diǎn)1比較大小 典例1 1 2015 長(zhǎng)春模擬 已知實(shí)數(shù)a b c滿(mǎn)足b c 6 4a 3a2 c b 4 4a a2 則a b c的大小關(guān)系是 A c b aB a c bC c b aD a c b 2 已知a b是實(shí)數(shù) 且e a b 其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 則ab與ba的大小關(guān)系是 解題提示 1 用作差法比較大小 2 構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小 規(guī)范解答 1 選A 因?yàn)閏 b 4 4a a2 2 a 2 0 所以c b 將題中兩式作差得2b 2 2a2 即b 1 a2 因?yàn)樗? a2 a 所以b 1 a2 a 所以c b a 2 令則f x 當(dāng)x e時(shí) f x f b 即 blna alnb ab ba 答案 ab ba 互動(dòng)探究 本例 2 若條件變?yōu)閍 0 b 0 且a b 試比較aabb與abba的大小 解析 當(dāng)a b 0時(shí) a b 0 則所以aabb abba 當(dāng)b a 0時(shí) 則所以aabb abba 綜上知aabb abba 規(guī)律方法 比較大小常用的方法 1 作差法 其步驟 作差 變形 判斷差與0的大小 得出結(jié)論 注意 含根號(hào)的式子作差時(shí)一般先乘方再作差 2 作商法 其步驟 作商 變形 判斷商與1的大小 得出結(jié)論 3 構(gòu)造函數(shù)法 構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 變式訓(xùn)練 2014 肇慶模擬 實(shí)數(shù)a b c滿(mǎn)足下列三個(gè)條件 d c a b c d a d0 得b d 又d c 故a c d b 答案 a c d b 加固訓(xùn)練 若實(shí)數(shù)a 1 比較a 2與的大小 解析 因?yàn)樗?a2 a 1 0 即a 1時(shí) 則有當(dāng)1 a1時(shí) 則有綜上知 當(dāng)a1時(shí) 考點(diǎn) 利用不等式 組 表示不等關(guān)系 典例 某廠擬生產(chǎn)甲 乙兩種適銷(xiāo)產(chǎn)品 甲 乙產(chǎn)品都需要在A B兩臺(tái)設(shè)備上加工 在A B設(shè)備上加工一件甲產(chǎn)品所需工時(shí)分別為1小時(shí) 2小時(shí) 加工一件乙產(chǎn)品所需工時(shí)分別為2小時(shí) 1小時(shí) A B兩臺(tái)設(shè)備每月有效使用時(shí)數(shù)分別為400和500 寫(xiě)出滿(mǎn)足上述所有不等關(guān)系的不等式組 解題提示 設(shè)出甲 乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量 再根據(jù)設(shè)備A B的有效使用時(shí)數(shù) 與甲 乙兩種產(chǎn)品使用設(shè)備A B的工時(shí)數(shù)的關(guān)系列不等式組 規(guī)范解答 設(shè)甲 乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x件 y件 由題意可知 規(guī)律方法 利用不等式 組 表示不等關(guān)系的關(guān)鍵和注意點(diǎn) 1 關(guān)鍵 準(zhǔn)確將題目中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言 如不等式 2 注意點(diǎn) 注意 不超過(guò) 至少 低于 表示的不等關(guān)系 同時(shí)還應(yīng)考慮變量的實(shí)際意義 變式訓(xùn)練 已知甲 乙 丙三種食物中維生素A B含量及成本如表 設(shè)用甲 乙 丙三種食物各xkg ykg zkg配成100kg的混合食物 并使混合物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B 試用x y表示混合食物成本C元 并寫(xiě)出x y所滿(mǎn)足的不等關(guān)系 解析 依題意 得C 11x 9y 4z 又x y z 100 所以C 400 7x 5y由及z 100 x y 得所以x y所滿(mǎn)足的不等關(guān)系為 加固訓(xùn)練 將一個(gè)三邊長(zhǎng)度分別為5 12 13的三角形的各邊都縮短x 構(gòu)成一個(gè)鈍角三角形 試用不等式 組 表示x應(yīng)滿(mǎn)足的不等關(guān)系 解析 由題意知 考點(diǎn)2不等式性質(zhì)及其應(yīng)用知 考情利用不等式性質(zhì)進(jìn)行命題的判斷是經(jīng)常考查的考向 另外 不等式性質(zhì)與充要條件相結(jié)合判斷條件是一個(gè)重要的考向 主要以選擇題和填空題為主 明 角度命題角度1 不等式是否成立的判斷 典例2 2015 銀川模擬 設(shè)a b 1 c 0 給出下列三個(gè)結(jié)論 ac bc logb a c loga b c 其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是 A B C D 解題提示 由不等式的性質(zhì)可得 正確 由冪函數(shù)的單調(diào)性可得 正確 引入中間變量loga a c 可得 正確 規(guī)范解答 選D 對(duì) a b 1 所以又因?yàn)閏b 1 所以acb 1 c0 所以a c b c 1 所以logb a c loga a c loga b c 正確 故選D 命題角度2 充要條件的判斷 典例3 設(shè)x R 則 x2 3x 0 是 x 4 的 A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件 解題提示 求出不等式x2 3x 0的解集 根據(jù) 小范圍 大范圍 可判斷 規(guī)范解答 選B 由x2 3x 0得x 3或x0是x 4的必要而不充分條件 故選B 悟 技法1 判斷不等式命題真假的方法 1 判斷不等式是否成立 需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明 常用的推理判斷需要利用不等式性質(zhì) 2 在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí) 先把判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮 找到與命題相近的性質(zhì) 并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假 2 充要條件的判斷方法利用兩命題間的關(guān)系 看p能否推出q 再看q能否推出p 充分利用不等式性質(zhì)或特值求解 通 一類(lèi)1 2015 合肥模擬 已知a b c滿(mǎn)足c b a且ac 0 則下列選項(xiàng)中不一定成立的是 解析 選C 因?yàn)閏 b a且ac 0 所以c 0 a 0 所以但b2與a2的關(guān)系不確定 故不一定成立 2 2014 山東高考 已知實(shí)數(shù)x y滿(mǎn)足axln y2 1 C sinx sinyD x3 y3 解題提示 本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 不等式的性質(zhì) 先利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷x y的大小 然后判斷每個(gè)選項(xiàng) 解析 選D 由axy 所以 3 2015 杭州模擬 已知a R 則 a 2 是 a2 2a 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件 解析 選A 因?yàn)楫?dāng) a 2 成立時(shí) a2 2a a a 2 0 所以 a2 2a 成立 即 a 2 a2 2a 為真命題 而當(dāng) a2 2a 成立時(shí) a2 2a a a 2 0 即a 2或a2不一定成立 即 a2 2a a 2 為假命題 故 a 2 是 a2 2a 的充分不必要條件 故選A 4 2015 濟(jì)南模擬 若a 0 b a cbc a c b d a d c b d c 中正確的是 解析 因?yàn)閍 0 b c0 所以ad0 b a 所以a b 0 因?yàn)閏 d 0 cd 0 所以a c b d 所以ac bd d 因?yàn)閍 b 所以a c b d 所以 正確 因?yàn)閍 0 b d c 0 所以a d c b d c 所以 正確 答案 自我糾錯(cuò)13不等式性質(zhì)的應(yīng)用 典例 設(shè)f x ax2 bx 若1 f 1 2 2 f 1 4 則f 2 的取值范圍是 解題過(guò)程 錯(cuò)解分析 分析上面解題過(guò)程 你知道錯(cuò)在哪里嗎 提示 錯(cuò)誤的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而導(dǎo)致了f 2 的范圍擴(kuò)大 規(guī)避策略 用不等式性質(zhì)求代數(shù)式取值范圍的途徑利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí) 多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍 解決此類(lèi)問(wèn)題一般是利用整體思想 通過(guò) 一次性 不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體的范圍 是避免錯(cuò)誤的有效途徑 自我矯正 方法一 設(shè)f 2 mf 1 nf 1 m n為待定系數(shù) 則4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a n m b 于是得解得所以f 2 3f 1 f 1 又因?yàn)? f 1 2 2 f 1 4 所以5 3f 1 f 1 10 故5 f 2 10 方法二 由f x ax2 bx得f 1 a b f 1 a b 由 得2a f 1 f 1 由 得2b f 1 f 1 從而f 2 4a 2b 2 f 1 f 1 f 1 f 1 3f 1 f 1 因?yàn)? f 1 2 2 f 1 4 所以3 1 2 3f 1 f 1 3 2 4 所以5 3f 1 f 1 10 所以f 2 的取值范圍是5 f 2 10 即f 2 的取值范圍是 5 10 答案 5 10