《(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 備考技法 專題三 9大板塊知識(shí)系統(tǒng)歸納——熟一熟基礎(chǔ)講義 理(普通生含解析).doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 備考技法 專題三 9大板塊知識(shí)系統(tǒng)歸納——熟一熟基礎(chǔ)講義 理(普通生含解析).doc(47頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
備考技法專題三 9 大板塊知識(shí)系統(tǒng)歸納——熟一熟基礎(chǔ)
板塊(一) 集合與常用邏輯用語(yǔ)
(一)巧用解題結(jié)論,考場(chǎng)快速搶分
1.集合運(yùn)算的重要結(jié)論
(1)A∩B?A,A∩B?B;
A=A∩A,A?A∪B,B?A∪B;
A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;
A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A.
(2)若A?B,則A∩B=A;反之,若A∩B=A,則A?B.若A?B,則A∪B=B;反之,若A∪B=B,則A?B.
(3)A∩?UA=?,A∪?UA=U,?U(?UA)=A.
2.特稱命題真假的判斷
(1)要判斷特稱命題“?x0∈M,p(x0)”是真命題,只需找到集合M中的一個(gè)元素x0,使p(x0)成立即可.
(2)要判定一個(gè)特稱命題“?x0∈M,p(x0)”是假命題,需驗(yàn)證p(x)對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x都不成立.
3.充分條件與必要條件的重要結(jié)論
(1)如果p?q,那么p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件.
(2)如果p?q,且q?p,那么p是q的充要條件.
(3)如果p?q,但qp,那么p是q的充分不必要條件.
(4)如果q?p,且pq,那么p是q的必要不充分條件.
(5)如果pq,且qp,那么p是q的既不充分也不必要條件.
(二)明辨易錯(cuò)易混,謹(jǐn)防無(wú)謂失分
1.遇到A∩B=?時(shí),你是否注意到“極端”情況:A=?或B=?;同樣在應(yīng)用條件A∪B=B?A∩B=A?A?B時(shí),不要忽略A=?的情況.
2.“否命題”是對(duì)原命題“若p,則q”既否定其條件,又否定其結(jié)論;而“命題p的否定”即:非p,只是否定命題p的結(jié)論.
3.要弄清先后順序:“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B,且B不能推出A.
(三)演練經(jīng)典小題,做好考前熱身
1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},則A∪B=( )
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
解析:選C 由已知可得B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1
0且a≠1);(ex)′=ex;
(logax)′ =(a>0且a≠1);(ln x)′=.
2.函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論
(1)當(dāng)f(x),g(x)同為增(減)函數(shù)時(shí),f(x)+g(x)則為增(減)函數(shù).
(2)奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性.
(3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
(4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù),奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù),積、商是偶函數(shù),奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù).
(5)定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)的圖象必過(guò)原點(diǎn),即有f(0)=0.存在既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的函數(shù):f(x)=0.
3.抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的結(jié)論
(1)函數(shù)的周期性
①若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x-a),則f(x)為周期函數(shù),T=2a.
②若滿足f(x+a)=-f(x),則f(x)是周期函數(shù),T=2a.
③若滿足f(x+a)=,則f(x)是周期函數(shù),T=2a.
(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱性
①若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a 對(duì)稱.
②若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.
③若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱.
4.函數(shù)圖象平移變換的相關(guān)結(jié)論
(1)把y=f(x)的圖象沿x軸左右平移|c|個(gè)單位(c>0時(shí)向左移,c<0時(shí)向右移)得到函數(shù)y=f(x+c)的圖象(c為常數(shù)).
(2)把y=f(x)的圖象沿y軸上下平移|b|個(gè)單位(b>0時(shí)向上移,b<0時(shí)向下移)得到函數(shù)y=f(x)+b的圖象(b為常數(shù)).
5.函數(shù)圖象伸縮變換的相關(guān)結(jié)論
(1)把y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(a>1)或縮短(0<a<1)到原來(lái)的a倍,而橫坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=af(x)(a>0)的圖象.
(2)把y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(0<b<1)或縮短(b>1)到原來(lái)的倍,而縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=f(bx)(b>0)的圖象.
(二)明辨易錯(cuò)易混,謹(jǐn)防無(wú)謂失分
1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí),多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“∪”和“或”連接,可用“和”連接或用“,”隔開.單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”,而不能用集合或不等式代替.
2.判斷函數(shù)的奇偶性,要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理,但必須注意使定義域不受影響.
3.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上,分別用不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù),它是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù).
4.不能準(zhǔn)確理解導(dǎo)函數(shù)的幾何意義,易忽視切點(diǎn)(x0,f(x0))既在切線上,又在函數(shù)圖象上,而導(dǎo)致某些求導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題不能正確解出.
5.易混淆函數(shù)的極值與最值的概念,錯(cuò)以為f′(x0)=0是函數(shù)y=f(x)在x=x0處有極值的充分條件.
(三)演練經(jīng)典小題,做好考前熱身
1.已知函數(shù)f(x)=若f(f(0))=a2+1,則實(shí)數(shù)a=( )
A.-1 B.2
C.3 D.-1或3
解析:選D 由題意可知,f(0)=2,而f(2)=4+2a,由于f(f(0))=a2+1,所以a2+1=4+2a,所以a2-2a-3=0,解得a=-1或a=3,故選D.
2.(2018益陽(yáng)、湘潭調(diào)研)函數(shù)f(x)=的圖象大致是( )
解析:選B 易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1},f(-x)==-=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=>0,排除D;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)=<0,排除A、C.故選B.
3.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.(-1,3)為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
B.(3,5)為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間
C.函數(shù)y=f(x)在x=0處取得極大值
D.函數(shù)y=f(x)在x=5處取得極小值
解析:選C 由函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x<-1或3<x<5時(shí),f′(x)<0,y=f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>5或-1<x<3時(shí),f′(x)>0,y=f(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),(3,5),單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,3),(5,+∞).函數(shù)y=f(x)在x=-1,5處取得極小值,在x=3處取得極大值,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
4.(2018武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=2-x+x2,則f(2)=________.
解析:法一:∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴f(2)=-f(-2)=-[2-(-2)+(-2)2]=-(4+4)=-8.
法二:當(dāng)x>0時(shí),-x<0,
∴f(-x)=2-(-x)+(-x)2=2x+x2,
又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-f(-x)=-2x-x2,
∴f(2)=-22-22=-8.
答案:-8
5.(2018鄭州第一次質(zhì)量測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=若不等式f(x)≤5-mx恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析:作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,令g(x)=5-mx,則g(x)恒過(guò)點(diǎn)(0,5),由f(x)≤g(x)恒成立,并數(shù)形結(jié)合得-≤-m≤0,解得0≤m≤.
答案:
板塊(三) 不 等 式
(一)巧用解題結(jié)論,考場(chǎng)快速搶分
1.一元二次不等式的恒成立問(wèn)題
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的條件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件是
2.基本不等式的重要結(jié)論
(1)≥(a>0,b>0).
(2)ab≤2(a,b∈R).
(3) ≥≥(a>0,b>0).
3.利用基本不等式求最值
(1)對(duì)于正數(shù)x,y,若積xy是定值p,則當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),和x+y有最小值2.
(2)對(duì)于正數(shù)x,y,若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),積xy有最大值s2.
4.線性規(guī)劃中的兩個(gè)重要結(jié)論
(1)點(diǎn)M(x0,y0)在直線l:Ax+By+C=0(B>0)上方(或下方)?Ax0+By0+C>0(或<0).
(2)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在直線l:Ax+By+C=0同側(cè)(或異側(cè))?(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0(或<0).
(二)明辨易錯(cuò)易混,謹(jǐn)防無(wú)謂失分
1.不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù),不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù),從而出錯(cuò).
2.容易忽視使用基本不等式求最值的條件,即“一正、二定、三相等”導(dǎo)致錯(cuò)解,如函數(shù)f(x)=+的最值,就不能利用基本不等式求解;求解函數(shù)y=x+(x<0)的最值時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解.
3.解線性規(guī)劃問(wèn)題,要注意邊界的虛實(shí);注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù);注意最優(yōu)整數(shù)解.
(三)演練經(jīng)典小題,做好考前熱身
1.在R上定義運(yùn)算:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2,3),則a+b=( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:選C 由題知(x-a)?(x-b)=(x-a)[1-(x-b)]>0,即(x-a)[x-(b+1)]<0,由于該不等式的解集為(2,3),所以方程(x-a)[x-(b+1)]=0的兩根之和等于5,即a+b+1=5,故a+b=4.
2.已知變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的最大值為( )
A.2 B.11
C.16 D.18
解析:選C 作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示,其中A(1,1),B(8,8),C.分析知當(dāng)直線z=3x-y經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(8,8)時(shí),z取得最大值,且zmax=38-8=16,故選C.
3.已知點(diǎn)C在直線AB上,且平面內(nèi)的任意一點(diǎn)O,滿足=x+y,x>0,y>0,則+的最小值為( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:選B ∵點(diǎn)C在直線AB上,故存在實(shí)數(shù)λ使得=λ,則=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,∴x=1-λ,y=λ,∴x+y=1.又x>0,y>0,∴+=(x+y)=2++≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=y(tǒng)=時(shí)取等號(hào),故選B.
4.若關(guān)于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
解析:∵4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,∴4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.
令y=4x-2x+1=(2x)2-22x+1-1=(2x-1)2-1.
∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4.
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)2x=2,即x=1時(shí),y有最小值0.
∴a的取值范圍為(-∞,0].
答案:(-∞,0]
板塊(四) 三角函數(shù)與平面向量
(一)巧用解題結(jié)論,考場(chǎng)快速搶分
1.由sin αcos α符號(hào)判斷α的位置
(1)sin α-cos α>0?α終邊在直線y=x上方(特殊地,當(dāng)α在第二象限時(shí)有 sin α-cos α>1);
(2)sin α+cos α>0?α終邊在直線y=-x上方(特殊地,當(dāng)α在第一象限時(shí)有sin α+cos α>1).
2.三點(diǎn)共線的判定
A,B,C三點(diǎn)共線?,共線;
向量, ,中三終點(diǎn)A,B,C共線?存在實(shí)數(shù)α,β使得=α+β,且α+β=1.
3.中點(diǎn)坐標(biāo)和三角形的重心坐標(biāo)
(1)P1,P2的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2), =?P為P1P2的中點(diǎn),中點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
(2)三角形的重心坐標(biāo)公式:△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心坐標(biāo)是.
4.三角形“四心”向量形式的充要條件
設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn),角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則
(1)O為△ABC的外心?||=||=||=.
(2)O為△ABC的重心?++=0.
(3)O為△ABC的垂心?==.
(4)O為△ABC的內(nèi)心?a+b+c=0.
(二)明辨易錯(cuò)易混,謹(jǐn)防無(wú)謂失分
1.在求三角函數(shù)的值域(或最值)時(shí),不要忽略x的取值范圍.
2.求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要注意ω,A的符號(hào).ω<0時(shí),應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后再求解;在書寫單調(diào)區(qū)間時(shí),不能弧度和角度混用,需加2kπ時(shí),不要忘掉k∈Z,所求區(qū)間一般為閉區(qū)間.
3.對(duì)三角函數(shù)的給值求角問(wèn)題,應(yīng)選擇該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù),這樣,由三角函數(shù)值才可以唯一確定角,若角的范圍是,選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍是,選正弦較好.
4.利用正弦定理解三角形時(shí),注意解的個(gè)數(shù)討論,可能有一解、兩解或無(wú)解.在 △ABC中,A>B?sin A>sin B.
5.當(dāng)ab=0時(shí),不一定得到a⊥b,當(dāng)a⊥b時(shí),ab=0;ab=cb,不能得到a=c,消去律不成立;(ab)c與a(bc)不一定相等;(ab)c與c平行,而a(bc)與a平行.
6.兩向量夾角的范圍為[0,π],向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價(jià).
(三)演練經(jīng)典小題,做好考前熱身
1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,則b=( )
A. B.
C.2 D.3
解析:選D 由余弦定理得5=b2+4-2b2,
解得b=3或b=-(舍去),故選D.
2.(2018湖北八校聯(lián)考)已知sin(π+α)=-,則tan的值為( )
A.2 B.-2
C. D.2
解析:選D ∵sin(π+α)=-,∴sin α=,則cos α=,
∴tan===2.
3.(2018鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)= cos-cos 2x,若要得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象,則可以將函數(shù)f(x)的圖象( )
A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
解析:選C f(x)= cos-cos 2x= cos-cos 2x=sin 2x- cos 2x=2sin =2sin ,所以將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到奇函數(shù)y=2sin 2x的圖象.故選C.
4.已知△ABC中,三內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的三邊分別為a,b,c,若a=2,sin C= 2sin B且sin Acos B+sin Asin B=sin C+sin B,則c的值為( )
A. B.
C. D.
解析:選D sin Acos B+sin Asin B=sin C+sin B可化為sin Acos B+sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B+sin B,即sin=,∴A=,又sin Acos B+cos Asin B=2sin B,即cos B+sin B=2sin B,則tan B=,B=,則C=,c==,故選D.
5.(2018西安八校聯(lián)考)在△ABC中,已知=,||=3,||=3,M,N分別是BC邊上的三等分點(diǎn),則的值是( )
A. B.
C.6 D.7
解析:選B 不妨設(shè)=+,=+,所以==2++2=(2+2)+ =(32+32)+=,故選B.
6.已知向量a=(-1,2),b=(2,m),c=(7,1),若a∥b,則bc=________.
解析:∵向量a=(-1,2),b=(2,m),a∥b,∴-m-22=0,解得m=-4,
∴b=(2,-4),∵c=(7,1),∴bc=27-41=10.
答案:10
板塊(五) 數(shù) 列
(一)巧用解題結(jié)論,考場(chǎng)快速搶分
1.等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論
(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n?ap+aq=am+an.
(2)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.
(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.
(4)=n+是關(guān)于n的一次函數(shù)或常函數(shù),數(shù)列也是等差數(shù)列.
(5)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m,公差為d,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.
(6)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m-1,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.
2.等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論
(1)an=a1qn-1=amqn-m,p+q=m+n?apaq=aman.
(2){an},{bn}成等比數(shù)列?{anbn}成等比數(shù)列.
(3)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)仍然成等比數(shù)列(注意:這連續(xù)m項(xiàng)的和必須非零才能成立).
(4)若等比數(shù)列有2n項(xiàng),公比為q,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則=q.
(5)等比數(shù)列前n項(xiàng)和有:①Sm+n=Sm+qmSn;
②=(q≠1).
(二)明辨易錯(cuò)易混,謹(jǐn)防無(wú)謂失分
1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求an,易忽視n=1的情形,直接用Sn-Sn-1表示.事實(shí)上,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1.
2.易忽視等比數(shù)列中公比q≠0,導(dǎo)致增解,易忽視等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同造成增解.
3.運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),易忘記分類討論.一定分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.
4.對(duì)于通項(xiàng)公式中含有(-1)n的一類數(shù)列,在求Sn時(shí),切莫忘記討論n的奇偶性;遇到已知an+1-an-1=d或=q(n≥2),求{an}的通項(xiàng)公式,要注意分n的奇偶性討論.
5.求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn的最值,易混淆取得最大或最小值的條件.
6.利用錯(cuò)位相減法求和時(shí),要注意尋找規(guī)律,不要漏掉第一項(xiàng)和最后一項(xiàng).
(三)演練經(jīng)典小題,做好考前熱身
1.若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2+a3=6,則S4的值為( )
A.12 B.11
C.10 D.9
解析:選A 由題意得S4=a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=12.
2.若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),前4項(xiàng)的和為9,積為,則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為( )
A. B.
C.1 D.2
解析:選D 設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q,則第2,3,4項(xiàng)分別為a1q,a1q2,a1q3,依題意得a1+a1q+a1q2+a1q3=9,a1a1qa1q2a1q3=?aq3=,兩式相除得
=+++=2.
3.設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若=3,則=( )
A.2 B.
C. D.1或2
解析:選B 設(shè)S2=k,則S4=3k,由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4為等比數(shù)列,又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k,∴S6=7k,∴==,故選B.
4.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3,S9,S6成等差數(shù)列,a2+a5=4,則a8=________.
解析:因?yàn)镾3,S9,S6成等差數(shù)列,所以公比q≠1,=+,整理得2q6=1+q3,所以q3=-,故a2=4,解得a2=8,故a8=8=2.
答案:2
板塊(六) 立體幾何
(一)巧用解題結(jié)論,考場(chǎng)快速搶分
1.根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)三視圖為三個(gè)三角形,一般對(duì)應(yīng)三棱錐.
(2)三視圖為兩個(gè)三角形,一個(gè)四邊形,一般對(duì)應(yīng)四棱錐.
(3)三視圖為兩個(gè)三角形,一個(gè)圓,一般對(duì)應(yīng)圓錐.
(4)三視圖為一個(gè)三角形,兩個(gè)四邊形,一般對(duì)應(yīng)三棱柱.
(5)三視圖為兩個(gè)四邊形,一個(gè)圓,一般對(duì)應(yīng)圓柱.
2.長(zhǎng)方體的對(duì)角線與共點(diǎn)三條棱之間的長(zhǎng)度關(guān)系d2=a2+b2+c2;長(zhǎng)方體外接球半徑為R時(shí)有(2R)2=a2+b2+c2.
3.棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)切球半徑r=a,外接球半徑R=a.
(二)明辨易錯(cuò)易混,謹(jǐn)防無(wú)謂失分
1.在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí),根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見輪廓線為虛線.在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般是以正(主)視圖和俯視圖為主.
2.不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理,忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件,導(dǎo)致判斷出錯(cuò).如由α⊥β,α∩β=l,m⊥l,易誤得出m⊥β的結(jié)論,就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m?α的限制條件.
3.注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對(duì)照前后圖形,弄清楚變與不變的元素后,再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系.
4.幾種角的范圍:
兩條異面直線所成的角0<α≤90;
直線與平面所成的角0≤α≤90;
二面角0≤α≤180;
兩條相交直線所成的角(夾角)0<α≤90;
直線的傾斜角0≤α<180;
兩個(gè)向量的夾角0≤α≤180;
銳角0<α<90.
5.空間向量求角時(shí)易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系,如求解二面角時(shí),不能根據(jù)幾何體判斷二面角的范圍,忽視法向量的方向,誤以為兩個(gè)法向量的夾角就是所求的二面角,導(dǎo)致出錯(cuò).
(三)演練經(jīng)典小題,做好考前熱身
1.如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1的正視圖是邊長(zhǎng)為1的正方形,俯視圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形,點(diǎn)P是A1B1上一動(dòng)點(diǎn)(異于A1,B1),則該三棱柱的側(cè)視圖是( )
解析:選C 由正視圖與俯視圖知,A1B1垂直于投影面,且側(cè)視圖為長(zhǎng)方形,PC的投影線為虛線,故選C.
2.(2018安徽知名示范高中聯(lián)考)已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等,則圓柱的表面積與球的表面積的比是( )
A.6∶5 B.5∶4
C.4∶3 D.3∶2
解析:選D 設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R,設(shè)圓柱的表面積和球的表面積分別為S1,S2,則S1=2πR2+2πR2R=6πR2,S2=4πR2,所以=.
3.(2018西安八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( )
A. B.
C.2+ D.4+
解析:選B 由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)半徑為1的半球與一個(gè)底面半徑為1,高為2的半圓柱組合而成的組合體,故其體積V=π13+π122=π.
4.(2018惠州調(diào)研)設(shè)l,m,n為三條不同的直線,α為一個(gè)平面,則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( )
①若l⊥α,則l與α相交;
②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,則l⊥α;
③若l∥m,m∥n,l⊥α,則n⊥α;
④若l∥m,m⊥α,n⊥α,則l∥n.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選C 對(duì)于①,若l⊥α,則l與α不可能平行,l也不可能在α內(nèi),所以l與α相交,①正確;對(duì)于②,若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,則有可能是l?α,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,若l∥m,m∥n,則l∥n,又l⊥α,所以n⊥α,故③正確;對(duì)于④,因?yàn)閙⊥α,n⊥α,所以m∥n,又l∥m,所以l∥n,故④正確.選C.
5.已知三棱柱ABCA1B1C1的三視圖如圖所示,則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為________.
解析:把三視圖還原成直觀圖如圖1中三棱柱ABCA1B1C1所示,三棱柱底面為直角三角形,將三棱柱側(cè)面沿AA1剪開,展成如圖2所示的矩形A1AA′A′1,連接AA′1,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從A沿側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)A1的路線為展開圖中的線段AA′1時(shí),繞行的路線最短,由三視圖得AA1=5,AA′=12,所以AA′1=13.
答案:13
6.底面是正多邊形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐.如圖,半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S ABCD,該四棱錐的體積為,則該半球的體積為________.
解析:設(shè)所給半球的半徑為R,則四棱錐的高h(yuǎn)=R,底面正方形中,AB=BC=CD=DA=R,所以R3=,則R3=2,于是所求半球的體積為V=πR3=π.
答案:π
板塊(七) 解析幾何
(一)巧用解題結(jié)論,考場(chǎng)快速搶分
1.直線與圓位置關(guān)系的判定方法
(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況):Δ>0?相交,Δ<0?相離,Δ=0?相切.
(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小):設(shè)圓心到直線的距離為d,則dr?相離,d=r?相切(主要掌握幾何方法).
2.直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0的位置關(guān)系
(1)平行?A1B2-A2B1=0(斜率相等)且B1C2-B2C1≠0(在y軸上截距不相等);
(2)相交?A1B2-A2B1≠0;
(3)重合?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0;
(4)垂直?A1A2+B1B2=0.
3.若點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2上,則該點(diǎn)的切線方程為:x0x+y0y=r2.
4.通徑:
(1)橢圓通徑長(zhǎng)為;
(2)雙曲線通徑長(zhǎng)為;
(3)拋物線通徑長(zhǎng)為2p.
5.拋物線焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論:
設(shè)AB是過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α為直線AB的傾斜角,則
(1)焦半徑|AF|=x1+=,|BF|=x2+=.
(2)x1x2=,y1y2=-p2.
(3)弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p=.
(4)+=.
(5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.
(6)S△OAB=(O為拋物線的頂點(diǎn)).
(二)明辨易錯(cuò)易混,謹(jǐn)防無(wú)謂失分
1.不能準(zhǔn)確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系,導(dǎo)致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時(shí)出錯(cuò).
2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件,如根據(jù)直線在兩軸上的截距相等設(shè)方程時(shí),忽視截距為0的情況,直接設(shè)為+=1;再如,過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設(shè)為y-y0=k(x-x0)等.
3.討論兩條直線的位置關(guān)系時(shí),易忽視系數(shù)等于零時(shí)的討論導(dǎo)致漏解,如兩條直線垂直時(shí),一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0.
4.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,易誤把r2當(dāng)成r;圓的一般方程中忽視方程表示圓的條件.
5.易誤認(rèn)為兩圓相切為兩圓外切,忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解.
6.利用橢圓、雙曲線的定義解題時(shí),要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中,有兩點(diǎn)是缺一不可的:其一,絕對(duì)值;其二,2a<|F1F2|.如果不滿足第一個(gè)條件,動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù),而不是差的絕對(duì)值為常數(shù),那么其軌跡只能是雙曲線的一支.
7.已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時(shí),易忽視討論焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致漏解.
(三)演練經(jīng)典小題,做好考前熱身
1.已知圓x2+y2-2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax+by-2=0對(duì)稱,則ab的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選A 將圓的方程配方得(x-1)2+(y-2)2=4,若圓關(guān)于已知直線對(duì)稱,即圓心(1,2)在直線2ax+by-2=0上,代入整理得a+b=1,故ab=a(1-a)=-2+≤,選A.
2.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p,則直線MF的斜率為( )
A. B.1
C. D.
解析:選A 設(shè)M(x0,y0),易知焦點(diǎn)F,由拋物線的定義得|MF|=x0+=2p,所以x0=p,故y=2pp=3p2,解得y0=p,故直線MF的斜率k==,選A.
3.設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線x2-=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),M是雙曲線與橢圓+=1的一個(gè)公共點(diǎn),則△MF1F2的面積等于( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:選B 法一:由得不妨設(shè)點(diǎn)M是兩曲線在第一象限的交點(diǎn),則有M,點(diǎn)M到x軸的距離為,由已知可得|F1F2|=2c=2,故△MF1F2的面積等于2=4,故選B.
法二:依題意可得雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同,假設(shè)點(diǎn)M是兩曲線在第一象限的交點(diǎn),則有|MF1|-|MF2|=2,|MF1|+|MF2|=6,解得|MF1|=4,|MF2|=2,又|F1F2|=2,由于|MF1|2+|MF2|2=42+22=20=|F1F2|2,故△MF1F2是直角三角形,其面積為42=4.故選B.
4.(2018福州期末)已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2都在x軸上,對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,離心率為.若點(diǎn)M在C上,且MF1⊥MF2,M到原點(diǎn)的距離為,則C的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.x2-=1 D.y2-=1
解析:選C 由題意可知,OM為Rt△MF1F2斜邊上的中線,所以|OM|=|F1F2|=c.由M到原點(diǎn)的距離為,得c=,又e==,所以a=1,
所以b2=c2-a2=3-1=2.
故雙曲線C的方程為x2-=1.
5.(2018合肥質(zhì)檢)若雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓x2+y2-6x+5=0所截得的弦長(zhǎng)為2,則該雙曲線的離心率等于________.
解析:不妨取雙曲線-=1的一條漸近線方程為bx-ay=0,圓x2+y2-6x+5=0的圓心為(3,0),半徑為2,∴圓心(3,0)到漸近線bx-ay=0的距離d=,又d==, ∴=,化簡(jiǎn)得a2=2b2,∴該雙曲線的離心率e====.
答案:
6.過(guò)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,F(xiàn)2為右焦點(diǎn),若∠F1PF2=60,則橢圓的離心率為________.
解析:如圖所示,令|PF1|=1,
在Rt△PF1F2中,由∠F1PF2=60,可知|PF2|=2,|F1F2|=,由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=,所以e==.
答案:
板塊(八) 概率與統(tǒng)計(jì)
(一)巧用解題結(jié)論,考場(chǎng)快速搶分
1.直方圖的三個(gè)結(jié)論
(1)小長(zhǎng)方形的面積=組距=頻率.
(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1.
(3)小長(zhǎng)方形的高=,所有小長(zhǎng)方形高的和為.
2.線性回歸方程
線性回歸方程=x+一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,).
3.獨(dú)立性檢驗(yàn)
利用隨機(jī)變量K2=來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).如果K2的觀測(cè)值k越大,說(shuō)明“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的這種判斷犯錯(cuò)誤的可能性越小.
4.二項(xiàng)式定理
(1)各二項(xiàng)式系數(shù)之和:
①C+C+C+…+C=2n.
②C+C+…=C+C+…=2n-1.
(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):
①C=C,C+C=C.
②二項(xiàng)式系數(shù)最值問(wèn)題:
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)即第+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn最大;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)
即第,項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C,C相等且最大.
(3)求兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中xk項(xiàng)(或系數(shù)),要用系數(shù)配對(duì).
5.八組公式
(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)
①pi≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+pn=1.
(2)均值公式
E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.
(3)均值的性質(zhì)
①E(aX+b)=aE(X)+b;
②若X~B(n,p),則E(X)=np;
③若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p.
(4)方差公式
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn,標(biāo)準(zhǔn)差.
(5)方差的性質(zhì)
①D(aX+b)=a2D(X);
②若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p);
③若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p).
(6)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式
P(AB)=P(A)P(B).
(7)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式
Pn(k)=Cpk(1-p)n-k.
(8)條件概率公式
P(B|A)=.
(二)明辨易錯(cuò)易混,謹(jǐn)防無(wú)謂失分
1.應(yīng)用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先確定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分別發(fā)生的概率,再求和.
2.正確區(qū)別互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系:對(duì)立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對(duì)立事件,“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件.
3.二項(xiàng)式(a+b)n與(b+a)n的展開式相同,但通項(xiàng)公式不同,對(duì)應(yīng)項(xiàng)也不相同,在遇到類似問(wèn)題時(shí),要注意區(qū)分.還要注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系,同時(shí)明確二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)的不同.
4.要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別
(1)在P(A|B)中,事件A,B發(fā)生有時(shí)間上的差異,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同時(shí)發(fā)生.
(2)樣本空間不同,在P(A|B)中,事件B成為樣本空間;在P(AB)中,樣本空間仍為Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).
(三)演練經(jīng)典小題,做好考前熱身
1.(2018武漢調(diào)研)將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中,每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球,那么甲盒中恰好有3個(gè)小球的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:選C 將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中,每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球有C種放法,甲盒中恰好有3個(gè)小球有C種放法,結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為=.故選C.
2.(2018重慶調(diào)研)已知圓C:(x-2)2+y2=2,直線l:y=kx,其中k為[-,]上的任意一個(gè)數(shù),則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:選D 當(dāng)直線l與圓C相離時(shí),圓心C到直線l的距離d=>,解得k>1或k<-1,又k∈[-,],所以-≤k<-1或1”的區(qū)別.
(三)演練經(jīng)典小題,做好考前熱身
1.(2018太原模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i,則z的共軛復(fù)數(shù)為( )
A.i B.-i
C.2i D.-2i
解析:選A ∵=i,∴z===-i,∴=i.
2.(2018石家莊模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的a的值為1,則輸出的k的值為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選D 開始,k=0,a=1,所以b=1;第一次循環(huán),a=-=-,此時(shí)a≠b;第二次循環(huán),k=2,a=-=-2,此時(shí)a≠b;第三次循環(huán),k=4,a= -=1,此時(shí)a=b,結(jié)束循環(huán),輸出k的值為4,故選D.
3.(2018鄭州第一次質(zhì)量測(cè)試)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果是7,則判斷框內(nèi)m的取值范圍是( )
A.(30,42] B.(30,42)
C.(42,56] D.(42,56)
解析:選A k=1,S=2,k=2;S=2+4=6,k=3;S=6+6=12,k=4;S=12+8=20,k=5;S=20+10=30,k=6;S=30+12=42,k=7,此時(shí)不滿足S=420,
當(dāng)a=1時(shí),ln +=>0,
當(dāng)a=時(shí),ln+<0,
當(dāng)a=2時(shí),ln +<0,所以a∈.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.若函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),則常數(shù)a=______
鏈接地址:http://m.zhongcaozhi.com.cn/p-5457634.html