山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 兩條直線的位置關(guān)系練習(xí)（含解析）.doc

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兩條直線的位置關(guān)系 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 已知直線l1：x+ay+6=0和l2：(a-2)x+3y+2a=0，則l1//l2的充要條件是( ) A. a=-1 B. a=3 C. a=-1或a=3 D. a=12 （正確答案）A 解：根據(jù)題意，若l1//l2，則有13=a(a-2)，解可得a=-1或3， 反之可得，當(dāng)a=-1時，直線l1：x-y+6=0，其斜率為1，直線l2：-3x+3y-2=0，其斜率為1，且l1與l2不重合，則l1//l2， 當(dāng)a=3時，直線l1：x+3y+6=0，直線l2：x+3y+6=0，l1與l2重合，此時l1與l2不平行， l1//l2?a=-1， 反之，a=-1?l1//l2， 故l1//l2?a=-1， 故選：A． 首先由兩直線平行可得13=a(a-2)，解可得a=-1或3，分別驗(yàn)證可得a=-1時，則l1//l2，即可得l1//l2?a=-1；反之將a=-1代入直線的方程，可得l1//l2，即有a=-1?l1//l2；綜合可得l1//l2?a=-1，即可得答案． 本題考查直線平行的判定方法，利用解析幾何的方法判斷時，要注意驗(yàn)證兩直線是否重合． 2. 已知直線l1：x+2ay-1=0，與l2：(2a-1)x-ay-1=0平行，則a的值是( ) A. 0或1 B. 1或14 C. 0或14 D. 14 （正確答案）C 解：當(dāng)a=0時，兩直線的斜率都不存在， 它們的方程分別是x=1，x=-1，顯然兩直線是平行的． 當(dāng)a≠0時，兩直線的斜率都存在，故它們的斜率相等， 由2a-1a=-12a≠-1-1，解得：a=14． 綜上，a=0或14， 故選：C． 先檢驗(yàn)當(dāng)a=0時，是否滿足兩直線平行，當(dāng)a≠0時，兩直線的斜率都存在，由2a-1a=-12a≠-1-1，解得a的值． 本題考查兩直線平行的條件，要注意特殊情況即直線斜率不存在的情況，要進(jìn)行檢驗(yàn)． 3. 直線x+2y-4=0與直線2x-y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是( ) A. (2,0) B. (2,1) C. (0,2) D. (1,2) （正確答案）C 解：聯(lián)立x+2y-4=02x-y+2=0，解得x=0，y=2， 直∴線x+2y-4=0與直線2x-y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)． 故選：C． 將二直線的方程聯(lián)立解出即可． 正確理解方程組的解與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 4. 光線沿著直線y=-3x+b射到直線x+y=0上，經(jīng)反射后沿著直線y=ax+2射出，則有( ) A. a=13，b=6 B. a=-13，b=-6 C. a=3，b=-16 D. a=-3，b=16 （正確答案）B 解：在直線y=-3x+b上任意取一點(diǎn)A(1,b-3)， 則點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)B(-b+3,-1)在直線y=ax+2上， 故有-1=a(-b+3)+2，即-1=-ab+3a+2，∴ab=3a+3， 結(jié)合所給的選項(xiàng)， 故選：B． 在直線y=-3x+b上任意取一點(diǎn)A(1,b-3)，則根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)B(-b+3,-1)在直線y=ax+2上，結(jié)合選項(xiàng)可得a、b的值． 本題主要考查一條直線關(guān)于另一條直線對稱的性質(zhì)，反射定理，屬于基礎(chǔ)題． 5. 設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動直線x+my=0和過定點(diǎn)B的直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y)，則|PA|+|PB|的取值范圍是( ) A. [5,25] B. [10,25] C. [10,45] D. [25,45] （正確答案）B 解：由題意可知，動直線x+my=0經(jīng)過定點(diǎn)A(0,0)， 動直線mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)B(1,3)， ∵動直線x+my=0和動直線mx-y-m+3=0的斜率之積為-1，始終垂直， P又是兩條直線的交點(diǎn)，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10． 設(shè)∠ABP=θ，則|PA|=10sinθ，|PB|=10cosθ， 由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0,π2] ∴|PA|+|PB|=10(sinθ+cosθ)=25sin(θ+π4)， ∵θ∈[0,π2]，∴θ+π4∈[π4,3π4]， ∴sin(θ+π4)∈[22,1]， ∴25sin(θ+π4)∈[10,25]， 故選：B． 可得直線分別過定點(diǎn)(0,0)和(1,3)且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10.三角換元后，由三角函數(shù)的知識可得． 本題考查直線過定點(diǎn)問題，涉及直線的垂直關(guān)系和三角函數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題． 6. 已知b>0，直線(b2+1)x+ay+2=0與直線x-b2y-1=0互相垂直，則ab的最小值等于( ) A. 1 B. 2 C. 22 D. 23 （正確答案）B 解：b>0，兩條直線的斜率存在，因?yàn)橹本€(b2+1)x+ay+2=0與直線x一b2y一1=0互相垂直， 所以(b2+1)-ab2=0，ab=b+1b≥2 故選B 由題意可知直線的斜率存在，利用直線的垂直關(guān)系，求出a，b關(guān)系，然后求出ab的最小值． 本題考查兩條直線垂直的判定，考查計算推理能力，是基礎(chǔ)題． 7. 與直線L1：mx-m2y=1垂直于點(diǎn)P(2,1)的直線L2的方程為( ) A. x+y-1=0 B. x-y-3=0 C. x-y-1=0 D. x+y-3=0 （正確答案）D 解：點(diǎn)P(2,1)代入直線L1：mx-m2y=1，可得m=1， 所以直線L1的斜率為1，直線L2的斜率為-1，故可知方程為x+y-3=0， 故選D． 先求m=1，從而得到直線L1的斜率為1，直線L2的斜率為-1，故可求． 本題主要考查兩直線垂直，斜率互為負(fù)倒數(shù)，屬于基礎(chǔ)題． 8. 已知傾斜角為θ的直線l與直線x+2y-3=0垂直，則sin2θ的值為( ) A. 35 B. 45 C. 15 D. -15 （正確答案）B 解：直線l與直線x+2y-3=0垂直，∴kl=-1-12=2． ∴tanθ=2． ∴sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=45． 故選：B． 直線l與直線x+2y-3=0垂直，可得tanθ=2.再利用倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出． 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 9. “m=12”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( ) A. 充分必要條件 B. 充分而不必要條件 C. 必要而不充分條件 D. 既不充分也不必要條件 （正確答案）B 解：當(dāng)m=12時，直線(m+2)x+3my+1=0的斜率是-53，直線(m-2)x+(m+2)y-3=0的斜率是35， ∴滿足k1?k2=-1， ∴“m=12”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分條件， 而當(dāng)(m+2)(m-2)+3m?(m+2)=0得：m=12或m=-2． ∴“m=12”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”充分而不必要條件． 故選：B． 判斷充分性只要將“m=12”代入各直線方程，看是否滿足(m+2)(m-2)+3m?(m+2)=0，判斷必要性看(m+2)(m-2)+3m?(m+2)=0的根是否只有12． 本題是通過常用邏輯用語考查兩直線垂直的判定． 10. 如果直線ax+2y+1=0與直線x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于( ) A. 1 B. -13 C. -23 D. -2 （正確答案）D 解：∵直線ax+2y+1=0與直線x+y-2=0互相垂直，∴斜率之積等于-1， ∴a-2?1-1=-1，a=-2， 故選D． 利用兩直線垂直，斜率之積等于-1，列方程解出參數(shù)a的值． 本題考查兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直，斜率之積等于-1，用待定系數(shù)法求參數(shù)a． 11. 已知直線l1：x?sinα+y-1=0，直線l2：x-3y?cosα+1=0，若l1⊥l2，則sin2α=( ) A. 23 B. 35 C. -35 D. 35 （正確答案）D 解：因?yàn)閘1⊥l2，所以sinα-3cosα=0， 所以tanα=3， 所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35． 故選：D． 根據(jù)直線的垂直，即可求出tanα=3，再根據(jù)二倍角公式即可求出． 本題考查了兩直線的垂直，以及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題 12. 若直線l1：x-3y+2=0與直線l2：mx-y+b=0關(guān)于x軸對稱，則m+b=( ) A. 13 B. -1 C. -13 D. 1 （正確答案）B 解：直線l1：x-3y+2=0與直線l2：mx-y+b=0關(guān)于x軸對稱， 可得：m=-13， y=0時，x=-2，代入mx-y+b=0，所以b=-23， 則m+b=-1． 故選：B． 判斷對稱軸的斜率是相反數(shù)，經(jīng)過x軸上相同點(diǎn)，求解即可． 本題考查直線的簡單性質(zhì)，直線的對稱性的應(yīng)用，考查計算能力． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 直線l1過點(diǎn)(-2,0)且傾斜角為30°，直線l2過點(diǎn)(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為______． （正確答案）(1,3) 解：由題意可得直線l1的斜率等于tan30°=33，由點(diǎn)斜式求得它的方程為y-0=33(x+2)， 即3x-3y+23=0． 直線l2過的斜率等于-133=-3，由點(diǎn)斜式求得它的方程為y-0=-3(x-2)， 即3x+y-23=0． 由3x-3y+23=03x+y-23=0，解得 x=1y=3，故直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)， 故答案為(1,3)． 用點(diǎn)斜式求出兩條直線的方程，再聯(lián)立方程組，解方程組求得直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)． 本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線的方程，兩條直線垂直的性質(zhì)，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題． 14. 設(shè)a>0，b>0，若關(guān)于x，y的方程組ax+y=1x+by=1無解，則a+b的取值范圍為______ ． （正確答案）(2,+∞) 解：∵關(guān)于x，y的方程組ax+y=1x+by=1無解， ∴直線ax+y=1與x+by=1平行， ∵a>0，b>0， ∴a1=1b≠11， 即a≠1，b≠1，且ab=1，則b=1a， 則a+b=a+1a， 則設(shè)f(a)=a+1a，(a>0且a≠1)， 則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(a)=1-1a2=a2-1a2， 當(dāng)0f(1)=2， 當(dāng)a>1時，f(a)=a2-1a2>0，此時函數(shù)為增函數(shù)，f(a)>f(1)=2， 綜上f(a)>2， 即a+b的取值范圍是(2,+∞)， 故答案為：(2,+∞)． 根據(jù)方程組無解，得到兩直線平行，建立a，b的方程關(guān)系，利用轉(zhuǎn)化法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可． 本題主要考查直線平行的應(yīng)用以及構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵． 15. 若直線l與直線2x-y-2=0關(guān)于直線x+y-4=0對稱，則l的方程是______． （正確答案）x-2y+2=0 解：由x+y-4=02x-y-2=0，得y=2x=2，即直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)， 在直線2x-y-2=0上取一點(diǎn)A(1,0)， 設(shè)A關(guān)于直線x+y-4=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b)， 則滿足ba-1=1a+12+b2-4=0得a+b-7=0a-b-1=0得b=3a=4，即對稱點(diǎn)(4,3) 則l的方程為y-23-2=x-24-2，整理得x-2y+2=0， 故答案為：x-2y+2=0 先求出直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性求出一點(diǎn)的對稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式方程進(jìn)行求解即可． 本題主要考查直線方程求解，利用點(diǎn)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵． 16. 已知兩點(diǎn)A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，如果在直線3x+4y+25=0上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m的取值范圍是______． （正確答案）[5,+∞) 解：∵P在直線3x+4y+25=0上，設(shè)點(diǎn)P(x,-3x-254)， ∴AP=(x+m,-3x-254)， BP=(x-m,-3x-254)； 又∠APB=90°， ∴AP?BP=(x+m)(x-m)+(-3x-254)2=0， 即25x2+150x+625-16m2=0； ∴△≥0， 即1502-425(625-16m2)≥0， 解得m≥5，或m≤-5， 又m>0，∴m的取值范圍是[5,+∞)． 故答案為：[5,+∞)． 根據(jù)P在直線3x+4y+25=0上，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫出向量AP、BP；利用AP?BP=0得出方程，再由△≥0求出m的取值范圍． 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目． 三、解答題（本大題共3小題，共30分） 17. 已知函數(shù)f(x)=mxlnx，曲線y=f(x)在點(diǎn)(e2,f(e2))處的切線與直線2x+y=0垂直(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)求f(x)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間； (2)是否存在常數(shù)k，使得對于定義域內(nèi)的任意x，f(x)>klnx+2x恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由． （正確答案）解：(1)f(x)=m(lnx-1)(lnx)2， ∵曲線y=f(x)在點(diǎn)(e2,f(e2))處的切線與直線2x+y=0垂直， ∴f(e2)=m4=12， 解得m=2，∴f(x)=2xlnx， ∴f(x)=2(lnx-1)(lnx)2，令解得：0klnx+2x恒成立，即2xlnx>klnx+2x?klnx<2xlnx-2x， ①當(dāng)x∈(0,1)時，lnx<0，則k>2x-2x?lnx恒成立， 令g(x)=2x-2x?lnx，則g(x)=2x-lnx-2x， 再令h(x)=2x-lnx-2，則h(x)=x-1x<0，所以h(x)在(0,1)內(nèi)遞減， 所以當(dāng)x∈(0,1)時，h(x)>h(1)=0，故g(x)=h(x)x>0， 所以g(x)在(0,1)內(nèi)遞增，g(x)0，則k<2x-2x?lnx恒成立， 由①可知，當(dāng)x∈(1,+∞)時， 0/>，所以h(x)在(1,+∞)內(nèi)遞增， 所以當(dāng)x∈(1,+∞)時，h(x)>h(1)=0，故g(x)=h(x)x>0， 所以g(x)在(1,+∞)內(nèi)遞增，g(x)>g(1)=2?k≤2； 綜合①②可得：k=2． (1)令f(e2)=12解出m，得出f(x)的解析式，令f(x)<0解出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)分離參數(shù)得出k>2x-2xlnx(01)，分情況討論求出右側(cè)函數(shù)的最大值或最小值，從而得出k的范圍． 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題． 18. 已知函數(shù)f(x)=alnx-1x，a∈R． (Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值； (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅲ)當(dāng)a=1，且x≥2時，證明：f(x-1)≤2x-5． （正確答案）解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}，f(x)=ax+1x2． 又曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+2y=0垂直， 所以， 即a=1． (Ⅱ)由于f(x)=ax+1x2． 當(dāng)a≥0時，對于x∈(0,+∞)，有 0/>在定義域上恒成立， 即f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)． 當(dāng)a<0時，由，得x=-1a∈(0,+∞)． 當(dāng)x∈(0,-1a)時， 0/>，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(-1a,+∞)時，，f(x)單調(diào)遞減． (Ⅲ)當(dāng)a=1時，f(x-1)=ln(x-1)-1x-1x∈[2,+∞)． 令g(x)=ln(x-1)-1x-1-2x+5．g(x)=1x-1+1(x-1)2-2=-(2x-1)(x-2)(x-1)2． 當(dāng)x>2時，g(x)<0，g(x)在(2,+∞)單調(diào)遞減． 又g(2)=0，所以g(x)在(2,+∞)恒為負(fù)． 所以當(dāng)x∈[2,+∞)時，g(x)≤0． 即ln(x-1)-1x-1-2x+5≤0． 故當(dāng)a=1，且x≥2時，f(x-1)≤2x-5成立． (Ⅰ)導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線斜率，垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù)． (Ⅱ)導(dǎo)數(shù)大于0，對應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，對應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間 (Ⅲ)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，證明不等式． 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義；切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率；用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間：導(dǎo)數(shù)大于0，對應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，對應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間；用導(dǎo)數(shù)求最值，證明不等式． 19. 已知△ABC中，點(diǎn)A(3,-1)，AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-59=0，∠B的平分線所在直線的方程為x-4y+10=0，求BC邊所在直線的方程． （正確答案）解：設(shè)B(c,d)，∠B的平分線所在直線上的點(diǎn)為D，因?yàn)锽在BD上 所以d=14(c+10) 即：B(c,14(c+10)) 所以AB中點(diǎn)(12(c+3),18(c+6)) AB的中點(diǎn)在中線6x+10y-59=0上 所以3(c+3)+54(c+6)-59=0 解得c=10 所以B(10,5) 所以AB斜率KAB=67 kBD-kBC1+?kBDkBC=kAB-kBD1+kABkBD 14-kBC1+?14kBC=67-?141+314 解得kBc=?-29 所以BC方程(點(diǎn)斜式)：y-5=-29(x-10)， 即2x+9y-65=0 設(shè)B(c,d)∠B的平分線所在直線上的點(diǎn)為D，因?yàn)锽在BD上，AB的中點(diǎn)在中線6x+10y-59=0上，求出B的坐標(biāo)，利用解答平分線方程，到角公式，求出BC的斜率，然后求出BC的方程． 本題是中檔題，充分利用中邊所在直線方程，角的平分線方程，到角公式，求解所求直線的斜率，考查計算能力，分析問題解決問題的能力，本題的解法比較多，但是都比較復(fù)雜，考查學(xué)生的耐心和毅力．