2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)字游戲問題（二）.doc

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2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)字游戲問題（二） 　　一、填寫算式中的數(shù)。 　　例1 用○，★，△代表三個數(shù)，有： 　　○+○+○=15，★+★+★=12， 　　△+△+△=18，○+★+△=（ ） 　　填出（ ）中的數(shù)。 　　分析 上面算式中的○、★、△分別代表三個數(shù)。根據(jù)三個相同加數(shù)的和分別是15、12、18，可知○=5，★=4，△=6，又5+4+6=15，所以（ ）內(nèi)應(yīng)填15。 　　解：○=5，★=4，△=6， 　　○+★+△=（15）。 　　例2 把2，3，4，6，7，9分別填到下面六個圓圈中，使三個算式成立。 　　○+○=10，○-○=5，○+○=8， 　　分析1 在2、3、4、6、7、9中相加等于8的只有2和6，先把2、6填在第三個算式中，剩下的就可填成3+7=10，9-4=5。 　　分析2 六個數(shù)中9最大，而9不能填在第1或第3個算式中，所以把9填在第2個算式中作被減數(shù)。其余的就好填了。 　　解：3+7=10，9-4=5，2+6=8。 　　例3 把1～8八個數(shù)字分別填入圖中八個空格中，使圖上四邊正好組成加、減、乘、除四個等式。 　　分析 觀察這幅圖，用8個數(shù)組成四個等式。從左上角開始先作減法和除法，得出結(jié)果之后再分別作加法和乘法得到右下角的數(shù)字。所以問題的關(guān)鍵是左上角的數(shù)字與右下角的數(shù)字。它們應(yīng)該是較大的且能夠作乘法與除法的數(shù)。即8和6，不妨取左上角是8，右下角是6，再試填其他數(shù)字。也可取左上角是6，右下角是8，再試填其他數(shù)字。 　　解： 二、填寫運(yùn)算符號 　　例4 在合適的地方填寫“+”或“-”，使等式成立。 　　1 2 3 4 5 6=1。 　　分析 把六個數(shù)分組，試加會發(fā)現(xiàn)1+2+3+5=11，4+6=10，這樣在4，6前面填上“-”，其他地方填上“+”，等式成立。 　　解：1+2+3-4+5-6=1。 　　例5 在合適的地方填寫“+”或“-”，使等式成立。 　　1 2 3 4 5 6=2。 　　分析 按上題方法試加減，發(fā)現(xiàn)無論如何也得不到2，于是想到是否其中有一個兩位數(shù)，而兩位數(shù)只能是12，再試就能夠成功。 　　解：12-3+4-5-6=2。 　　例6 從+、-、、、（ ）中挑選合適的符號，填入適當(dāng)?shù)牡胤?，使下面等式成立? 　?、? 5 5 5 5=1 　?、? 5 5 5 5=2 　?、? 5 5 5 5=3 　?、? 5 5 5 5=4。 　　分析 在加減乘除運(yùn)算中，有55=1，（5+5）5=2，5-5=0這樣幾個基本關(guān)系，充分利用它們就可以使等式成立，一般來說一個式子可以有多種表達(dá)形式。 　　解：①55+（5-5）5=1 　?。?+5）5-（55）=1 　　②（5+5）5+5-5=2 　　5-（5+5+5）5=2 　?、?5+（5+5）5=3 　　5-55-55=3 　?、埽?+5+5+5）5=4 　　5-55+5-5=4。 三、填寫豎式中的數(shù) 　　例7 在下列豎式中的空白處填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。 　　　 　　分析 先觀察①，這是一個減法算式，被減數(shù)是三位數(shù)，減數(shù)是兩位數(shù)，差是1。而最小的三位數(shù)100與最大的兩位數(shù)99的差正好是1（容易知道，只有這一種情形）。 　　再看②，兩個兩位數(shù)的和是191。分析兩個加數(shù)的十位數(shù)字，它們都必須為9，還要求兩個個位數(shù)字的和進(jìn)位才滿足9+9+1=19。這時兩個個位數(shù)字的和是11，11可以寫成11= 9+2=8+3=7+4=6+5。 　　例8 右面算式中九個字母分別代表1～9九個數(shù)字，試找出字母M和H分別所代表的數(shù)字。 　　分析 九個字母分別代表1～9。在個位數(shù)字上1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以M=5，同時向十位進(jìn)4。這時十位上8個字母中沒有M，所以十位上的數(shù)字和是40，再加上個位進(jìn)來的四個10。結(jié)果是44。所以H=4。 　　解：M=5，H=4。 附送： 2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)數(shù)與計數(shù) 　　從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運(yùn)算定律。 　　例1 數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個點(diǎn)？ 　　解：方法1：從上到下一行一行地數(shù)，見下圖。 　　點(diǎn)的總數(shù)是： 　　5+5+5+5=54。 　　方法2：從左至右一列一列地數(shù)，見下圖。 　　點(diǎn)的總數(shù)是：4+4+4+4+4=45。 　　因?yàn)椴徽撊藗冊鯓訑?shù)，點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化。所以應(yīng)有下列等式成立： 　　54=45 　　從這個等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí)： 　　兩個數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變。 　　這就是乘法交換律。 　　正因?yàn)檫@樣，在兩個數(shù)相乘時，以后我們也可以不再區(qū)分哪個是乘數(shù)，哪個是被乘數(shù)，把兩個數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律也可以換個說法： 　　兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。 　　如果用字母a、b表示兩個因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：ab=ba。 　　方法3：分成兩塊數(shù)，見右圖。 　　前一塊4行，每行3個點(diǎn)，共34個點(diǎn)。 　　后一塊4行，每行2個點(diǎn)，共24個點(diǎn)。 　　兩塊的總點(diǎn)數(shù)=34+24。 　　因?yàn)椴徽撊藗冊鯓訑?shù)，原圖中總的點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化。所以應(yīng)有下列等式成立： 　　34+24=54。 　　仔細(xì)觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個數(shù)的關(guān)系： 　　3+2=5 　　所以上面的等式可以寫成： 　　34+24=（3+2）4 　　也可以把這個等式調(diào)過頭來寫成： 　　（3+2）4=34+24。 　　這就是乘法對加法的分配律。 　　如果用字母a、b、c代表三個數(shù)，那么乘法對加法的分配律可以表示成下面的形式： 　　（a+b）c=ac+bc 　　分配律的意思是說：兩個數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個數(shù)與第三個數(shù)的積加上第二個數(shù)與第三個數(shù)的積之和。 　　進(jìn)一步再看，分配律是否也適用于括號中是減法運(yùn)算的情況呢？請看下面的例子： 　　計算（3-2）4和34-24。 　　解：（3-2）4=14=4 　　34-24=12-8=4。 　　兩式的計算結(jié)果都是4，從而可知： 　?。?-2）4=34-24 　　這就是說，這個分配律也適用于一個數(shù)與另一個數(shù)的差與第三個數(shù)相乘的情況。 　　如果用字母a、b、c（假設(shè)a>b）表示三個數(shù)，那么上述事實(shí)可以表示如下：（a-b）c=ac-bc。 　　正因?yàn)檫@個分配律對括號中的“+”和“-”號都成立，于是，通常人們就簡稱它為乘法分配律。 　　例2 數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長方體是由多少個小長方體組成的？ 　　解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見上右圖。 　　第一層 42個 　　第二層 42個 　　第三層 42個 　　三層小長方體的總個數(shù)（42）3個。 　　方法2：從左至右一排一排地數(shù)，見下圖。 　　第一排 23個 　　第二排 23個 　　第三排 23個 　　第四排 23個 　　四排小長方體的總個數(shù)為（23）4。 　　若把括號中的23看成是一個因數(shù)，就可以運(yùn)用乘法交換律，寫成下面的形式：4（23）。 　　因?yàn)椴徽撊藗冊鯓訑?shù)，原圖中小長方體的總個數(shù)是一定的，不會因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化。把兩種方法連起來看，應(yīng)有下列等式成立：（42）3=4（23）。 　　這就是說在三個數(shù)相乘的運(yùn)算中，改變相乘的順序，所得的積相同。 　　或是說，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘再乘以第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相乘，再去乘第一個數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律。 　　如果用字母a、b、c表示三個數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：（ab）c=a（bc）。 　　巧妙地運(yùn)用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運(yùn)算變得簡潔、迅速。 　　從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計算公式。 　　例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點(diǎn)？ 　　解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖。 　　總點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。 　　方法2：補(bǔ)上一個同樣的三角形點(diǎn)群（但要上下顛倒放置）和原有的那個三角形點(diǎn)群共同拼成一個長方形點(diǎn)群，則顯然有下式成立（見下圖）： 　　三角形點(diǎn)數(shù)=長方形點(diǎn)數(shù)2 　　因三角形點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9 　　而長方形點(diǎn)數(shù)=109=（1+9）9 　　代入上面的文字公式可得： 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9 　　=（1+9）92=45。 　　進(jìn)一步把兩種方法聯(lián)系起來看： 　　方法1是老老實(shí)實(shí)地直接數(shù)數(shù)。 　　方法2可以叫做“拼補(bǔ)法”。經(jīng)拼補(bǔ)后，三角形點(diǎn)群變成了長方形點(diǎn)群，而長方形點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)就可以用乘法算式計算出來了。 　　即1+2+3+4+5+6+7+8+9 　　=（1+9）92。 　　這樣從算法方面講，拼補(bǔ)法的作用是把一個較復(fù)雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了。這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了。 　　再進(jìn)一步，若脫離開圖形（點(diǎn)群）的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)： 　　這個等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個數(shù)1又叫首項(xiàng)，最后一個數(shù)9叫末項(xiàng)，共有9個數(shù)又可以說成共有9項(xiàng)，這樣，等式的含義就可以用下面的語言來表述： 　　從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半?；蚴菍懗上旅娴奈淖质剑? 　　和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2 　　這個文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式。 　　例4 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點(diǎn)？ 　　解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖： 　　總點(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6=20。 　　方法2：補(bǔ)上一個同樣的梯形點(diǎn)群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個長方形點(diǎn)群如下圖所示： 　　由圖可見，有下列等式成立： 　　梯形點(diǎn)數(shù)=長方形點(diǎn)數(shù)2。 　　因?yàn)樘菪吸c(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6 　　而長方形點(diǎn)數(shù)=85=（2+6）5 　　代入上面的文字式，可得： 　　2+3+4+5+6=（2+6）52 　　與例1類似，我們用拼補(bǔ)法得到了一個計算梯形點(diǎn)群總點(diǎn)數(shù)的較為簡單的公式。 　　再進(jìn)一步，若脫離開圖形（點(diǎn)群）的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)： 　　這個等式的左邊就是一個等差數(shù)列的求和式，它的首項(xiàng)是2，末項(xiàng)是6，公差是1，項(xiàng)數(shù)是5。這樣這個等式的含義就可以用下面的語言來表述： 　　等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半。 　　寫成下面較簡化的文字式： 　　和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2 　　這就是等差數(shù)列的求和公式。 　　例5 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個小三角形？ 　　解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖。 　　小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個。 　　方法2：補(bǔ)上一個同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來的一起拼成一個大平行四邊形如下圖所示。 　　顯然平行四邊形包含的小三角形個數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個數(shù)的兩倍，即下式成立。 　　大三角形中所含=平行四邊形所含2 　　平行四邊形所含=84=（1+7）4（個） 　　大三角形中所含=1+3+5+7=16 　　代入上述文字式： 　　1+3+5+7＝（1+7）42 　　這樣，我們就得到了一個公式： 　　小三角形個數(shù)=（第一層的數(shù)+最末層的數(shù)）層數(shù)2 　　脫離開圖形的背景，純粹從數(shù)的方面進(jìn)行考察，找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)： 　　等式左邊就表示一個等差數(shù)列的前幾項(xiàng)的和，它的首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是7，公差是2，項(xiàng)數(shù)是4。這樣這個等式的含義也就可以用下面的語言來表述： 　　等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)之積的一半。 　　寫成較簡單的文字式： 　　和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2。