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1、一、命題的有關概念一、命題的有關概念1.命題命題 可以判斷真假的語句可以判斷真假的語句. “非非 p”形式的復合形式的復合命題與命題與 p 的的真假相反真假相反; 2.邏輯聯(lián)結詞邏輯聯(lián)結詞 “或或”、“且且”、“非非”.3.簡單命題簡單命題 不含邏輯聯(lián)結詞的命題不含邏輯聯(lián)結詞的命題.4.復合命題復合命題 含有邏輯聯(lián)結詞的命題含有邏輯聯(lián)結詞的命題.5.復合命題真值表復合命題真值表 “p 或或 q”形式的復合命題當形式的復合命題當 p 與與 q 同時為假同時為假時為假時為假, 其它情形為真其它情形為真; “p 且且 q”形形式的復合命題式的復合命題當當p 與與q同時為同時為真時為真真時為真, 其其
2、它情形為假它情形為假.p非非 p真真假假假假真真pqp 或或 q真真 真真真真真真 假假真真假假 真真真真假假 假假假假pqp 且且 q真真 真真真真真真 假假假假假假 真真假假假假 假假假假二、命題的四種形式二、命題的四種形式逆否命題逆否命題: 若若 q, 則則 p.原命題原命題: 若若 p, 則則 q; 逆命題逆命題: 若若 q, 則則 p; 否命題否命題: 若若 p, 則則 q; 互逆互逆互逆互逆互互否否互互否否 否命題否命題 若若 p 則則 q 逆否命題逆否命題若若 q 則則 p 原命題原命題若若 p 則則 q 逆命題逆命題若若 q 則則 p互互 為為 逆逆 否否 否否 逆逆 為為 互
3、互注注: 互為逆否命題的兩個命題同真假互為逆否命題的兩個命題同真假. 三、反證法三、反證法1.一般步驟一般步驟反設反設: 假設命題的結論不成立假設命題的結論不成立, 即假設結論的反面成立即假設結論的反面成立; 歸謬歸謬: 從假設出發(fā)從假設出發(fā), 經(jīng)過推理論證經(jīng)過推理論證, 得出矛盾得出矛盾; 結論結論: 由矛盾判定假設不正確由矛盾判定假設不正確, 從而肯定命題的結論正確從而肯定命題的結論正確. 2.命題特點命題特點結論本身以否定形式出現(xiàn)結論本身以否定形式出現(xiàn);結論是結論是“至少至少”、“至多至多”、“唯一唯一”、“都是都是”等形式等形式; 結論涉及結論涉及“存在或不存在存在或不存在”，“有限或
4、無限有限或無限”等等形式形式; 結論的反面比原結論更具體或更易于證明結論的反面比原結論更具體或更易于證明.3.特殊結論的反設特殊結論的反設原結論詞原結論詞大于大于()小于小于(5, q: x5;(2) p: 1+sin =a, q: sin +cos =a;2 2 (3) p: D2=4F, q: 圓圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0 與與 x 軸相切軸相切; (4) p: 多面體是正四棱柱多面體是正四棱柱, q: 多面體是長方體多面體是長方體; (5) p: ABC中中, acosB=bcosA, q: ABC為等腰三角形為等腰三角形. 解解: (1)設設 P=x | x5, Q=x | x
5、5, p 是是 q 的充分但不必要條件的充分但不必要條件. P Q, (2) 1+sin =a|sin +cos |=a2 2 sin +cos =a, 2 2 而而 sin +cos =a1+sin =a2 2 2 1+sin =|a| 1+sin =a, p 是是 q 的既不充分也不必要條件的既不充分也不必要條件. 解解: 圓圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0與與 x 軸相切軸相切 p 是是 q 的必要但不充分條件的必要但不充分條件. 解解: 正四棱柱是特殊的長方體正四棱柱是特殊的長方體, p 是是 q 的充分但不必要條件的充分但不必要條件. 正四棱柱正四棱柱 長方體長方體. 解解: ac
6、osB=bcosA, 2RsinAcosB=2RcosAsinB. A=B . sin(A- -B)=0. pq. p 是是 q 的充分但不必要條件的充分但不必要條件. 而而 q 中沒有指明哪兩個角相等中沒有指明哪兩個角相等, 又顯然又顯然 qp, |- - |= D2+E2- -4F 且且 E 0E212 . D2- -4F=0 E 0將將 形成的值看作集合形成的值看作集合 Q, D2- -4F=0 E 0(4) p: 多面體是正四棱柱多面體是正四棱柱, q: 多面體是長方體多面體是長方體. (5) p: ABC中中, acosB=bcosA, q: ABC為等腰三角形為等腰三角形. P 形
7、成的集合看作形成的集合看作 P, 顯然顯然 Q P. (3) p: D2=4F, q: 圓圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0 與與 x 軸相切軸相切. 例例2 已知已知 f(x)=ax2+bx+c(a, b, c R), 求證求證: 關于關于 x 的方程的方程 f(x)=0 恰有兩不相等的實數(shù)解的充要條件是恰有兩不相等的實數(shù)解的充要條件是: 存在存在 x0 R, 使使 af(x0)b2- -4(- -a2x02- -abx0) 證證: 充分性充分性: 若存在若存在 x0 R, 使使af(x0)0, 即即 a2x02+abx0+ac0, =(2ax0+b)20. 關于關于 x 的方程的方程 f(
8、x)=0 恰有兩不相等的實數(shù)解恰有兩不相等的實數(shù)解. 必要性必要性: 若關于若關于 x 的方程的方程 f(x)=0 恰有兩不相等的實數(shù)解恰有兩不相等的實數(shù)解, ( (否則否則, 方程方程 f(x)=0 不會不會恰有兩恰有兩個不相等的實數(shù)解個不相等的實數(shù)解, 矛盾矛盾) ).故由故由 , 可知關于可知關于 x 的方程的方程 f(x)=0 恰有兩不相等的實數(shù)恰有兩不相等的實數(shù)解的充要條件是解的充要條件是: 存在存在 x0 R, 使使 af(x0)0.設為設為 x1, x2, 且且 x1x2, 則則 a 0f(x)=a(x- -x1)(x- -x2). 取取 x0= , x1+x2 2則則 x1x0
9、 x2, af(x0)=a2(x0- -x1)(x0- -x2)=- - 4a2(x1- -x2)2 0, 這說明存在這說明存在 x0 R, 使使af(x0)0. 在此前提下考慮至少有一個非負根的反面在此前提下考慮至少有一個非負根的反面即兩個負根即兩個負根的充要條件是的充要條件是: 例例3 已知集合已知集合 M=(x, y) | y2=2x, N=(x, y) | (x- -a)2+y2=9, 求證求證: MN 的充要條件是的充要條件是 - -3a5.即關于即關于 x 的方程的方程 x2 +2(1- -a)x+a2- -9=0 至少有一個非負根至少有一個非負根.證證: 由已知由已知MN 的充要
10、條件是的充要條件是 方程組方程組由由 0 得得 a5. 解得解得 a- -3. 從而使從而使MN 的充要條件是的充要條件是 - -3a5.至少有一組實數(shù)解至少有一組實數(shù)解, 且且 x0. y2=2x(x- -a)2+y2=90, x1+x20. 例例4 求證：關于求證：關于x 的方程的方程x2+2ax+b=0 有實數(shù)根有實數(shù)根, 且兩根均小于且兩根均小于 2的的充分但不必要條件是充分但不必要條件是a2且且|b|4.方程有實數(shù)根方程有實數(shù)根x1 和和 x2 . 證明證明: 由由a2且且|b|4得得: a24b. =4(a2 - -b)0. 又由又由a2得得: - -2a- -4. 而而b- -4
11、, (x1- -2)+(x2- -2)=(x1+x2)- -4= - -2a- -4- -4- -4= - -80, 即即 (x1- -2)+(x2- -2)0. (x1- -2)0 且且 (x2- -2)0. x12 且且 x22 . 由由a2且且|b|4可推得關于可推得關于x 的方程的方程x2+2ax+b=0 有實數(shù)根有實數(shù)根, 且兩且兩根均小于根均小于 2.另一方面另一方面, 對于方程對于方程x2 - -x=0, 其兩根為其兩根為0, 1, 均小于均小于2, 但但 a= - - , 21由由關于關于x 的方程的方程x2+2ax+b=0有實數(shù)根有實數(shù)根, 且兩根均小于且兩根均小于 2不一定不一定推得推得a2且且|b|4.故關于故關于 x 的方程的方程 x2+2ax+b=0 有實數(shù)根有實數(shù)根, 且兩根均小于且兩根均小于 2 的充分的充分但不必要條件是但不必要條件是a2且且|b|4.
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