數(shù)學第五章 平面向量與解三角形 5.1 平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理

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1、第五章 平面向量與解三角形5.1 平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理高考數(shù)學高考數(shù)學考點一平面向量的線性運算及幾何意義考點一平面向量的線性運算及幾何意義1.既有大小又有方向的量叫做向量.向量可以用有向線段來表示.2.向量的大小,也就是向量的長度(或稱模),記作|.3.長度為0的向量叫做零向量,記作0.長度為1個單位長度的向量叫做單位向量.4.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫做共線向量.規(guī)定:0與任一向量平行.5.長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6.向量的加法法則:三角形法則和平行四邊形法則.7.向量加法的交換律:a+b=b+a.向量加法的結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b

2、+c).ABABAB知識清單8.與a長度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,記作-a.規(guī)定:0的相反向量是0.9.實數(shù)與非零向量a的乘積a是一個向量,它的長度是|a|的|倍,即|a|=|a|.它的方向:當0時,與a同向;當0時,與a反向.顯然,當=0時,a=0.10.設a、b是任意向量,、是實數(shù),則實數(shù)與向量的積適合以下運算律:(1)結(jié)合律:(a)=()a;(2)第一分配律:(+)a=a+a;(3)第二分配律:(a+b)=a+b.11.向量共線的判斷(1)若a與b是兩個非零向量,則它們共線的充要條件是有且只有一個實數(shù),使得b=a;(2)若a與b是兩個非零向量,則它們共線的充要條件是存在兩個均

3、不是零的實數(shù)、,使得a+b=0.考點二平面向量的基本定理及坐標表示考點二平面向量的基本定理及坐標表示1.平面向量的基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)1、2,使a=1e1+2e2,其中e1、e2是一組基底.2.平面向量的坐標運算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=(x1x2,y1y2);(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1);(3)若a=(x,y),R,則a=(x,y).3.向量平行的坐標表示(1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),則ab的充要條件為x1y2

4、-x2y1=0;(2)三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共線的充要條件為(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-ABy 1)=0.4.幾個重要結(jié)論:如圖,(1)若a、b為不共線向量,則a+b、a-b為以a、b為鄰邊的平行四邊形的對角線向量;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);(3)G為ABC的重心+=0G.GAGBGC,33ABCABCxxxyyy 平面向量的線性運算的解題策略平面向量的線性運算的解題策略平面向量線性運算的思路:(1)根據(jù)已知條件,正確選擇基底;(2)把條件和結(jié)論(或問題)中的所有向量用基底表示;(3)進行相關的運算.例

5、1(2017浙江臺州質(zhì)量評估,16)已知不共線的平面向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,若向量c=a+b(,R),且+=1,=,則=.|c bb|c aa方法技巧方法1解題導引設=a,=b,=c由條件知A,B,C三點共線,且OC為AOB的平分線由平分線性質(zhì)得結(jié)論OAOBOC解析如圖,設=a,=b,=c.因為向量c=a+b(,R),且+=1,所以A,B,C三點共線.由=知,|c|cos=|c|cos,所以OC為AOB的平分線.因為c=a+b=a+(1-)b,所以c-b=(a-b),即=,所以=,OAOBOC|c bb|c aaBCBA|BCBA易知=,所以=.|BCCA|OBOA23|BCBA

6、25答案25 平面向量的坐標運算的解題策略平面向量的坐標運算的解題策略向量的坐標表示實際上就是向量的代數(shù)表示,在引入向量的坐標表示后,向量的運算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算,這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此,很多幾何問題的證明,特別是共線、共點等較難問題的證明,就可以轉(zhuǎn)化為較為簡單的代數(shù)運算的論證.例2(2016浙江名校(杭州二中)交流卷三,15)已知ABC中,AB=4,AC=2,若|+(2-2)|的最小值為2,則對于ABC內(nèi)(包括邊界)一點Q,(+)的取值范圍是.ABACQAQBQC方法2解題導引建立合適的平面直角坐標系由最值確定點B坐標由向量的坐標運算把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為動點與

7、定點的距離的平方由距離的幾何意義得結(jié)論解析不妨設=+(2-2)=+2(1-)=+(1-)(其中C為AN的中點),可知B,M,N三點共線,且AB=AN=4,因為|的最小值為2,且易知取到最小值時,AMBN,所以MAN=60,所以BAC=120.如圖,建立以A為坐標原點,AC所在的直線為x軸的平面直角坐標系.設B點在x軸上方,可得A(0,0),B(-2,2),C(2,0),則BC的中點D的坐標為(0,).設Q(x,y),則(+)=2=2x2+y(y-)=2.x2+的幾何意義為點Q與點P的距離的平方,可知當Q與P重合時,距離的平方最小,為0;當Q在B點處時,距離的平方最大,為,所以(+)的取值范圍為.AMABACABACABANAM33QAQBQCQAQD3223324xy232y30,2434QAQBQC3,202答案3,202