數(shù)學第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 理

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1、第第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積節(jié)空間幾何體的表面積與體積最新考綱了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.1.多面體的表(側)面積多面體的各個面都是平面，則多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和.知知 識識 梳梳 理理2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側_S圓錐側_S圓臺側_2rlrl(r1r2)l3.柱、錐、臺和球的表面積和體積Sh4R2常用結論與微點提醒1.長方體的外接球2.正方體的外接球、內切球及與各條棱相切的球3.正四面體的外接球與內切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)診 斷 自 測1.思考辨析(在

2、括號內打“”或“”)(1)錐體的體積等于底面面積與高之積.()(2)球的體積之比等于半徑比的平方.()(3)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差.()解析(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確.(2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.答案(1)(2)(3)(4)2.已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm).答案B3.(2017浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()答案A4.(2016全國卷)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，

3、則該球的表面積為()答案A6.(2016浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是_cm2，體積是_cm3.解析由三視圖可知，該幾何體為兩個相同長方體組合，長方體的長、寬、高分別為4 cm、2 cm、2 cm，其直觀圖如下：其體積V222432(cm3)，由于兩個長方體重疊部分為一個邊長為2的正方形，所以表面積為S2(222244)2222(832)872(cm2).答案7232考點一空間幾何體的表面積【例1】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A.17 B.18C.20 D.28解析(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯

4、形，如圖所示.(2)由題知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個球(被過球心O且互相垂直的三個平面)答案(1)B(2)A規(guī)律方法空間幾何體表面積的求法.(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數(shù)量.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用.【訓練1】 (1)(2016全國卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()(2)(2017全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，

5、正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A.10 B.12 C.14 D.16答案(1)B(2)B考點二空間幾何體的體積【例2】 (1)(一題多解)(2017全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A.90 B.63C.42 D.36(2)(2016浙江卷)如圖，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PDDA，PBBA，則四面體PBCD的體積的最大值是_.解析(1)法一(割補法)由幾何體的三視圖

6、可知，該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所示.規(guī)律方法空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.(2)(2015浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是_cm3.(2)由三視圖可知該幾何體是由棱長為2 cm的正方體與底面邊長為2 cm正方形、高為2 cm的正四棱錐組成.考點三多面體與球的切、接

7、問題(變式遷移)解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切，設底面ABC的內切圓的半徑為r.答案B【變式遷移1】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積.解將直三棱柱補形為長方體ABECA1B1E1C1，則球O是長方體ABECA1B1E1C1的外接球.體對角線BC1的長為球O的直徑.【變式遷移2】 若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的體積.解如圖，設球心為O，半徑為r，規(guī)律方法空

8、間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接.球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.(2)若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【訓練3】 (1)(2017全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()(2)(2017全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_.答案(1)B(2)36