高考數學大一輪總復習 第10篇 第2節(jié) 計數原理、排列與組合的綜合應用課件 理 新人教A版 .ppt

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第2節(jié)計數原理 排列與組合的綜合應用 基礎梳理 1 兩個計數原理的綜合應用對于一些較為復雜的既要運用分類計數原理又要運用分步計數原理的問題 我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格 使問題的分析更直觀 清楚 一般采用先分類后分步的策略 2 排列組合常見的解題策略 1 特殊元素優(yōu)先安排策略 2 合理分類與準確分步策略 3 排列 組合混合問題先選后排的策略 處理排列組合綜合性問題一般是先選元素 后排列 4 正難則反 等價轉化策略 5 相鄰問題捆綁處理策略 6 不相鄰問題插空處理策略 7 定序問題除法處理策略 8 小集團 排列問題先整體后局部策略 9 構造模型的策略 1 如圖所示為一電路圖 從A到B共有 條不同的線路可通電 A 18B 8C 9D 15 解析 先分步后分類 共有不同的線路為3 3 2 15條 故選D 答案 D 2 已知5個工程隊承建某項工程的5個不同的子項目 每個工程隊承建一項 其中甲工程隊不能承建3號子項目 則不同的承建方案共有 A 4種B 16種C 64種D 96種 答案 D 3 電視臺在直播2013年莫斯科大學生運動會時要連續(xù)插播5個廣告 其中3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的運動會宣傳廣告 要求最后播放的是運動會宣傳廣告 且2個運動會宣傳廣告不能連播 則不同的播放方式的種數為 A 120B 48C 36D 18答案 C 4 某班3名同學去參加5項活動 每人只參加1項 同一項活動最多2人參加 則3人參加活動的方案共有 種 用數字作答 答案 120 考點突破 例1 如圖所示 將四棱錐SABCD的每一個頂點染上一種顏色 并使同一條棱上的兩端異色 如果只有5種顏色可供使用 那么不同的染色方法共有 種 以數字作答 計數原理的綜合應用 思維導引 法一可分兩大步進行 先將四棱錐一側面上的三個頂點染色 然后再分類考慮另外兩頂點的染色方法種數 用分步乘法計數原理可得染色方法總數 法二按S A B C D的順序染色 法三可按所用顏色種數分類 解析 法一由題意 四棱錐SABCD的頂點S A B所染的顏色互不相同 它們共有5 4 3 60 種 染色方法 當S A B染色確定時 不妨設其顏色分別為1 2 3 設另外兩種顏色為4 5 若C染2 則D可染3或4或5 有3種染法 若C染4 則D可染3或5 有2種染法 若C染5 則D可染3或4 有2種染法 可見 當S A B染色確定時 C D有7種染法 故不同的染色方法有60 7 420 種 法二第一步 S點染色 有5種方法 第二步 A點染色 與S在同一條棱上 有4種方法 第三步 B點染色 與S A分別在同一條棱上 有3種方法 第四步 C點染色 也有3種方法 但考慮到D點與S A C相鄰 需要針對A與C是否同色進行分類 當A與C同色時 D點有3種染色方法 由分步乘法計數原理知 有5 4 3 1 3 180 種 方法 當A與C不同色時 因為C與S B也不同色 所以C點有2種染色方法 D點也有2種染色方法 則有5 4 3 2 2 240 種 方法 由分類加法計數原理得不同的染色方法共180 240 420 種 法三第一類 5種顏色全用 共有5 4 3 2 1 120 種 不同的染色方法 第二類 只用4種顏色 則必有某兩個頂點同色 A與C或B與D 共有5 4 3 2 5 4 3 2 240 種 不同的染色方法 第三類 只用3種顏色 則A與C B與D必定同色 共有5 4 3 60 種 不同的染色方法 由分類加法計數原理 得不同的染色方法共有120 240 60 420 種 答案 420 利用兩個計數原理解決計數問題時 要注意以下幾個方面 1 對于復雜的問題 可借助列表 畫圖的方法將其分解為兩個計數原理的應用問題 2 先分類后分步 類 間互相獨立 步 間互相聯(lián)系 3 分類時要不重不漏 4 分步時要步驟完整 即時突破1已知集合M 1 2 3 N 4 5 6 7 從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標 則在直角坐標系中 第一 二象限內不同的點有 A 18個B 16個C 14個D 10個 解析 1 設a M b N a為橫坐標 b為縱坐標 則由題意知 b 0 故a的選取有3種 b只有5 6兩種選法 由分步計數原理可知 滿足條件的點有3 2 6個 a為縱坐標 b為橫坐標 由題意a 0 則b的選法有4種 a的選法有2種 由分步計數原理知 滿足條件的點有4 2 8個 由分類計數原理得 滿足條件的點共有6 8 14個 故選C 例2 1 2013年高考浙江卷 將A B C D E F六個字母排成一排 且A B均在C的同側 則不同的排法共有 種 用數字作答 2 如果一個三位正整數 a1a2a3 滿足a1a3 則稱這樣的三位數為凸數 如120 343 275等 那么所有凸數的個數為 A 240B 204C 729D 920 計數原理與排列 或組合 的綜合問題 思維導引 1 根據位置的對稱性分為C在第一或第六位置 C在第二或第五位置與C在第三或第四位置三類求解 2 根據a3是否為0 a1與a3是否相等進行分類 利用分類加法計數原理求解 答案 1 480 2 A 解決計數原理與排列 或組合 綜合問題時首先根據題意確定是分類還是分步解決 然后確定每一類 或步 是排列問題還是組合問題 先分別求解 再由計數原理最終求解 即時突破2用數字1 2 3 4 5可以組成沒有重復數字且比20000大的五位偶數共有 A 48個B 36個C 24個D 18個 例3 1 2014云南省玉溪市畢業(yè)班檢測 從1 2 3 4 5這五個數字中任取3個組成無重復數字的三位數 當三個數字中有2和3時 2需排在3的前面 不一定相鄰 這樣的三位數有 A 51個B 54個C 12個D 45個 排列與組合的綜合應用 2 2014吉林省白山市模擬 現有12件商品擺放在貨架上 擺成上層4件 下層8件 現要從下層8件中取2件調整到上層 若其他商品的相對順序不變 則不同調整方法的種數為 A 420種B 560種C 840種D 20160種 思維導引 1 依據選取的數字中是否含有2 3進行分類 2 保持商品的相對順序不變可以利用依次插空法求解 1 解決排列組合應用題 一般是將符合要求的元素取出 組合 或進行分組 再對取出的元素或分好的組進行排列 分組時 要注意 平均分組 與 不平均分組 的差異及分類的標準 2 由于排列組合問題的答案一般數目較大 不易直接驗證 因此在檢查結果時 應著重檢查所設計的解決方案是否完備 有無重復和遺漏 也可采用多種不同的方法求解 看看結果是否相同 即時突破3 2013年高考山東卷 用0 1 9十個數字 可以組成有重復數字的三位數的個數為 A 243B 252C 261D 279 特殊元素 位置 優(yōu)先安排法 典例 3位男生和3位女生共6位同學站成一排 若男生甲不站兩端 3位女生中有且只有兩位女生相鄰 則不同排法的種數為 A 360B 288C 216D 96 分析 分兩步計算 第一步 計算滿足3位女生中有且只有兩位相鄰的排法 將3位女生分成兩組 插空到排好的3位男生中 第二步 在第一步的結果中排除甲站兩端的排法 該題涉及到兩個特殊條件 甲不站兩端 與 3女生中有且只有兩位女生相鄰 顯然對于 甲不站兩端 這類問題可利用間接法求解 將其轉化為 甲站兩端 的問題 要優(yōu)先安排甲 然后再安排其他元素 對于 三位女生中有且只有兩位女生相鄰 中的相鄰問題利用捆綁法 而不相鄰問題可以利用插空法求解