選修4-1 幾何證明選講第2講 圓周角定理與圓的切線

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1、 第2講　圓周角定理與圓的切線 考查圓的切線定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)，牢牢抓住圓的切線定理和性質(zhì)定理，以及圓周角定理和弦切角等有關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)掌握解決問題的基本方法. 基礎(chǔ)梳理 1．圓周角定理 (1)圓周角：頂點(diǎn)在圓周上且兩邊都與圓相交的角． (2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半． (3)圓周角定理的推論 ①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等． ②半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是90°；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 2．圓的切線 (1)直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 直線到圓心的

2、距離d與圓的半徑r的關(guān)系 相交 兩個(gè) d＜r 相切 一個(gè) d＝r 相離 無(wú) d＞r (2)切線的性質(zhì)及判定 ①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑． ②切線的判定定理 過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線． (3)切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等． 3．弦切角 (1)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角． (2)弦切角定理及推論 ①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半． ②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等． 雙基自測(cè) 1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10

3、，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP長(zhǎng)為________． 解析　連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝ AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案　6.4 2．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，D是優(yōu)弧上的點(diǎn)，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝________. 解析　連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°， ∴∠BDC＝∠BOC＝50°. 答案　50° 3．(2011·廣州測(cè)試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為C，點(diǎn)A、B在圓O

4、上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________． 解析　連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC， 因此△BOC是等邊三角形， OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1， 所以圓O的面積為π×12＝π. 答案　π 4． (2011·深圳二次調(diào)研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點(diǎn)D，AD＝2，則∠C的大小為________． 解析　連接BD，則有∠

5、ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°. 答案　30° 5．(2011·汕頭調(diào)研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長(zhǎng)線與圓O上過點(diǎn)P的切線PA相交于點(diǎn)A，若∠M＝30°，AP＝2，則圓O的直徑為________． 解析　連接OP，因?yàn)椤螹＝30°，所以∠AOP＝60°，因?yàn)镻A切圓O于P，所以O(shè)P⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝＝2，故圓O的直徑為4. 答案　4 考向一　圓周角的計(jì)算與證明 【例1】?(2011·中山模擬

6、)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點(diǎn)P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________. [審題視點(diǎn)] 連結(jié)AD，BC，結(jié)合正弦定理求解． 解析　連接AD，BC.因?yàn)锳B是圓O 的直徑，所以∠ADB＝∠ACB＝90°. 又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝，所以cos∠DAP＝. 又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝. 答案　 解決本題的關(guān)鍵是尋找∠APB與∠DAP的關(guān)系以及AD與AB的關(guān)系． 【訓(xùn)練1】 如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB

7、＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________． 解析　連接AO，OB.因?yàn)椤螦CB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π. 答案　16π 考向二　弦切角定理及推論的應(yīng)用 【例2】?如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長(zhǎng)線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長(zhǎng)為________． [審題視點(diǎn)] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及＝等條件轉(zhuǎn)化為線 段之間的比例關(guān)系，從而求解． 解

8、析　∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB. 又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC， ∴△EAB∽△ABC，∴＝. 又AE∥BC，∴＝，∴＝. 又AD∥BC，∴＝， ∴AB＝CD，∴＝，∴＝， ∴EF＝＝. 答案　 (1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。? (2)涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角． 【訓(xùn)練2】 (2010·新課標(biāo)全國(guó))如圖，已知圓上的弧＝，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：

9、 (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD. 證明　(1)因?yàn)椋剑? 所以∠BCD＝∠ABC. 又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故＝， 即BC2＝BE×CD. 高考中幾何證明選講問題(二) 從近兩年的新課標(biāo)高考試題可以看出，圓的切線的有關(guān)知識(shí)是重點(diǎn)考查對(duì)象，并且多以填空題的形式出現(xiàn)． 【示例】? (2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為________．