數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第4節(jié) 平行關(guān)系 北師大版

第第4節(jié)平行關(guān)系節(jié)平行關(guān)系最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面平行.知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理平面外_平行，則該直線平行于此平面a，b，aba性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的_與該直線平行a，a，bab一條直線與此平面內(nèi)的一條直線交線2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條_與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行a，b，abP，a，b相交直線性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線_于另一個(gè)平面，aa如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的_平行，a，bab平行交線常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.平行關(guān)系中的兩個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a，a，則.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若，則.2.線線、線面、面面平行間的轉(zhuǎn)化1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.()(2)若直線a平面，P，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.()(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.()(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè)解析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯(cuò)誤.(2)若a，P，則過點(diǎn)P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯(cuò)誤.(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，故(3)錯(cuò)誤.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材習(xí)題改編)下列命題中正確的是()A.若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B.若直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D.若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則b解析根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.答案D3.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m.“m”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析當(dāng)m時(shí)，可能，也可能與相交.當(dāng)時(shí)，由m可知，m.“m”是“”的必要不充分條件.答案B4.(2018西安模擬)已知m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A.m，n，則mn B.mn，m，則nC.m，m，則 D.，則解析A中，m與n平行、相交或異面，A不正確；B中，n或n，B不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，C正確；D中，或與相交，D錯(cuò).答案C5.(教材練習(xí)改編)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為_.解析連接BD，設(shè)BDACO，連接EO，在BDD1中，O為BD的中點(diǎn)，E為DD1的中點(diǎn)，所以EO為BDD1的中位線，則BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行考點(diǎn)一與線、面平行相關(guān)命題的判定考點(diǎn)一與線、面平行相關(guān)命題的判定【例1】 (1)(2018成都診斷)已知m，n是空間中兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且m，n.有下列命題：若，則mn；若，則m；若l，且ml，nl，則；若l，且ml，mn，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析(1)若，則mn或m，n異面，不正確；若，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得m，正確；若l，且ml，nl，則與不一定垂直，不正確；若l，且ml，mn，l與n不一定相交，不能推出，不正確.(2)如圖，對(duì)于，連接MN，AC，則MNAC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN面APC，所以MN面APC是錯(cuò)誤的.對(duì)于，由知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知ANC1Q，且AN平面APC，C1Q平面APC.所以C1Q面APC是正確的.對(duì)于，由知，A，P，M三點(diǎn)共線是正確的.對(duì)于，由知MN面APC，又MN面MNQ，所以面MNQ面APC是錯(cuò)誤的.答案(1)B(2)規(guī)律方法1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng).2.(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，且m，n，則“”是“m且n”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)(2016全國(guó)卷)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號(hào)).解析(1)若m，n，則m且n；反之若m，n，m且n，則與相交或平行，即“”是“m且n”的充分不必要條件.(2)當(dāng)mn，m，n時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為.答案(1)A(2)考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)(多維探究多維探究)命題角度命題角度1直線與平面平行的判定直線與平面平行的判定【例21】 (2016全國(guó)卷)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn).(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，命題角度命題角度2直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例22】 (2018宜春質(zhì)檢)如圖，五面體ABCDE，四邊形ABDE是矩形，ABC是正三角形，AB1，AE2，F(xiàn)是線段BC上一點(diǎn)，直線BC與平面ABD所成角為30，CE平面ADF.(1)試確定F的位置；(2)求三棱錐ACDF的體積.解(1)連接BE交AD于點(diǎn)O，連接OF，CE平面ADF，CE平面BEC，平面ADF平面BECOF，CEOF.O是BE的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn).(2)BC與平面ABD所成角為30，BCAB1，規(guī)律方法1.利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過已知直線作一平面找其交線.2.在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反.【訓(xùn)練2】 (2017江蘇卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，ABAD，EFAD，則ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，ADAC.考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)(典例遷移典例遷移)【例3】 (經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，GH是A1B1C1的中位線，則GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點(diǎn)共面.(2)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綊AB，A1G綊EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【遷移探究1】 在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)”，求證：平面A1BD1平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，四邊形A1ACC1是平行四邊形，M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，D為BC的中點(diǎn)，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，四邊形BDC1D1為平行四邊形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，因此平面A1BD1平面AC1D.規(guī)律方法1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.【訓(xùn)練3】 (2018東北三省四校聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ACAA1，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn).(1)若線段AC上存在點(diǎn)D滿足平面DEF平面ABC1，試確定點(diǎn)D的位置，并說明理由；(2)證明：EFA1C.(1)解點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，理由如下：平面DEF平面ABC1，平面ABC平面DEFDE，平面ABC平面ABC1AB，ABDE，在ABC中，E是BC的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn).(2)證明三棱柱ABCA1B1C1中，ACAA1，四邊形A1ACC1是菱形，A1CAC1.AA1底面ABC，AB平面ABC，AA1AB，又ABAC，AA1ACA，AB平面AA1C1C，A1C平面AA1C1C，ABA1C.又ABAC1A，從而A1C平面ABC1，又BC1平面ABC1，A1CBC1.又E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，EFBC1，從而EFA1C.