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1、單位載荷法 莫爾積分
單位載荷法：用于求結(jié)構(gòu)上某一點某方向上位移的方法。如要求圖11-18剛架A點a-a方向的位移△，可將該系統(tǒng)（圖11-18a）真實位移作為虛位移，而將單位力（廣義力）作用于同一結(jié)構(gòu)上A點a-a方向的結(jié)構(gòu)作為一個平衡力系（圖11-18b）,則應(yīng)用虛功原理有：
?。?1-23）
其中，，，是單位力系統(tǒng)的內(nèi)力，而d(△l)，dθ、dλ是原系統(tǒng)的變形，現(xiàn)在被看作是虛變形；△是原系統(tǒng)上A點沿a-a方向的真實位移。
對于拉壓桿件，則只保留（11-23）式的第一項：
?。?1-24）
若桿的
2、內(nèi)力=常數(shù)，則上式改為：
對于有n根桿組成的桁架，則有：
?。?1-25）
對于桿以彎曲為主，則可忽略軸力與剪力的影響，有：
?。?1-26）
仿照上述推導(dǎo)，如要求受扭桿某一截面的扭轉(zhuǎn)角△，則以單位扭轉(zhuǎn)力偶 x 作用于該截面，并引起扭矩，以原結(jié)構(gòu)引起微段兩端截面相對扭轉(zhuǎn)角為虛位移，則：
?。?1-27） 以上諸式中。如求出的△為正，則表示原結(jié)構(gòu)位移與所加單位力方向一致。
若結(jié)構(gòu)材料是線彈性的，則有：
3、
則式（11-25）、（11-26）、（11-27）分別化為
?。?1-28）
（11-29）
（11-30）
這些式子統(tǒng)稱為莫爾定理,式中積分稱為莫爾積分，顯然只適用于線彈性結(jié)構(gòu)。
當(dāng)需要求兩點的相對位移時，如圖11-19a所示截面A與B的相對位移△A+△B，則只要在A，B兩點的聯(lián)線方向上加一對方向相反的單位力（圖11-19b），然后用單位載荷法計算，即可求得相對位移，因為
4、這時的 ，即是A，B兩點的相對位移。同理，如需要求兩截面相對轉(zhuǎn)角，只要在兩截面上加方向相反的一對單位力偶矩即可。
莫爾積分還可用另一方法導(dǎo)出：如欲求梁上C點在載荷P1，P2，…作用下的位移△（圖11-20a），可在C點假想先只有單位力P0=1作用（圖11-20b），由應(yīng)變能公式（11-12）（對線彈性材料）得P0作用的應(yīng)變能：
（11-31）
此后將P1，P2，…作用于梁（圖11-20c），由于P1，P2，…作用的變形能為。這時，梁的總變形能為：
其中是因為已作用在梁上的單位力在P1，P2，…作用后引起的位移△上所做
5、的功。
如果將P1，P2，…與P0=1共同作用（圖11-20c），則梁內(nèi)彎矩為 ，此時應(yīng)變能為：
此兩最后狀態(tài)的應(yīng)變能相等，故有：
比較以上諸式，不難得到：
?。?1-32）
此即式（11-28）。
【例11-8】 圖11-21簡單桁架，兩桿截面積為A，材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：。試求結(jié)點B的垂直位移△V。
【解】由結(jié)點B的平衡條件可解得BD桿的應(yīng)力、應(yīng)變 及伸長分別為：
,,
同樣可求得BE桿的應(yīng)力，應(yīng)變及伸長分別為：
,, 設(shè)B點作用有單位力，則與單位力相應(yīng)的BD、BE內(nèi)的軸力分別為：
，
由單位載荷法莫爾積分，得B點的垂直位移為：
若材料是線彈性的，彈性模量為E，則有：
，，
，，
而單位載荷引起的內(nèi)力不變，故得：
【材料力學(xué)課件】單位載荷法 莫爾積分
