2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式 推理與證明 第7講 數(shù)學(xué)歸納法課件.ppt

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不等式推理與證明 第六章 第七講數(shù)學(xué)歸納法 知識梳理雙基自測 數(shù)學(xué)歸納法一般地 證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題 可按下列步驟進(jìn)行 1 歸納奠基 證明當(dāng)n取 n0 N 時命題成立 2 歸納遞推 假設(shè)當(dāng)n k k n0 k N 時命題成立 證明當(dāng) 時命題也成立 只要完成這兩個步驟 就可以斷定命題對 都成立 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 第一個值n0 n k 1 從n0開始的所有正整數(shù)n 用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵在于兩個步驟 要做到 遞推基礎(chǔ)不可少 歸納假設(shè)要用到 結(jié)論寫明莫忘掉 1 驗證是基礎(chǔ) 第一個步驟是要找一個數(shù)n0 這個數(shù)n0就是要證明的命題對象的最小自然數(shù) 這個自然數(shù)并不一定都是 1 2 遞推是關(guān)鍵 從 k 到 k 1 的過程中 必須把歸納假設(shè) n k 作為條件來導(dǎo)出 n k 1 時的命題成立 在推導(dǎo)過程中 歸納假設(shè)要用一次或幾次 C 2 數(shù)列 an 中 已知a1 1 當(dāng)n 2時 an an 1 2n 1 依次計算a2 a3 a4后 猜想an的表達(dá)式是 A 3n 2B n2C 3n 1D 4n 3 解析 計算出a1 1 a2 4 a3 9 a4 16 可猜想an n2 故選B B D 2k 1 考點突破互動探究 考點1利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 師生共研 例1 數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點 1 思路 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題 要 先看項 弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律 等式兩邊各有多少項 初始值n0是多少 2 在證明過程中突出兩個 湊 字 即一 湊 假設(shè) 二 湊 結(jié)論 關(guān)鍵是在證明n k 1時要用上n k時的假設(shè) 其次要明確n k 1時證明的目標(biāo) 充分考慮由n k到n k 1時 命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系 化異為同 中間的計算過程千萬不能省略 3 注意 兩個步驟 一個結(jié)論 一個也不能少 切勿忘記歸納結(jié)論 變式訓(xùn)練1 考點2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 師生共研 例2 1 當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時 若其它方法不容易證 可考慮用數(shù)學(xué)歸納法 2 用數(shù)學(xué)歸納法證不等式的關(guān)鍵是由n k成立 推證n k 1時也成立 證明時用上假設(shè)后 可采用比較法 分析法 綜合法 放縮法等 同時證明不等式時 要注意由k到k 1變化時 左右兩邊項的變化 運用放縮法時要注意放縮的 度 變式訓(xùn)練2 2014 廣東高考 設(shè)數(shù)列 an 的前n項和為Sn 滿足Sn 2nan 1 3n2 4n n N 且S3 15 1 求a1 a2 a3的值 2 求數(shù)列 an 的通項公式 考點3歸納 猜想 證明 師生共研 例3 歸納 猜想 證明 的一般步驟 1 計算 根據(jù)條件 計算若干項 2 歸納猜想 通過觀察 分析 綜合 聯(lián)想 猜想出一般結(jié)論 3 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 這種方法在解決探索性問題 存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用 其關(guān)鍵是歸納猜想出結(jié)論 將正整數(shù)作如下分組 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下 試猜測S1 S3 S5 S2n 1的結(jié)果 并用數(shù)學(xué)歸納法證明 S1 1 S2 2 3 5 S3 4 5 6 15 S4 7 8 9 10 34 S5 11 12 13 14 15 65 S6 16 17 18 19 20 21 111 變式訓(xùn)練3 解析 由題意知 當(dāng)n 1時 S1 1 14 當(dāng)n 2時 S1 S3 16 24 當(dāng)n 3時 S1 S3 S5 81 34 當(dāng)n 4時 S1 S3 S5 S7 256 44 猜想 S1 S3 S5 S2n 1 n4 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n 1時 S1 1 14 等式成立 假設(shè)當(dāng)n k n N 時等式成立 即S1 S3 S5 S2k 1 k4 那么 當(dāng)n k 1時 S1 S3 S5 S2k 1 S2k 1 k4 2k2 k 1 2k2 k 2 2k2 k 2k 1 k4 2k 1 2k2 2k 1 k4 4k3 6k2 4k 1 k 1 4 這就是說 當(dāng)n k 1時 等式也成立 根據(jù) 和 可知對于任意的n N S1 S3 S5 S2n 1 n4都成立 名師講壇素養(yǎng)提升 用數(shù)學(xué)歸納法證明 42n 1 3n 2能被13整除 其中n N 分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 關(guān)鍵是n k 1時 湊 出假設(shè)n k時的形式 以便順利得解 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 例4 解析 當(dāng)n 1時 42 1 1 31 2 91能被13整除 假設(shè)當(dāng)n k時 42k 1 3k 2能被13整除 則當(dāng)n k 1時 42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 42k 1 13能被13整除 42k 1 3k 2能被13整除 當(dāng)n k 1時命題也成立 由 當(dāng)n N 時 42n 1 3n 2能被13整除 1 運用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 關(guān)鍵是 湊項 即采用增項 減項 拆項和因式分解等手段 將n k 1時的式子湊出n k時的情形 從而利用歸納假設(shè)使問題獲證 2 利用歸納法證明整除問題 在 湊項 時一定要目標(biāo)明確 一般采用的方法可概括為 提出因子 構(gòu)成假設(shè) 2018 西安模擬 試證 當(dāng)n N 時 f n 32n 2 8n 9能被64整除 變式訓(xùn)練4