備戰(zhàn)2019高考數(shù)學大二輪復習 專題五 立體幾何 5.3 立體幾何中的向量方法課件 理.ppt

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5 3立體幾何中的向量方法 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 用空間向量證明空間的平行與垂直 思考 如何用空間向量證明空間的平行與垂直 例1已知直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC D為AB的中點 AC BC BB1 1 求證 BC1 AB1 2 求證 BC1 平面CA1D 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 證明 如圖 以C1為原點 C1A1 C1B1 C1C所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 由AC BC BB1 設AC 2 則A 2 0 2 B 0 2 2 C 0 0 2 A1 2 0 0 B1 0 2 0 C1 0 0 0 D 1 1 2 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 題后反思用向量方法證明空間線面位置關系的方法 設直線l1 l2的方向向量分別為a b 平面 的法向量分別為e1 e2 A B C分別為平面 內(nèi)的相異且不共線的三點 其中l(wèi)1與l2不重合 與 不重合 則 1 l1 l2 a b 存在實數(shù) 使b a a 0 l1 l2 a b a b 0 2 l1 a e1 存在實數(shù) 使e1 a a 0 l1 a e1 0 存在非零實數(shù) 1 2 使a 1 3 e1 e2 存在實數(shù) 使e2 e1 e1 0 e1 e2 e1 e2 0 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 對點訓練1在直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC 90 BC 2 CC1 4 點E在線段BB1上 且EB1 1 D F G分別為CC1 C1B1 C1A1的中點 求證 1 B1D 平面ABD 2 平面EGF 平面ABD 證明 1 以B為坐標原點 BA BC BB1所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 如圖 則B 0 0 0 D 0 2 2 B1 0 0 4 設BA a 則A a 0 0 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 即B1D EG B1D EF 又EG EF E 因此B1D 平面EGF 結合 1 可知平面EGF 平面ABD 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 利用向量求空間角 思考 如何用空間向量求空間角 例2如圖 四棱錐P ABCD中 側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD AB BC AD BAD ABC 90 E是PD的中點 1 證明 直線CE 平面PAB 2 點M在棱PC上 且直線BM與底面ABCD所成角為45 求二面角M AB D的余弦值 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 題后反思用向量求空間角的方法 設直線l1 l2的方向向量分別為a b 平面 的法向量分別為n m 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 對點訓練2如圖 四面體ABCD中 ABC是正三角形 ACD是直角三角形 ABD CBD AB BD 1 證明 平面ACD 平面ABC 2 過AC的平面交BD于點E 若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分 求二面角D AE C的余弦值 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 1 證明 由題設可得 ABD CBD 從而AD DC 又 ACD是直角三角形 所以 ADC 90 取AC的中點O 連接DO BO 則DO AC DO AO 又由于 ABC是正三角形 故BO AC 所以 DOB為二面角D AC B的平面角 在Rt AOB中 BO2 AO2 AB2 又AB BD 所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2 故 DOB 90 所以平面ACD 平面ABC 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 對點訓練3 2018浙江 19 如圖 已知多面體ABCA1B1C1 A1A B1B C1C均垂直于平面ABC ABC 120 A1A 4 C1C 1 AB BC B1B 2 1 證明 AB1 平面A1B1C1 2 求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 解法二 1 證明 如圖 以AC的中點O為原點 分別以射線OB OC為x y軸的正半軸 建立空間直角坐標系O xyz 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 用空間向量求空間中的距離 思考 如何用空間向量求空間中的距離 例3如圖 在四棱錐P ABCD中 底面四邊形ABCD是正方形 側面PDC是邊長為a的正三角形 且側面PDC 底面ABCD E為PC的中點 1 求異面直線PA與DE所成角的余弦值 2 求點D到平面PAB的距離 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 解 如圖 取DC的中點O 連接PO PDC為正三角形 PO DC 又側面PDC 底面ABCD PO 底面ABCD 如圖建立空間直角坐標系O xyz 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 題后反思求空間中距離的方法 1 直線到平面的距離 兩平行平面間的距離均可轉化為點到平面的距離 2 點P到平面 的距離d 其中n為 的法向量 M為 內(nèi)任一點 3 設直線n的方向向量為n 直線n與異面直線a b都垂直 A是直線a上任一點 B是直線b上任一點 則異面直線a b的距離d 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 對點訓練4如圖 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AB AD 4 CD CDA 45 1 求證 平面PAB 平面PAD 2 設AB AP 若直線PB與平面PCD所成的角為30 求線段AB的長 在線段AD上是否存在一個點G 使得點G到點P B C D的距離都相等 說明理由 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 1 證明 因為PA 平面ABCD AB 平面ABCD 所以PA AB 因為AB AD PA AD A 所以AB 平面PAD 又AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 2 解 以A為坐標原點 建立空間直角坐標系A xyz 如圖 在平面ABCD內(nèi)作CE AB交AD于點E 則CE AD 在Rt CDE中 DE CD cos45 1 CE CD sin45 1 設AB AP t 則B t 0 0 P 0 0 t 由AB AD 4 得AD 4 t 所以E 0 3 t 0 C 1 3 t 0 D 0 4 t 0 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 假設在線段AD上存在一個點G 使得點G到點P B C D的距離都相等 由 消去t 化簡得m2 3m 4 0 因為方程 沒有實數(shù)根 所以在線段AD上不存在一個點G 使得點G到點P C D的距離都相等 從而 在線段AD上不存在一個點G 使得點G到點P B C D的距離都相等 規(guī)律總結 拓展演練 1 用空間向量解決立體幾何問題時 要根據(jù)情況選擇 常建立空間直角坐標系 利用空間向量知識解決立體幾何問題 用空間向量解決的主要立體幾何問題有平行 垂直 求角 求距離等 2 用向量證明空間中的平行關系 1 設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2 則l1 l2 或l1與l2重合 v1 v2 2 設直線l的方向向量為v 與平面 共面的兩個不共線向量v1和v2 則l 或l 存在兩個實數(shù)x y 使v xv1 yv2 3 設直線l的方向向量為v 平面 的法向量為u 則l 或l v u 4 設平面 和 的法向量分別為u1 u2 則 u1 u2 規(guī)律總結 拓展演練 3 用向量證明空間中的垂直關系 1 設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2 則l1 l2 v1 v2 v1 v2 0 2 設直線l的方向向量為v 平面 的法向量為u 則l v u 3 設平面 和 的法向量分別為u1和u2 則 u1 u2 u1 u2 0 4 兩異面直線所成的角不一定是它們的方向向量的夾角 兩平面的法向量的夾角與兩平面的二面角相等或互補 直線的方向向量與平面的法向量的夾角與線面角的余角相等或互補 1 兩條異面直線所成的角 設異面直線a b所成的角為 a b的方向向量為a b 其夾角為 則有cos cos 規(guī)律總結 拓展演練 2 直線和平面所成的角 如圖 sin cos 3 平面 與平面 所成的二面角為 兩平面的法向量分別為m n 則 cos 規(guī)律總結 拓展演練 5 點到平面的距離的向量求法 如圖 設AB為平面 的一條斜線段 n為平面 的法向量 則點B到平面 的距離d 規(guī)律總結 拓展演練 1 在直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分別是A1B1 A1C1的中點 BC CA CC1 則BM與AN所成角的余弦值為 答案 解析 規(guī)律總結 拓展演練 2 已知兩平面的法向量分別為m 0 1 0 n 0 1 1 則兩平面所成二面角的大小為 答案 解析 規(guī)律總結 拓展演練 3 2018天津 理17 如圖 AD BC且AD 2BC AD CD EG AD且EG AD CD FG且CD 2FG DG 平面ABCD DA DC DG 2 1 若M為CF的中點 N為EG的中點 求證 MN 平面CDE 2 求二面角E BC F的正弦值 3 若點P在線段DG上 且直線BP與平面ADGE所成的角為60 求線段DP的長 規(guī)律總結 拓展演練 規(guī)律總結 拓展演練 規(guī)律總結 拓展演練