二階與三階行列式線性代數(shù)ppt課件

《二階與三階行列式線性代數(shù)ppt課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《二階與三階行列式線性代數(shù)ppt課件（49頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

線性代數(shù) 1 數(shù)學(xué)好玩 陳省身 但得此中味 勿為醒者傳 李白 武林高手的最高境界 無招 2 數(shù)學(xué)的好玩之處 主要在于數(shù)學(xué)中有些極具實(shí)用意義的內(nèi)容 包含了深刻的奧妙 發(fā)人深思 使人驚訝 比如以數(shù)學(xué)家Euler命名的一個(gè)公式 其中i是虛數(shù)單位 是圓周率 e是一個(gè)無理數(shù) 3 主要內(nèi)容 第一章行列式第二章矩陣第三章向量組的線性相關(guān)性第四章線性方程組第五章矩陣對(duì)角化第六章二次型 4 參考書目 同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)高等教育出版社湘潭大學(xué)線性代數(shù)科學(xué)出版社北京大學(xué)高等代數(shù)高等教育出版社 第三版 5 線性代數(shù)簡(jiǎn)史 線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支 我們知道一次方程叫做線性方程 討論線性方程及線性運(yùn)算的代數(shù)就叫做線性代數(shù) 在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣 行列式和矩陣在十九世紀(jì)受到很大的注意 而且寫了成千篇關(guān)于這兩個(gè)課題的文章 向量的概念 從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看不過是有序三元數(shù)組的一個(gè)集合 然而它以力或速度作為直接的物理意義 并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫出物理上所說的事情 6 線性代數(shù)學(xué)科和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性系統(tǒng)方程系數(shù)研究而引入和發(fā)展的 行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的 他在1683年寫了一部叫做 解伏題之法 的著作 意思是 解行列式問題的方法 書里對(duì)行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述 歐洲第一個(gè)提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家 微積分學(xué)奠基人之一萊布尼茲 Leibnitz 1693年 7 1750年克萊姆 Cramer 發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式 既人們熟悉的克萊姆法則 1764年 貝佐特 Bezout 把確定行列式每一項(xiàng)的符號(hào)的手續(xù)系統(tǒng)化了 對(duì)給定了含n個(gè)未知量的n個(gè)齊次線性方程 Bezout證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件 8 范德蒙 Vandermonde 是第一個(gè)對(duì)行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述 即把行列式理論與線性方程組求解相分離 的人 并且給出了一條法則 用二階子式和它們的余子式來展開行列式 就對(duì)行列式本身進(jìn)行研究這一點(diǎn)而言 他是這門理論的奠基人 9 拉普拉斯 Laplace 在1772年的論文 對(duì)積分和世界體系的探討 中 證明了Vandermonde的一些規(guī)則 并推廣了他的展開行列式的方法 用r行中所含的子式和它們的余子式的集合來展開行列式 這個(gè)方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名 德國數(shù)學(xué)家雅可比 Jacobi 也于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論 10 另一個(gè)研究行列式的是法國最偉大的數(shù)學(xué)家柯西 Cauchy 他大大發(fā)展了行列式的理論 在行列式的記號(hào)中他把元素排成方陣并首次采用了雙重足標(biāo)的新記法 與此同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進(jìn)并證明了Laplace的展開定理 11 高斯 Gauss 大約在1800年提出了高斯消元法并用它解決了天體計(jì)算和后來的地球表面測(cè)量計(jì)算中的最小二乘法問題 這種涉及測(cè)量 求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱為測(cè)地學(xué) 雖然高斯由于這個(gè)技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名 但早在幾世紀(jì)中國人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運(yùn)用 高斯 消去的方法求解帶有三個(gè)未知量的三方程系統(tǒng) 在當(dāng)時(shí)的幾年里 高斯消去法一直被認(rèn)為是測(cè)地學(xué)發(fā)展的一部分 而不是數(shù)學(xué) 12 矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展 人們需要有合適的符號(hào)和合適的矩陣乘法定義 二者要在大約同一時(shí)間和同一地點(diǎn)相遇 1848年英格蘭的西爾維斯特 J J Sylvester 首先提出了矩陣這個(gè)詞 它來源于拉丁語 代表一排數(shù) 13 1855年矩陣代數(shù)得到了凱萊 ArthurCayley 的工作培育 Cayley研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義 使得復(fù)合變換ST的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃嘢和矩陣T的乘積 他還進(jìn)一步研究了那些包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問題 14 數(shù)學(xué)家試圖研究向量代數(shù) 但在任意維數(shù)中并沒有兩個(gè)向量乘積的自然定義 第一個(gè)涉及一個(gè)不可交換向量積 即v w不等于w v 的向量代數(shù)是由格拉斯曼 HermannGrassmann 在1844年他的 線性擴(kuò)張論 一書中提出的 他的觀點(diǎn)還被引入一個(gè)列矩陣和一個(gè)行矩陣的乘積中 結(jié)果就是現(xiàn)在稱之為秩數(shù)為1的矩陣 或簡(jiǎn)單矩陣 19世紀(jì)末美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉布斯 WillardGibbs 發(fā)表了關(guān)于 向量分析基礎(chǔ) 的著名論述 15 其后英國物理學(xué)家狄拉克 P A M Dirac1902 1984 提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量 矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的 現(xiàn)代向量空間的定義是由皮亞諾 Peano 于1888年提出的 到19世紀(jì)它還僅占線性變換理論形成中有限的空間 我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在20世紀(jì)由物理學(xué)家給出的 16 二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)展 矩陣又有了新的含義 特別是在矩陣的數(shù)值分析等方面 由于計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用 許多實(shí)際問題可以通過離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量的解決 于是作為處理離散問題的線性代數(shù) 成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 17 阿貝爾 Abel 與伽羅瓦 Galois 挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾 1802 8 5 1829 4 6 以證明五次元方程的根式解的不可能性而聞名 法國數(shù)學(xué)家厄米特 Hermite1822 1901 在談到阿貝爾的貢獻(xiàn)時(shí)曾說過 阿貝爾留下的工作 可以使以后的數(shù)學(xué)家足夠忙碌150年 在和阿貝爾同時(shí)期的一個(gè)法國少年讀到了他的著作 于是在不到20歲的時(shí)候在代數(shù)方程論推陳出新創(chuàng)立了一門新的數(shù)學(xué)理論 伽羅瓦理論 這個(gè)發(fā)現(xiàn)者伽羅瓦還建立了群論的基礎(chǔ)理論 18 法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦 1811 10 25 1832 5 31 與阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人 伽羅瓦理論是當(dāng)代代數(shù)與數(shù)論的基本支柱之一 它直接推論的結(jié)果十分豐富 3 他解決了古代三大作圖問題中的兩個(gè) 不能任意三等分角 倍立方不可能 2 它漂亮地證明高斯的論斷 若尺規(guī)作圖能作出正p邊形 p為質(zhì)數(shù)且此同時(shí) 1 它系統(tǒng)化地闡釋了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解 而四次以下有公式解 19 第一章行列式 第一節(jié)二階與三階行列式 20 用消元法解二元線性方程組 一 二階行列式的引入 其中 是未知量 其它字母是已知量 21 方程組的解為 由方程組的四個(gè)系數(shù)確定 22 由四個(gè)數(shù)排成二行二列 橫排稱行 豎排稱列 的數(shù)表 定義 即 23 主對(duì)角線 副對(duì)角線 對(duì)角線法則 二階行列式的計(jì)算 其中元素aij的第一個(gè)下標(biāo)i為行指標(biāo) 第二個(gè)下標(biāo)j為列指標(biāo) 即aij位于行列式的第i行第j列 24 若記 對(duì)于二元線性方程組 系數(shù)行列式 25 26 27 則二元線性方程組的解為 注意分母都為原方程組的系數(shù)行列式 28 例1 解 29 二 三階行列式 定義 記 6 式稱為數(shù)表 5 所確定的三階行列式 30 1 沙路法 三階行列式的計(jì)算 31 2 對(duì)角線法則 注意紅線上三元素的乘積冠以正號(hào) 藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào) 說明1對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式 32 如果三元線性方程組 的系數(shù)行列式 利用三階行列式求解三元線性方程組 33 若記 或 34 記 即 35 36 得 37 得 38 則三元線性方程組的解為 是將D的第i列換成右端項(xiàng)得到 39 例 解 按對(duì)角線法則 有 40 例3 解 方程左端 41 例4 利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式 42 1 2 43 44 例5解線性方程組 解 由于方程組的系數(shù)行列式 45 同理可得 故方程組的解為 46 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的 三 小結(jié) 47 思考題 48 思考題解答 解 設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為 由題意得 得一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的線性方程組 又 得 49