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1、二、極坐標(biāo)系
【基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)】
1. 極坐標(biāo)系和點(diǎn)的極坐標(biāo)
極點(diǎn)、極軸、長(zhǎng)度單位、角度單位和它的方向構(gòu)成極坐標(biāo)系的四要素,缺一不可。規(guī)定:當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí),它的極坐標(biāo)可以取任意值。
2. 平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的區(qū)別
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的,可是在極坐標(biāo)系中,雖然一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)只能與一個(gè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng),但一個(gè)點(diǎn)P卻可以與無(wú)數(shù)多個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)對(duì)應(yīng),極坐標(biāo)系中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)極坐標(biāo)
不是一一對(duì)應(yīng)的。
3. 極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式。
4. 如果規(guī)定,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示,同時(shí),極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。
5. 極坐標(biāo)與直
2、角坐標(biāo)的互化
(1) 互化的前提:①極點(diǎn)與直角坐標(biāo)的原點(diǎn)重合;②極軸與X軸的正方向重合;③兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。
(2) 互化公式,。
【知識(shí)迷航指南】
【例1】 在極坐標(biāo)系中,描出點(diǎn),并寫(xiě)出點(diǎn)M的統(tǒng)一極坐標(biāo)。
X
O
M
【點(diǎn)評(píng)】點(diǎn)的統(tǒng)一極坐標(biāo)表示式為,如果允許,還可以表示為。
【例2】已知兩點(diǎn)的極坐標(biāo),則|AB|=______,AB與極軸正方向所成的角為_(kāi)_______.
解:根據(jù)極坐標(biāo)的定義可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即?AOB為等邊三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠
3、ACX=
【點(diǎn)評(píng)】在極坐標(biāo)系中我們沒(méi)有定義兩點(diǎn)間的距離,我們只要畫(huà)出圖形便可以得到結(jié)果.
【例3】化下列方程為直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明表示的曲線(xiàn).
(1),(
(2)
【解】(1)根據(jù)極坐標(biāo)的定義,因?yàn)?所以方程表示直線(xiàn).
(2)因?yàn)榉匠探o定的不恒為0,用同乘方程的兩邊得:
化為直角坐標(biāo)方程為即,這是以(1,)為圓心,半徑為的圓.
【點(diǎn)評(píng)】①若沒(méi)有這一條件,則方程表示一條射線(xiàn).
②極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,方程兩邊同乘,使之出現(xiàn)2是常用的方法.
【解題能力測(cè)試】
1.已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,,,,求它們的直角坐標(biāo)。
1. 已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為,求
4、它們的極坐標(biāo)。
3.已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,下列所給出的四個(gè)坐標(biāo)中不能表示點(diǎn)M的坐標(biāo)的是( )
4.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為( )
【潛能強(qiáng)化訓(xùn)練】
1.在極坐標(biāo)中,若等邊?ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是、,那么頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可能是( )
2.在極坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A(3,0)
3.若是極坐標(biāo)系中的一點(diǎn),則四點(diǎn)中與P重合的點(diǎn)有( )
A.1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè)
4.極坐標(biāo)方程表示的曲線(xiàn)是( )
A 余弦曲線(xiàn) B兩條相交直線(xiàn)
C
5、 一條射線(xiàn) D 兩條射線(xiàn)
5.極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的極坐標(biāo)是,則 (1)點(diǎn)A關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是_______.
(2) 點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的極坐標(biāo)是___.
(3) 點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的極坐標(biāo)是________.(規(guī)定:
【知識(shí)要點(diǎn)歸納】
(1)要注意直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的區(qū)別,直角坐標(biāo)系中平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的,在極坐標(biāo)系中,平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)不是一一對(duì)應(yīng)的,只有在規(guī)定,)的前提下才一一對(duì)應(yīng).在解題時(shí)要注意極坐標(biāo)的多和表示形式.
(2)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化要注意互化的前提.若要判斷曲線(xiàn)的形狀,可先將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再判斷.
二、坐標(biāo)系
〔解題能力測(cè)試〕
1. A(
2. 3、A、4、C
〔潛能強(qiáng)化訓(xùn)練〕
1、B 2、D 3、C 4、D 5(1) (2) (3)