2018版高中數學 第三章 統(tǒng)計案例疑難規(guī)律方法學案 蘇教版選修2-3.doc
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第三章 統(tǒng)計案例 1 本章知識大串燒 一、獨立性檢驗的基本思想 通過分析數據與圖形,得出的估計是粗略的,因為我們說的“大得多”、“小得多”,到底是有多大的差距?也就是說得到的結論是直觀上的印象,其實與是否有關還是有較大的差距的. 下面從理論上說明兩個變量是否有關,請同學們從中體會其思想方法. 1.基本思想與圖形的聯系 假設兩個變量是無關的,可知如下的比應差不多,即: ≈?|ad-bc|=0. 構造統(tǒng)計量χ2=(其中n=a+b+c+d)(此公式如何記憶,其特點是什么?結合22列聯表理解),顯然所構造的統(tǒng)計量與|ad-bc|的大小具有一致性. 2.獨立性檢驗的思想方法 如果χ2的值較大,說明其發(fā)生(無關系)的概率很小,此時不接受假設,也就是兩個變量是有關系的(稱小概率事件發(fā)生);如果χ2的值較小,此時接受假設,說明兩分類變量是無關系的.其思想方法類似于數學上的反證法. 3.得到χ2的值常與以下幾個臨界值加以比較: 如果χ2>2.706,就有90%的把握認為Ⅰ和Ⅱ有關系;如果χ2>3.841,就有95%的把握認為Ⅰ和Ⅱ有關系;如果χ2>6.635,就有99%的把握認為Ⅰ和Ⅱ有關系;如果χ2>10.828,就有99.9%的把握認為Ⅰ和Ⅱ有關系;如果χ2≤2.706,就認為沒有充分的證據顯示Ⅰ和Ⅱ有關系. 像這種利用統(tǒng)計量χ2來確定在多大程度上可以認為“兩個變量有關系”的方法稱為兩個變量的獨立性檢驗. 二、回歸分析 1.線性回歸方程 = x+ ,其中: ==, =- . (注: =主要方便計算,其中(xi,yi)為樣本數據,(,)為樣本點的中心) 公式作用:通過刻畫線性相關的兩變量之間的關系,估計和分析數據的情況,解釋一些實際問題,以及數據的變化趨勢. 2.樣本相關系數的具體計算公式 r= = 公式作用:反映兩個變量之間線性相關關系的強弱.當r的絕對值接近1時,表明兩個變量的線性相關性越強;當r的絕對值接近0時,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.規(guī)定當|r|>r0.05時,認為兩個變量有很強的線性相關關系. 公式聯系:(1)由于分子與回歸方程中的斜率 的分子一樣(這也給出了公式的內在聯系以及公式的記法),因此,當r>0時,兩個變量正相關;當r<0時,兩個變量負相關. (2)常配合散點圖判斷兩個隨機變量是否線性相關. 散點圖是從形上進行粗略地分析判斷,這個判斷是可行的、可靠的,也是進行線性回歸分析的基礎,否則回歸方程失效;它形象直觀地反映了數據點的分布情況. 相關系數r是從數上反映了兩個變量是否具有線性相關關系,以及線性相關關系的強弱,它較精確地反映了數據點的分布情況,準確可靠. 2 回歸分析題目擊破 1.基本概念 函數關系是一種確定關系,而相關關系是一種非確定關系,回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法. 例1 下列變量之間的關系是相關關系的是________.(填序號) ①正方形的邊長與面積之間的關系; ②水稻產量與施肥量之間的關系; ③人的身高與年齡之間的關系; ④降雪量與交通事故發(fā)生率之間的關系. 分析 兩變量之間的關系有兩種:函數關系和帶有隨機性的相關關系. 解析?、偈呛瘮店P系; ②不是嚴格的函數關系,但是具有相關性,因而是相關關系; ③既不是函數關系,也不是相關關系,因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了,因而它們不具有相關關系; ④降雪量與交通事故發(fā)生率之間具有相關關系. 答案?、冖? 點評 該例主要考查對變量相關關系概念的掌握. 2.線性回歸方程 設x與y是具有相關關系的兩個變量,且相應于n個觀測值的n個點大致分布在一條直線的附近,這條直線就叫做線性回歸直線. 例2 假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料: 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對x呈線性相關關系,試求: (1)線性回歸方程 = + x; (2)估計使用年限10年時,維修費用是多少? 分析 因為y對x呈線性相關關系,所以可以用線性相關的方法解決問題. 解 (1)制表 i 1 2 3 4 5 合計 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 4 9 16 25 36 90 =4,=5,x=90,xiyi=112.3 于是有 ==1.23, =- =5-1.234=0.08. ∴線性回歸方程為 =1.23x+0.08. (2)當x=10時, =1.2310+0.08=12.38(萬元), 即估計使用10年時維修費用約是12.38萬元. 點評 已知y對x呈線性相關關系,無需進行相關性檢驗,否則,應首先進行相關性檢驗. 3.非線性回歸問題 分析非線性回歸問題的具體做法 (1)若問題中已給出經驗公式,這時可以將解釋變量進行變換(換元),將變量的非線性關系轉化為線性關系,將問題化為線性回歸分析問題來解決. (2)若問題中沒有給出經驗公式,需要我們畫出已知數據的散點圖,通過與各種函數(如指數函數、對數函數、冪函數等)的圖象作比較,選擇一種與這些散點擬合得最好的函數,然后采用適當的變量變換,將問題化為線性回歸分析問題來解決. 下面舉例說明非線性回歸分析問題的解法. 例3 某地區(qū)對本地的企業(yè)進行了一次抽樣調查,表中是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本x(單位:萬元)與人均產值y(單位:萬元)的數據: 人均資本x/萬元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 人均產值y/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.50 25.46 26.66 45.20 (1)設y與x之間具有近似關系y≈axb (a,b為常數),試根據表中數據估計a和b的值; (2)估計企業(yè)人均資本為16萬元時的人均產值(精確到0.01). 解 (1)在y≈axb的兩邊取常用對數,可得lg y≈lg a+blg x,設lg y=z,lg a=A,lg x=X,則z≈A+bX. 相關數據計算如下表所示. 人均資本x/萬元 3 4 5.5 6.5 7 人均產出y/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 X=lg x 0.477 12 0.602 06 0.740 36 0.812 91 0.845 1 z=lg y 0.614 9 0.669 32 0.938 52 1.041 79 1.115 28 人均資本x/萬元 8 9 10.5 11.5 14 人均產出y/萬元 14.43 17.50 25.46 26.66 45.20 X=lg x 0.903 09 0.954 24 1.021 19 1.060 7 1.146 13 z=lg y 1.159 27 1.243 04 1.405 86 1.425 86 1.655 14 由公式(1)可得 由lg =-0.215 5,得 ≈0.608 8, 即a,b的估計值分別為0.608 8和1.567 7. (2)由(1)知 =0.608 8x1.567 7. 樣本數據及回歸曲線的圖形如圖所示. 當x=16時, =0.608 8161.567 7≈47.01(萬元), 故當企業(yè)人均資本為16萬元時,人均產值約為47.01萬元. 3 獨立性檢驗思想的應用 在日常生活中,經常會面臨一些需要推斷的問題.在對這些問題作出推斷時,我們不能僅憑主觀臆斷作出結論,需要通過試驗來收集數據,并依據獨立性檢驗思想做出合理的推斷. 所謂獨立性檢驗,就是根據采集樣本的數據,利用公式計算χ2的值,比較與臨界值的大小關系來判定事件X與Y是否有關的問題.其基本步驟如下: (1)考察需抽樣調查的背景問題,確定所涉及的變量; (2)根據樣本數據制作列聯表; (3)計算統(tǒng)計量χ2,并查表分析.當χ2很大時,就認為兩個變量有關系;否則就認為沒有充分的證據顯示兩個變量有關系. 下面舉例說明獨立性檢驗思想在解決實際問題中的應用. 例1 水果富含各種維生素,不但有益于人體健康,還可起到養(yǎng)顏護膚的功效.下表是一次調查所得的數據,試問:適量吃水果與皮膚好有關系嗎?有多大的把握認為你的結論成立? 皮膚好 皮膚不好 合計 適量吃水果 30 224 254 不吃水果 24 1 355 1 379 合計 54 1 579 1 633 解 假設“適量吃水果與皮膚好沒有關系”,由題意可知,a=30,b=224,c=24,d=1 355,a+b=254,c+d=1 379,a+c=54,b+d=1 579,n=1 633,代入得到 χ2=≈68.033>10.828. ∴我們有99.9%的把握認為吃水果與皮膚好有關系. 點評 該例中我們有較大的把握認為結論成立,但我們所說的“吃水果與皮膚好有關系”指的都是統(tǒng)計上的關系,不要誤認為里面存在因果關系,具體到某一個適量吃水果的人,并不能說明他一定有好的皮膚. 例2 某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對待企業(yè)改革態(tài)度的關系,隨機抽取了189名員工進行調查,所得數據如下表所示: 積極支持企業(yè)改革 不太贊成企業(yè)改革 合計 工作積極 54 40 94 工作一般 32 63 95 合計 86 103 189 對于人力資源部的研究項目,根據上述數據能得出什么結論? 分析 首先由已知條件確定a、b、c、d、n的數值,再利用公式求出χ2的值,最后根據χ2的值分析結果. 解 由題目中表的數據可知, χ2= =≈10.759. 因為10.759>7.879,所以有99.5%的把握說員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”有關,可以認為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關的. 點評 在列聯表中注意事件的對應及有關值的確定,避免混亂;把計算出的χ2的值與臨界值作比較,確定出“Ⅰ與Ⅱ有關系”的把握程度. 例3 為了調查患慢性氣管炎是否與吸煙有關,調查了339名50歲以上的人,統(tǒng)計結果為:患慢性氣管炎共有56人,患慢性氣管炎且吸煙的有43人,未患慢性氣管炎但吸煙的有162人.根據調查統(tǒng)計結果,分析患慢性氣管炎與吸煙在多大程度上有關系? 解 根據所給樣本數據得到如下22列聯表: 患慢性氣管炎 未患慢性氣管炎 總計 吸煙 43 162 205 不吸煙 13 121 134 總計 56 283 339 由列聯表可以粗略估計出:在吸煙者中,有20.98%的患慢性氣管炎;在不吸煙者中,有9.70%的患慢性氣管炎.兩個比例的值相差較大,所以結論“患慢性氣管炎與吸煙有關”成立的可能性較大. 根據列聯表中的數據, 得到χ2= ≈7.469>6.635. 所以有99%的把握認為“患慢性氣管炎與吸煙有關”. 點評 對列聯表的比例進行分析,可粗略地判斷兩個分類變量是否有關系.通過計算統(tǒng)計量χ2,可以比較精確地給出這種判斷的可靠程度.先收集數據,然后通過一些統(tǒng)計方法對數據進行科學的分析,這是我們用統(tǒng)計方法解決實際問題的基本策略. 4 巧解非線性回歸問題 如果題目所給樣本點的分布不呈帶狀分布,即兩個變量不呈線性關系,那么,就不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量之間的關系,這時我們可以把散點圖和已經學過的各種函數,如冪函數、指數函數、對數函數、二次函數等作比較,挑選出與這些散點擬合最好的函數,然后利用變量置換,把非線性回歸方程問題轉化為線性回歸方程的問題來解決,這是解決此類問題的通法,體現了轉化思想. 1.案例分析 例 一個昆蟲的某項指標和溫度有關,現收集了7組數據如下表: 溫度x/℃ 2 3 4 5 6 7 8 某項指標y 5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801 試建立某項指標y關于溫度x的回歸模型,并判斷你所建立的回歸模型的擬合效果. 分析 根據表中的數據畫出散點圖,再由圖設出相應的回歸模型. 解 畫出散點圖如圖所示,樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內,而是分布在某一條二次函數曲線y=Bx2+A的周圍. 令X=x2,則變換后的樣本點應該分布在y=bX+a(b=B,a=A)的周圍. 由已知數據可得變換后的樣本數據表: X 4 9 16 25 36 49 64 某項 指標y 5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801 計算得到線性回歸方程為 =0.199 94X+4.999 03. 用x2替換X,得某項指標y關于溫度x的回歸方程 =0.199 94x2+4.999 03. 計算得r≈0.999 999,幾乎為1,說明回歸模型的擬合效果非常好. 點評 本題是非線性回歸分析問題,解決這類問題應該先畫出散點圖,把它與我們所學過的函數圖象相對照,選擇一種跟這些樣本點擬合的最好的函數,然后采用適當的變量變換轉化為線性回歸分析問題,使之得以解決. 2.知識拓展 常見的非線性函數轉換方法: (1)冪型函數y=axm(a為正數,x,y取正值) 解決方案:對y=axm兩邊取常用對數,有l(wèi)g y=lg a+mlg x,令u=lg y,v=lg x,則原式可變?yōu)閡=mv+lg a,其中m,lg a為常數,該式表示u,v的線性函數. (2)指數型函數y=cax(a,c>0,且a≠1) 解決方案:對y=cax兩邊取常用對數,則有l(wèi)g y=lg c+xlg a,令u=lg y,則原式可變?yōu)閡=xlg a+lg c,其中l(wèi)g a和lg c為常數,該式表示u,x的線性函數.與冪函數不同的是x保持不變,用y的對數lg y代替了y. (3)反比例函數y=(k>0) 解決方案:令u=,則y=ku,該式表示y,u的線性函數. (4)二次函數y=ax2+c 解決方案:令u=x2,則原函數可變?yōu)閥=au+c,該式表示y,u的線性函數. (5)對數型函數y=clogax 解決方案:令x=au,則原函數可變?yōu)閥=cu,該式表示y,u的線性函數.- 配套講稿:
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