2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 三 相似三角形的判定及性質(zhì)同步指導(dǎo)練習(xí) 新人教A版選修4-1.doc

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三 相似三角形的判定及性質(zhì) 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝APAB；④ABCP＝APCB.其中，能判定△APC與△ACB相似的條件是(　　) A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 解析　如圖，∵∠A＝∠A，∴①∠ACP＝∠B，②∠APC＝∠ACB時(shí)，都滿足三角形相似的條件； 當(dāng)AC2＝APAB時(shí)， 即＝，∴③也滿足相似條件；④中兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的夾角不是∠A，故不相似. 答案　D 2.如圖所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位線，△ABC與△AFG的相似比是3∶2，則△AED與△AFG的相似比是(　　) A.3∶4 B.4∶3 C.8∶9 D.9∶8 解析　因?yàn)椤鰽BC與△AFG的相似比是3∶2，故AB∶AF＝3∶2，又△ABC與△AED的相似比是2∶1，即AB∶AE＝2∶1，故△AED與△AFG的相似比k＝AE∶AF＝＝＝.故選A. 答案　A 3.在△ABC中，D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，△ADE的面積是2 cm2，梯形DBCE的面積為6 cm2，則DE∶BC的值為(　　) A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 解析　如圖，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∶S△ABC＝2∶(6＋2)＝1∶4，∴DE∶BC＝1∶2. 答案　B 4.(2016黃岡調(diào)考)如圖，在?ABCD中，AE∶EB＝1∶2，△AEF的面積為6， 則△ADF的面積為________. 解析　∵AE∥DC，AE∶EB＝1∶2， ∴△AEF∽△CDF，且相似比＝＝＝＝，又△AEF的邊EF上的高與△ADF的邊DF上的高相等， ∴＝＝. 又S△AEF＝6，∴S△ADF＝18. 答案　18 5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，對(duì)角線BD⊥DC，AD＝3，BC＝7，則BD2＝________. 解析　∵∠ADC＋∠BCD＝180，∠BDC＝90， ∴∠ADB＋∠BCD＝90. 而∠ADB＋∠ABD＝90， ∴∠ABD＝∠BCD. 又∠BAD＝∠BDC＝90， ∴Rt△ABD∽R(shí)t△DCB. ∴＝. ∴BD2＝ADBC＝37＝21. 答案　21 6.如圖所示，在?ABCD中E，F(xiàn)分別在AD與CB的延長線上，請(qǐng)寫出圖中所有的相似三角形. 解　∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，△CHM∽△AGM，△FBG∽△FCH. 又∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM，△EDH∽△FCH，△AEG∽△BFG，△ABC∽△CDA. ∴圖中的相似三角形有△AEM∽△CFM，△AGM∽△CHM，△EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH， △ABC∽△CDA. 二、能力提升 7.在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，DC＝AC，在AB上取一點(diǎn)E，得到△ADE，若△ADE與△ABC相似，則DE的長為(　　) A.6 B.8 C.6或8 D.14 解析　當(dāng)△ADE∽△ACB時(shí)，則＝，∴DE＝＝6，當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，則＝，∴DE＝＝8. 答案　C 8.如圖，BD⊥AE，∠C＝90，AB＝4，BC＝2，AD＝3.則DE＝________，CE＝________. 解析　在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A是公共角， ∴△ACE∽△ADB，∴＝. ∴AE＝＝＝＝8. 則DE＝AE－AD＝8－3＝5. 在Rt△ACE中，CE＝＝＝2. 答案　5　2 9.如圖所示，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. 解析　∵∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD＝90，∴△AEB∽△ACD，從而得＝，＝，解得AE＝2，故BE＝＝4. 答案　4 10.如圖，已知在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，有BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn). 求證：△ADQ∽△QCP. 證明　在正方形ABCD中， ∵Q是CD的中點(diǎn)，∴＝2. ∵＝3，∴＝4. 又BC＝2DQ，∴＝2. 在△ADQ和△QCP中， ＝＝2，∠C＝∠D＝90， ∴△ADQ∽△QCP. 11.如圖所示，△ABC為正三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點(diǎn)(不在頂點(diǎn))，∠BDE＝60. (1)求證：△DEC∽△BDA； (2)若正三角形ABC的邊長為6，當(dāng)D點(diǎn)在什么位置時(shí)，可使BE最短，此時(shí)BE長是多少？ (1)證明　∵∠BDE＝60， ∴∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝60＋∠CDE. 又∠BDC是△ABD的一個(gè)外角，且∠A＝60， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝60＋∠ABD， ∴∠CDE＝∠ABD. 又∵∠A＝∠C＝60， ∴△DEC∽△BDA. (2)解　設(shè)DC＝x，BE＝y(tǒng)， 則EC＝6－y，AD＝6－x. 由(1)可得＝，整理得＝， 即y＝x2－x＋6(0AE). (1)△AEF與△ECF是否相似，若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說明理由. (2)設(shè)＝k，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BCF相似，若存在，證明你的結(jié)論，并求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解　(1)相似.在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90. ∵EF⊥EC，A，D，E共線，∴∠AEF＋∠DEC＝90. 又∵∠DEC＋∠DCE＝90， ∴∠AEF＝∠DCE.∴△AEF∽△DCE. ∴＝.∵AE＝DE，∴＝. 又∵∠A＝∠FEC＝90，∴△AEF∽△ECF. (2)存在.由于∠AEF＝90－∠AFE<180－∠CFE－∠AFE＝∠BFC， ∴只能是△AEF∽△BCF. ∠AEF＝∠BCF. 由(1)知△AEF∽△DCE∽△ECF， ∴∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠BCF， 又∵∠DCE＋∠ECF＋∠BCF＝90， ∴∠DCE＝30， ∴＝＝＝，即k＝. 反過來，當(dāng)k＝時(shí)，＝，∠DCE＝30，∠AEF＝∠DCE＝30， ∠ECF＝∠AEF＝30， ∴∠BCF＝90－30－30＝30＝∠AEF. ∴△AEF∽△BCF.