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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-7正弦定理、余弦定理《教案》
1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
變形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
(5)cos A＝ cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R、r.
3．在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
【思考辨析】
判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”)
(1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( √ )
(2)若滿足條件C＝60，AB＝，BC＝a的△ABC有兩個，那么a的取值范圍是(，2)．( √ )
(3)若△ABC中，acos B＝bcos A，則△ABC是等腰三角形．( √ )
(4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( )
(5)當b2＋c2－a2>0時，三角形ABC為銳角三角形；當b2＋c2－a2＝0時，三角形為直角三角形；當b2＋c2－a2<0時，三角形為鈍角三角形．( )
(6)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30，則△ABC的面積等于.( )
1．(xx湖南改編)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，若2asin B＝b，則角A＝ .
答案
解析 在△ABC中，利用正弦定理得
2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝.
又A為銳角，∴A＝.
2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B，
∴△ABC為鈍角三角形．
3．(xx江西改編)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是 ．
答案
解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝6＝.
4．(xx廣東)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，則＝ .
答案 2
解析 方法一 因為bcos C＋ccos B＝2b，
所以b＋c＝2b，
化簡可得＝2.
方法二 因為bcos C＋ccos B＝2b，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B，
故sin(B＋C)＝2sin B，
故sin A＝2sin B，則a＝2b，即＝2.
題型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (xx山東)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
解 (1)由余弦定理得：
cos B＝＝＝，
即a2＋c2－4＝ac.
∴(a＋c)2－2ac－4＝ac，∴ac＝9.
由得a＝c＝3.
(2)在△ABC中，cos B＝，
∴sin B＝＝ ＝.
由正弦定理得：＝，
∴sin A＝＝＝.
又A＝C，∴00，∴sin A＝.
∵cos B＝>0，∴sin B＝.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝＋＝.
由正弦定理知＝，
∴c＝＝＝.
題型二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀
例2 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大??；
(2)若sin B＋sin C＝，試判斷△ABC的形狀．
解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，
得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝，
∵00，于是有cos B<0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形．
(2)∵cos2＝，
∴(1＋cos B)c＝a＋c，
∴a＝cos Bc＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC為直角三角形．
題型三 和三角形面積有關(guān)的問題
例3 (xx浙江)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B.
(1)求角C的大??；
(2)若sin A＝，求△ABC的面積．
解 (1)由題意得
－＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，
sin＝sin.
由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得
2A－＋2B－＝π，
即A＋B＝，所以C＝.
(2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝.
由ac，已知＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解 (1)由＝2得cacos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋26＝13.
解得或
因為a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝ ＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝＝.
因為a＝b>c，所以C為銳角，
因此cos C＝＝ ＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝＋＝.
B組 專項能力提升
(時間：20分鐘)
1．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，則＝ .
答案
解析 ∵asin Asin B＋bcos2A＝a，
∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
∴sin B＝sin A，∴＝＝.
2．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，則a＝ .
答案 2
解析 由tan A＝2得sin A＝2cos A.
又sin2A＋cos2A＝1得sin A＝.
∵b＝5，B＝，
根據(jù)正弦定理，有＝，
∴a＝＝＝2.
3．(xx江蘇)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是 ．
答案
解析 由sin A＋sin B＝2sin C，
結(jié)合正弦定理得a＋b＝2c.
由余弦定理得cos C＝
＝＝
≥＝，
故≤cos C<1，
故cos C的最小值為.
4．(xx浙江)在△ABC中，C＝90，M是BC的中點．若sin∠BAM＝，則sin∠BAC＝ .
答案
解析 因為sin∠BAM＝，
所以cos∠BAM＝.
如圖，在△ABM中，利用正弦定理，得＝，所以＝＝＝.
在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由題意知BM＝CM，
所以＝sin(∠BAC－∠BAM)．
化簡，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.
所以2tan∠BAC－1＝tan2∠BAC＋1，
解得tan∠BAC＝.
再結(jié)合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC為銳角可解得sin∠BAC＝.
5．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，角B所對的邊b＝，且函數(shù)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－在x＝A處取得最大值．
(1)求f(x)的值域及周期；
(2)求△ABC的面積．
解 (1)因為A，B，C成等差數(shù)列，
所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，
所以B＝，即A＋C＝.
因為f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－
＝(2sin2x－1)＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x
＝2sin，
所以T＝＝π.
又因為sin∈[－1,1]，
所以f(x)的值域為[－2,2]．
(2)因為f(x)在x＝A處取得最大值，
所以sin＝1.
因為0
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3-7正弦定理、余弦定理教案
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