2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.4 計(jì)數(shù)應(yīng)用題學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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1.4 計(jì)數(shù)應(yīng)用題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進(jìn)一步理解和掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.2.進(jìn)一步深化理解排列與組合的概念.3.能綜合運(yùn)用排列、組合解決計(jì)數(shù)問(wèn)題. 類型一 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例1 電視臺(tái)在某節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱,其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾,若先確定一名幸運(yùn)之星,再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴,有________種不同的結(jié)果. 反思與感悟 用流程圖描述計(jì)數(shù)問(wèn)題,類中有步的情形如圖所示: 具體意義如下: 從A到B算作一件事的完成,完成這件事有兩類辦法,在第1類辦法中有3步,在第2類辦法中有2步,每步的方法數(shù)如圖所示. 所以,完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3+m4m5, “類”與“步”可進(jìn)一步地理解為: “類”用“+”號(hào)連接,“步”用“”號(hào)連接,“類”獨(dú)立,“步”連續(xù),“類”標(biāo)志一件事的完成,“步”缺一不可. 跟蹤訓(xùn)練1 現(xiàn)有4種不同顏色,要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色,要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色,則不同的著色方法共有________種. 例2 有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試,每位同學(xué)上、下午各測(cè)試一個(gè)項(xiàng)目,且不重復(fù).若上午不測(cè)“握力”項(xiàng)目,下午不測(cè)“臺(tái)階”項(xiàng)目,其余項(xiàng)目上、下午都各測(cè)一人,則不同的安排方式共有________種.(用數(shù)字作答) 反思與感悟 用流程圖描述計(jì)數(shù)問(wèn)題,步中有類的情形如圖所示: 從計(jì)數(shù)的角度看,由A到D算作完成一件事,可簡(jiǎn)單地記為A→D. 完成A→D這件事,需要經(jīng)歷三步,即A→B,B→C,C→D.其中B→C這步又分為三類,這就是步中有類. 其中mi(i=1,2,3,4,5)表示相應(yīng)步的方法數(shù). 完成A→D這件事的方法數(shù)為m1(m2+m3+m4)m5. 以上給出了處理步中有類問(wèn)題的一般方法. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示,使電路接通,開(kāi)關(guān)不同的開(kāi)閉方式共有________種. 類型二 有限制條件的排列問(wèn)題 例3 3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排. (1)如果女生必須全排在一起,有多少種不同的排法? (2)如果女生必須全分開(kāi),有多少種不同的排法? (3)如果兩端都不能排女生,有多少種不同的排法? (4)如果兩端不能都排女生,有多少種不同的排法? (5)如果甲必須排在乙的右面(可以不相鄰),有多少種不同的排法? 反思與感悟 (1)排列問(wèn)題的限制條件一般表現(xiàn)為:某些元素不能在某個(gè)位置,某個(gè)位置只能放某些元素等.要先處理特殊元素或先處理特殊位置,再去排其他元素.當(dāng)用直接法比較麻煩時(shí),可以用間接法,先不考慮限制條件,把所有的排列數(shù)算出,再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列數(shù),這種方法也稱為“去雜法”,但必須注意要不重復(fù),不遺漏(去盡). (2)對(duì)于某些特殊問(wèn)題,可采取相對(duì)固定的特殊方法,如相鄰問(wèn)題,可用“捆綁法”,即將相鄰元素看成一個(gè)整體與其他元素排列,再進(jìn)行內(nèi)部排列;不相鄰問(wèn)題,則用“插空法”,即先排其他元素,再將不相鄰元素排入形成的空位中. 跟蹤訓(xùn)練3 用0到9這10個(gè)數(shù)字, (1)可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?在這些四位數(shù)中,奇數(shù)有多少個(gè)? (2)可以組成多少個(gè)只含有2個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)? 類型三 排列與組合的綜合應(yīng)用 例4 有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片,從這8張卡片中取出4張卡片排成一行.如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10,則不同的排法共有多少種? 反思與感悟 (1)解排列、組合綜合問(wèn)題的一般思路是“先選后排”,也就是先把符合題意的元素都選出來(lái),再對(duì)元素或位置進(jìn)行排列. (2)解排列、組合綜合問(wèn)題時(shí)要注意以下幾點(diǎn): ①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法,無(wú)序的問(wèn)題是組合問(wèn)題,有序的問(wèn)題是排列問(wèn)題. ②對(duì)于有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問(wèn)題,應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件,然后再考慮是分類還是分步,這是處理排列、組合綜合問(wèn)題的一般方法. 跟蹤訓(xùn)練4 從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)? 例5 將10個(gè)優(yōu)秀名額分配到一班、二班、三班3個(gè)班級(jí)中,若各班名額數(shù)不小于班級(jí)序號(hào)數(shù),則共有________種不同的分配方案. 反思與感悟 凡“相同小球放入不同盒中”的問(wèn)題,即為“n個(gè)相同元素有序分成m組(每組的任務(wù)不同)”的問(wèn)題,一般可用“隔板法”求解: (1)當(dāng)每組至少含一個(gè)元素時(shí),其不同分組方式有N=C種,即將n個(gè)元素中間的n-1個(gè)空格中加入m-1個(gè)“隔板”. (2)任意分組,可出現(xiàn)某些組含元素為0個(gè)的情況,其不同分組方式有N=C種,即將n個(gè)相同元素與m-1個(gè)相同“隔板”進(jìn)行排序,在n+m-1個(gè)位置中選m-1個(gè)安排“隔板”. 跟蹤訓(xùn)練5 用2,3,4,5,6,7六個(gè)數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 1.李芳有4件不同顏色的襯衣,3件不同花樣的裙子,另有兩套不同樣式的連衣裙.“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出,則李芳有________種不同的選擇方式. 2.包括甲、乙在內(nèi)的7個(gè)人站成一排,其中甲在乙的左側(cè)(可以不相鄰),有________種站法. 3.從0,2,4中取一個(gè)數(shù)字,從1,3,5中取兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),則所有不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是___________________________________________________. 4.某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告,其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告,要求最后播放的必須是公益宣傳廣告,且2個(gè)公益宣傳廣告不能連續(xù)播放,則不同的播放方式有________種. 5.已知xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5,6,則滿足x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的數(shù)組(x1,x2,x3,x4,x5,x6)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 1.解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素,或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步,再利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理作最后處理. 2.對(duì)于較難直接解決的問(wèn)題則可用間接法,但應(yīng)做到不重不漏. 3.對(duì)于分配問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān),對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序,避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏. 答案精析 題型探究 例1 28 800 解析 在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星,決定了后邊選幸運(yùn)伙伴是不同的,故要分兩類分別計(jì)算:(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽,先確定幸運(yùn)之星,再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴,有302920=17 400(種)結(jié)果;(2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽,同理有201930=11 400(種)結(jié)果.因此共有17 400+11 400=28 800(種)不同結(jié)果. 跟蹤訓(xùn)練1 48 解析 如圖所示,將原圖從上而下的4個(gè)區(qū)域標(biāo)為1,2,3,4.因?yàn)?,2,3之間不能同色,1與4可以同色,因此,要分類討論1,4同色與不同色這兩種情況.故不同的著色方法種數(shù)為432+4321=48. 例2 264 解析 上午總測(cè)試方法有4321=24(種).我們以A、B、C、D、E依次代表五個(gè)測(cè)試項(xiàng)目.若上午測(cè)試E的同學(xué)下午測(cè)試D,則上午測(cè)試A的同學(xué)下午只能測(cè)試B、C,確定上午測(cè)試A的同學(xué)后其余兩位同學(xué)上、下午的測(cè)試方法共有2種;若上午測(cè)試E的同學(xué)下午測(cè)試A、B、C之一,則上午測(cè)試A、B、C中任何一個(gè)的同學(xué)下午都可以測(cè)試D,安排完這位同學(xué)后其余兩位同學(xué)的測(cè)試方式就確定了,故共有33=9(種)測(cè)試方法,即下午的測(cè)試方法共有11種,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,總的測(cè)試方法共有2411=264(種). 跟蹤訓(xùn)練2 21 解析 根據(jù)題意,設(shè)5個(gè)開(kāi)關(guān)依次為1、2、3、4、5,如圖所示,若電路接通,則開(kāi)關(guān)1、2與3、4、5中至少有1個(gè)接通, 對(duì)于開(kāi)關(guān)1、2,共有22=4(種)情況,其中全部斷開(kāi)的有1(種)情況,則其至少有1個(gè)接通的有4-1=3(種)情況, 對(duì)于開(kāi)關(guān)3、4、5,共有222=8(種)情況,其中全部斷開(kāi)的有1(種)情況,則其至少有1個(gè)接通的有8-1=7(種)情況,則電路接通的情況有37=21(種). 例3 解 (1)(捆綁法)因?yàn)?個(gè)女生必須排在一起,所以可先把她們看成一個(gè)整體,這樣同5個(gè)男生合在一起共有6個(gè)元素,排成一排有A種不同排法.對(duì)于其中的每一種排法,3個(gè)女生之間又有A種不同的排法,因此共有AA=4 320(種)不同的排法. (2)(插空法)要保證女生全分開(kāi),可先把5個(gè)男生排好,每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空,這樣共有4個(gè)空,加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置,共有6個(gè)位置,再把3個(gè)女生插入這6個(gè)位置中,只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生,就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰.由于5個(gè)男生排成一排有A種不同的排法,對(duì)于其中任意一種排法,從上述6個(gè)位置中選出3個(gè)來(lái)讓3個(gè)女生插入有A種方法,因此共有AA=14 400(種)不同的排法. (3)方法一 (特殊位置優(yōu)先法)因?yàn)閮啥瞬荒芘排?,所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè),有A種不同排法,對(duì)于其中的任意一種排法,其余六位都有A種排法,所以共有AA=14 400(種)不同的排法. 方法二 (間接法)3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有A種不同的排法,從中扣除女生排在首位的AA種排法和女生排在末位的AA種排法,但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位時(shí)被扣去一次,在扣除女生排在末位時(shí)又被扣去一次,所以還需加一次,由于兩端都是女生有AA種不同的排法,所以共有A-2AA+AA=14 400(種)不同的排法. 方法三 (特殊元素優(yōu)先法)從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)讓3個(gè)女生排入,有A種不同的排法,對(duì)于其中的任意一種排法,其余5個(gè)位置又都有A種不同的排法,所以共有AA=14 400(種)不同的排法. (4)方法一 因?yàn)橹灰髢啥瞬荒芏寂排?,所以如果首位排了男生,則末位就不再受條件限制了,這樣可有AA種不同的排法;如果首位排女生,有A種排法,這時(shí)末位就只能排男生,這樣可有AAA種不同的排法. 因此共有AA+AAA =36 000(種)不同的排法. 方法二 3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有A種排法,從中扣去兩端都是女生的排法有AA種,就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù).因此共有A-AA=36 000(種)不同的排法. (5)(順序固定問(wèn)題)因?yàn)?人排隊(duì),其中兩人順序固定,共有=20 160(種)不同的排法. 跟蹤訓(xùn)練3 解 (1)可以組成9A=4 536個(gè)四位數(shù).適合題意的四位奇數(shù)共有AAA=2 240(個(gè)). (2)0到9這10個(gè)數(shù)字構(gòu)成的三位數(shù)共有900個(gè),分為三類: 第1類:三位數(shù)字全相同,如111,222,…,999,共9個(gè);第2類:三位數(shù)字全不同,共有998=648(個(gè)), 第3類:由間接法可求出,只含有2個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù),共有900-9-648=243(個(gè)). 例4 解 分三類: 第一類,當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4時(shí),不同的排法有CCCCA種. 第二類,當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,1,4,4時(shí),不同的排法有CCA種. 第三類,當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字2,2,3,3時(shí),不同的排法有CCA種. 故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為CCCCA+2CCA=432. 跟蹤訓(xùn)練4 解 (1)五位數(shù)中不含數(shù)字0. 第1步,選出5個(gè)數(shù)字,共有CC種選法. 第2步,排成偶數(shù)——先排末位數(shù),有A種排法,再排其他四位數(shù)字,有A種排法. 所以N1=CCAA. (2)五位數(shù)中含有數(shù)字0. 第1步,選出5個(gè)數(shù)字,共有CC種選法. 第2步,排順序又可分為兩小類: ①末位排0,有AA種排列方法; ②末位不排0.這時(shí)末位數(shù)有C種選法,而因?yàn)榱悴荒芘旁谑孜?,所以首位有A種排法,其余3個(gè)數(shù)字則有A種排法. 所以N2=CC(AA+AA). 所以符合條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)為 N=N1+N2=CCAA+CC(AA+AA)=4 560. 例5 15 解析 先拿3個(gè)優(yōu)秀名額分配給二班1個(gè),三班2個(gè),這樣原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為將7個(gè)優(yōu)秀名額分配到3個(gè)班級(jí)中,每個(gè)班級(jí)中至少分配到1個(gè). 利用“隔板法”可知,共有C=15(種)不同的分配方案. 跟蹤訓(xùn)練5 96 解析 用間接法:六個(gè)數(shù)字能構(gòu)成的三位數(shù)共666=216(個(gè)),而無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A=654=120(個(gè)). 故所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為216-120=96. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.14 2.2 520 3.48 4.36 5.90- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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