2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題09 導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線問(wèn)題.doc

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專題09 導(dǎo)數(shù)的幾何意義-----切線問(wèn)題 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 導(dǎo)數(shù)的幾何意義為高考熱點(diǎn)內(nèi)容，考查題型文科多為選擇、填空題，理科常出現(xiàn)在解答題中，難度中等或更?。畾w納起來(lái)常見(jiàn)的命題探究角度有： (1)求切線方程問(wèn)題． (2)確定切點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題． (3)已知切線問(wèn)題求參數(shù)． (4)切線的綜合應(yīng)用． （一）與切線相關(guān)的定義 1、切線的定義：在曲線的某點(diǎn)A附近取點(diǎn)B，并使B沿曲線不斷接近A.這樣直線AB的極限位置就是曲線在點(diǎn)A的切線. （1）此為切線的確切定義，一方面在圖像上可定性的理解為直線剛好與曲線相碰，另一方面也可理解為一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，讓切點(diǎn)A附近的點(diǎn)向不斷接近，當(dāng)與距離非常小時(shí)，觀察直線是否穩(wěn)定在一個(gè)位置上. （2）判斷一條直線是否為曲線的切線，不再能用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定。例如函數(shù)在處的切線，與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn). （3）在定義中，點(diǎn)不斷接近包含兩個(gè)方向，點(diǎn)右邊的點(diǎn)向左接近，左邊的點(diǎn)向右接近，只有無(wú)論從哪個(gè)方向接近，直線的極限位置唯一時(shí)，這個(gè)極限位置才能夠成為在點(diǎn)處的切線。對(duì)于一個(gè)函數(shù)，并不能保證在每一個(gè)點(diǎn)處均有切線。例如在處，通過(guò)觀察圖像可知，當(dāng)左邊的點(diǎn)向其無(wú)限接近時(shí)，割線的極限位置為，而當(dāng)右邊的點(diǎn)向其無(wú)限接近時(shí)，割線的極限位置為，兩個(gè)不同的方向極限位置不相同，故在處不含切線. （4）由于點(diǎn)沿函數(shù)曲線不斷向接近，所以若在處有切線，那么必須在點(diǎn)及其附近有定義（包括左邊與右邊） 2、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3、從導(dǎo)數(shù)的幾何意義中可通過(guò)數(shù)形結(jié)合解釋幾類不含導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)： （1）函數(shù)的邊界點(diǎn)：此類點(diǎn)左側(cè)（或右側(cè)）的點(diǎn)不在定義域中，從而某一側(cè)不含割線，也就無(wú)從談起極限位置.故切線不存在，導(dǎo)數(shù)不存在；與此類似還有分段函數(shù)如果不連續(xù)，則斷開(kāi)處的邊界值也不存在導(dǎo)數(shù). （2）已知點(diǎn)與左右附近點(diǎn)的割線極限位置不相同，則不存在切線，故不存在導(dǎo)數(shù).例如前面例子在處不存在導(dǎo)數(shù).此類情況多出現(xiàn)在單調(diào)區(qū)間變化的分界處，判斷時(shí)只需選點(diǎn)向已知點(diǎn)左右靠近，觀察極限位置是否相同即可. （3）若在已知點(diǎn)處存在切線，但切線垂直軸，則其斜率不存在，在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)也不存在.例如：在處不可導(dǎo). 綜上所述：（1）-（3）所談的點(diǎn)均不存在導(dǎo)數(shù)，而（1）（2）所談的點(diǎn)不存在切線，（3）中的點(diǎn)存在切線，但沒(méi)有導(dǎo)數(shù).由此可見(jiàn)：某點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)則必有切線，有切線則未必有導(dǎo)數(shù). （二）方法與技巧： 1、求切線方程的方法：一點(diǎn)一方向可確定一條直線，在求切線時(shí)可考慮先求出切線的斜率（切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）與切點(diǎn)，在利用點(diǎn)斜式寫出直線方程. 2、若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可求，則求切線方程的核心要素為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)榭伞耙稽c(diǎn)兩代”，代入到原函數(shù)，即可得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入到導(dǎo)函數(shù)中可得到切線的斜率,從而一點(diǎn)一斜率，切線即可求所以在解切線問(wèn)題時(shí)一定要盯住切點(diǎn)橫坐標(biāo)，千方百計(jì)的把它求解出來(lái). 3、求切線的問(wèn)題主要分為兩大類，一類是切點(diǎn)已知，那么只需將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入到原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中求出切點(diǎn)與斜率即可，另一類是切點(diǎn)未知，那么先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再考慮利用條件解出核心要素，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成第一類問(wèn)題. 4、在解析幾何中也學(xué)習(xí)了求切線的方法，即先設(shè)出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用求出參數(shù)值進(jìn)而解出切線方程。解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標(biāo)系下，所以兩個(gè)方法可以互通。若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時(shí)可用解析的方法求解，例如：（圖像為圓的一部分）在處的切線方程，則可考慮利用圓的切線的求法進(jìn)行解決。若圓錐曲線可用函數(shù)解析式表示，像焦點(diǎn)在軸的拋物線，可看作關(guān)于的函數(shù)，則在求切線時(shí)可利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行快速求解（此方法也為解析幾何中處理焦點(diǎn)在軸的拋物線切線問(wèn)題的重要方法）. 5、在處理切線問(wèn)題時(shí)要注意審清所給已知點(diǎn)是否為切點(diǎn).“在某點(diǎn)處的切線”意味著該點(diǎn)即為切點(diǎn)，而“過(guò)某點(diǎn)的切線”則意味著該點(diǎn)有可能是切點(diǎn)，有可能不是切點(diǎn).如果該點(diǎn)恰好在曲線上那就需要進(jìn)行分類討論了. 【經(jīng)典例題】 例1【2017課標(biāo)1，文14】曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為_(kāi)_____________． 【答案】 【解析】 例2【2017天津，文10】已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為 . 【答案】 【解析】 【名師點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題型，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為．注意：求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)處的切線與過(guò)點(diǎn)的切線的不同,謹(jǐn)記，有切點(diǎn)直接帶入切點(diǎn)，沒(méi)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)，建立方程組求切點(diǎn).例3【2018屆遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校高三第三次模擬】己知曲線上存在兩條斜率為3的切線，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于零， 則實(shí)數(shù)的取值范圍為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可知，即有兩個(gè)解，且均大于零。即， ，解得,選A. 例4.已知函數(shù)y＝x2的圖象在點(diǎn)(x0,)處的切線為l，若l也與函數(shù)y＝ln x，x∈(0,1)的圖象相切，則x0的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為，切線方程為，設(shè)切線與相切的切點(diǎn)為，，即有的導(dǎo)數(shù)為， 例5【2018屆重慶市高三4月（二診）】曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得， ∴， ∴， ∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為． 令，得；令得． ∴切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為．選B． 例6【2018屆江西省南昌市高三一輪訓(xùn)練】直線與曲線相切于點(diǎn)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】的導(dǎo)函數(shù)為, 又直線與曲線相切于點(diǎn)， ∴,即 ∴ 故選：C. 例7【2018屆河南省高三4月測(cè)試】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 例8【2018屆廣東省2018屆高三一模】已知拋物線為軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的切線，分別為切點(diǎn)，則的最小值為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設(shè)切線的方程為，代入拋物線方程得，由直線與拋物線相切得， 時(shí) ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得 則同理可得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，故，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故選A. 例9【2018屆江西省師范大學(xué)附屬中學(xué)、九江第一中學(xué)高三11月聯(lián)考】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,則實(shí)數(shù)等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 例10. 求過(guò)點(diǎn)，且與曲線相切的直線方程 【答案】或 【解析】滿足，但題目并沒(méi)有說(shuō)明是否為切點(diǎn)，所以要分是否為切點(diǎn)進(jìn)行分類討論。當(dāng)是切點(diǎn)時(shí)，易于求出切線方程，當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，切點(diǎn)未知，從而先設(shè)再求，設(shè)切點(diǎn)，切線斜率為，三個(gè)未知量需用三個(gè)條件求解：① ，②，③ 解：（1）當(dāng)為切點(diǎn)時(shí) 切線方程為： （2）當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，切線斜率為 ，消去可得： 而 方程等價(jià)于： 解得：（舍）， 切線方程為 綜上所述：切線方程為或. 【名師點(diǎn)睛】（1）由于在導(dǎo)數(shù)中利用極限的思想對(duì)切線進(jìn)行了嚴(yán)格定義，即割線的極限位置是切線，從而不能局限的認(rèn)為切線與曲線的公共點(diǎn)一定就是切點(diǎn)，存在一條直線與曲線相切于一點(diǎn)，并與曲線的另一部分相交于一點(diǎn)的情況，本題便是一個(gè)典型的例子 （2）在已知一點(diǎn)求切線方程時(shí)，要注意切線斜率不僅可用切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值來(lái)表示，也可以用已知點(diǎn)與切點(diǎn)來(lái)進(jìn)行表示，進(jìn)而增加可以使用的條件. 【精選精練】 1．【2018屆北京市育英中學(xué)高三十月月考】曲線在點(diǎn)的切線方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2【2018屆吉林省長(zhǎng)春市高三監(jiān)測(cè)（三）】已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可知,,a ，令. 故選:B. 3【2018屆北京市育英中學(xué)高三十月月考】已知曲線的一條切線的斜率為,則切點(diǎn)橫坐標(biāo)為（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 故選D. 點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即為在該點(diǎn)出的切線的斜率，在處理該問(wèn)題中需注意切點(diǎn)的重要性，主要利用：①切點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)為斜率；②切點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線方程；③切點(diǎn)坐標(biāo)滿足切線方程. 4．【2018屆廣西桂林、賀州、崇左三市高三第二次聯(lián)考】若曲線與曲線（）存在公共切線，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在點(diǎn)的切線斜率為, 在點(diǎn)的切線的斜率為,故,由斜率公式得,即,則有解.由, 的圖象有交點(diǎn)即可,相切時(shí)有,所以,故選D. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程,過(guò)曲線上某點(diǎn)出的切線的斜率,就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,是中檔題.要求曲線上某點(diǎn)的切線方程,需要到兩個(gè)量,一個(gè)是切點(diǎn),一個(gè)是切線的斜率,分別求得切點(diǎn)和斜率,然后根據(jù)點(diǎn)斜式可寫出切線方程. 5【2018屆東北三省四市高三一?！恳阎^(guò)曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，若切線在軸上的截距小于0時(shí)，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因?yàn)?，所以切線方程為，即，令得，截距小于0時(shí)， ，解得，故選C. 6【2018屆陜西省西安市八校高三上第一次聯(lián)考】曲線上一點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)（為原點(diǎn)）是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則切線的傾斜角為（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 【答案】C ∴，即 ∴ ∴切線的斜率為 ∴切線的傾斜角為 故選C. 7 【2018屆江西省金溪一中、余江一中等五市八校高三上第一次聯(lián)考】直線與曲線相切于點(diǎn)，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由直線與曲線相切于點(diǎn)， 則點(diǎn)滿足直線的方程，即，即 由，則，則，解得，故選A． 8【2018屆遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體高三上學(xué)期期末】已知正數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 9 【2018屆山西省太原十二中高三1月月考】若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，所以切線的斜率為，切線方程為，所以，選D. 10【2018屆遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校高三三?！考褐€上存在兩條斜率為3的切線，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于零， 則實(shí)數(shù)的取值范圍為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可知，即有兩個(gè)解，且均大于零。即， ，解得,選A. 【點(diǎn)睛】轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)正數(shù)解，用韋達(dá)和判別式或根的分布求得范圍. 11【2018屆四川省高三春季診斷性測(cè)試】已知直線是曲線與曲線的一條公切線，與曲線切于點(diǎn)，且是函數(shù)的零點(diǎn)，則的解析式可能為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【名師點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵為對(duì)切線方程的求法的熟悉，根據(jù)切線方程斜率和切點(diǎn)可以列出兩個(gè)等式，然后消掉t得到關(guān)于a方程從而確定f（x）的表達(dá)式 12.【2018屆湖北七市（州）教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知函數(shù)在點(diǎn) 處的切線為，若直線在軸上的截距恒小于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于這種壓軸選擇題，我們掌握一些做題技巧，巧借答案可根據(jù)備選答案去分析通過(guò)排除法輕而易舉得出結(jié)論.