2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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3.1 獨(dú)立性檢驗(yàn) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解22列聯(lián)表的意義.2.了解統(tǒng)計(jì)量χ2的意義.3.通過(guò)對(duì)典型案例分析,了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法. 知識(shí)點(diǎn)一 22列聯(lián)表 思考 山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育,增加了高中生的課外活動(dòng)時(shí)間,某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動(dòng)方式,結(jié)果整理成下表: 體育 文娛 合計(jì) 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合計(jì) 270 520 790 如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”? 梳理 (1)22列聯(lián)表的定義 對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有兩類取值,即類A和類B;Ⅱ也有兩類取值,即類1和類2.我們得到如下列聯(lián)表所示的抽樣數(shù)據(jù): Ⅱ 類1 類2 合計(jì) Ⅰ 類A a b 類B c d 合計(jì) a+b+c+d (2)χ2統(tǒng)計(jì)量的求法 公式χ2=. 知識(shí)點(diǎn)二 獨(dú)立性檢驗(yàn) 獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念 用χ2統(tǒng)計(jì)量研究?jī)勺兞渴欠裼嘘P(guān)的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn). 知識(shí)點(diǎn)三 獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 要判斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”,可按下面的步驟進(jìn)行: (1)提出假設(shè)H0:__________________; (2)根據(jù)22列聯(lián)表及χ2公式,計(jì)算________的值; (3)查對(duì)臨界值,作出判斷. 其中臨界值如表所示: P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 表示在H0成立的情況下,事件“_____________________________________”發(fā)生的概率. 2.推斷依據(jù) (1)若χ2>10.828,則有99.9%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”. (2)若χ2>6.635,那么有99%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”. (3)若χ2>2.706,那么有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”. (4)若χ2≤2.706,那么就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”,但也不能作出結(jié)論“H0成立”,即Ⅰ與Ⅱ沒(méi)有關(guān)系. 類型一 22列聯(lián)表 例1 在一項(xiàng)有關(guān)醫(yī)療保健的社會(huì)調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人,女性為670人,其中男性中喜歡吃甜食的為117人,女性中喜歡吃甜食的為492人,請(qǐng)作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表. 反思與感悟 分清類別是列聯(lián)表的作表關(guān)鍵步驟.表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來(lái)的結(jié)果. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)下面是22列聯(lián)表: y1 y2 合計(jì) x1 a 21 73 x2 2 25 27 合計(jì) b 46 100 則表中a,b的值分別為_(kāi)_______,________. (2)某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作一項(xiàng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn):在平時(shí)的模擬考試中,性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張,性格外向的594名學(xué)生中有213名在考前心情緊張.作出22列聯(lián)表. 類型二 由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn) 例2 對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行3年的跟蹤研究,調(diào)查他們是否又發(fā)作過(guò)心臟病,調(diào)查結(jié)果如下表所示. 又發(fā)作心臟病過(guò) 未發(fā)作過(guò)心臟病 合計(jì) 心臟搭橋手術(shù) 39 157 196 血管清障手術(shù) 29 167 196 合計(jì) 68 324 392 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作過(guò)心臟病的影響有沒(méi)有差別. 反思與感悟 獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn) 在22列聯(lián)表中,如果兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系,則應(yīng)滿足ad-bc≈0,因此|ad-bc|越小,關(guān)系越弱;|ad-bc|越大,關(guān)系越強(qiáng). 跟蹤訓(xùn)練2 某省進(jìn)行高中新課程改革已經(jīng)四年了,為了解教師對(duì)新課程教學(xué)模式的使用情況,某一教育機(jī)構(gòu)對(duì)某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,共調(diào)查了50人,其中有老教師20人,青年教師30人.老教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有10人,不贊同的有10人;青年教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有24人,不贊同的有6人. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)22列聯(lián)表; (2)判斷是否有99%的把握說(shuō)明對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)系. 類型三 獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用 例3 電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖如圖. 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”. (1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表,并據(jù)此資料推斷“體育迷”與性別是否有關(guān)? 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 女 10 55 合計(jì) (2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的概率分布,均值E(X)和方差V(X). 附:χ2=. P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 x0 2.706 3.841 6.635 反思與感悟 獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 第一步,假設(shè)兩個(gè)分類變量X與Y無(wú)關(guān)系;第二步,找相關(guān)數(shù)據(jù),列出22列聯(lián)表;第三步,由公式χ2=(其中n=a+b+c+d)計(jì)算出χ2的值;第四步,將χ2的值與臨界值進(jìn)行比較,進(jìn)而作出統(tǒng)計(jì)推斷.這些臨界值,在高考題中常會(huì)附在題后,應(yīng)適時(shí)采用. 跟蹤訓(xùn)練3 某地區(qū)甲校高二年級(jí)有1 100人,乙校高二年級(jí)有900人,為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校高二年級(jí)在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī),采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),如下表:(已知本次測(cè)試合格線是50分,兩校合格率均為100%) 甲校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī): 分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 10 25 35 30 x 乙校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī): 分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 15 30 25 y 5 (1)計(jì)算x,y的值,并分別估計(jì)以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分;(精確到1分) (2)若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀,低于80分為非優(yōu)秀,根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表,并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異”? 甲校 乙校 總計(jì) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 1.在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中,共調(diào)查了1 671人,經(jīng)過(guò)計(jì)算χ2=27.63,根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析,我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是________的.(填有關(guān),無(wú)關(guān)) 2.為了考察長(zhǎng)頭發(fā)與女性頭暈是否有關(guān)系,隨機(jī)抽查301名女性,得到如下所示的列聯(lián)表,試根據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空. 經(jīng)常頭暈 很少頭暈 合計(jì) 長(zhǎng)發(fā) 35 ① 121 短發(fā) 37 143 ② 合計(jì) 72 ③ ④ 則空格中的數(shù)據(jù)分別為:①________;②________;③________;④________. 3.在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中,下列說(shuō)法正確的是________.(填序號(hào)) ①若χ2>6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺??; ②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知,有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí),我們說(shuō)某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺病; ③若從χ2與臨界值的比較中得出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤. 4.某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān),隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況,具體數(shù)據(jù)如表: 心臟病 無(wú)心臟病 禿發(fā) 20 300 不禿發(fā) 5 450 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2=≈15.968,因?yàn)棣?>6.635,則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系,那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為_(kāi)_______. 5.根據(jù)下表計(jì)算: 不看電視 看電視 男 37 85 女 35 143 χ2≈________.(保留3位小數(shù)) 1.列聯(lián)表 列聯(lián)表由兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說(shuō)明這兩個(gè)變量之間是否有相關(guān)關(guān)系. 2.對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法.先假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”成立,計(jì)算統(tǒng)計(jì)量χ2的值,如果χ2的值很大,說(shuō)明假設(shè)不合理.χ2越大,兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大. 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考 可通過(guò)表格與圖形進(jìn)行直觀分析,也可通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析定量判斷. 梳理 (1)a+b c+d a+c b+d 知識(shí)點(diǎn)三 1.(1)Ⅰ與Ⅱ沒(méi)有關(guān)系 (2)χ2 (3)χ2≥x0 題型探究 例1 解 作列聯(lián)表如下: 喜歡甜食 不喜歡甜食 合計(jì) 男 117 413 530 女 492 178 670 合計(jì) 609 591 1 200 跟蹤訓(xùn)練1 (1)52 54 解析 ∵a+21=73,∴a=52. 又∵a+2=b,∴b=54. (2)解 作列聯(lián)表如下: 性格內(nèi)向 性格外向 合計(jì) 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 合計(jì) 426 594 1 020 例2 解 假設(shè)病人又發(fā)作過(guò)心臟病與做過(guò)心臟搭橋手術(shù)還是血管清障手術(shù)沒(méi)有關(guān)系,由表中數(shù)據(jù)得a=39,b=157,c=29,d=167,a+b=196,c+d=196,a+c=68,b+d=324,n=392, 由公式得 χ2= ≈1.779. 因?yàn)棣?≈1.779<2.706,所以不能得出病人又發(fā)作過(guò)心臟病與做過(guò)心臟搭橋手術(shù)還是血管清障手術(shù)有關(guān)系的結(jié)論,即這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作過(guò)心臟病的影響沒(méi)有差別. 跟蹤訓(xùn)練2 解 (1)22列聯(lián)表如下所示: 贊同 不贊同 總計(jì) 老教師 10 10 20 青年教師 24 6 30 總計(jì) 34 16 50 (2)假設(shè)“對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無(wú)關(guān)”. 由公式得χ2= ≈4.963<6.635, 所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān). 例3 解 (1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而22列聯(lián)表如下: 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 30 15 45 女 45 10 55 合計(jì) 75 25 100 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算, 得χ2== ≈3.030. 因?yàn)?.706<3.030<3.841,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān). (2)由頻率分布直方圖知,抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為. 由題意知,X~B(3,),從而X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 故E(X)=np=3=, V(X)=np(1-p)=3=. 跟蹤訓(xùn)練3 解 (1)依題意知,甲校應(yīng)抽取110人,乙校應(yīng)抽取90人, ∴x=10,y=15, 估計(jì)兩個(gè)學(xué)校的平均分,甲校的平均分為 ≈75. 乙校的平均分為 ≈71. (2)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀,低于80分為非優(yōu)秀,得到22列聯(lián)表如下: 甲校 乙校 總計(jì) 優(yōu)秀 40 20 60 非優(yōu)秀 70 70 140 總計(jì) 110 90 200 χ2=≈4.714, 又4.714>3.841,故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異”. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.有關(guān) 2.86 180 229 301 3.③ 4.0.01 5.4.514- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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