2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.1 直線與圓 文.doc

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第一講　直線與圓 (30分鐘　55分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知三條直線x=1,x-2y-3=0,mx+y+2=0交于一點(diǎn),則m的值為 (　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【解析】選C.由方程組x=1,x-2y-3=0解得x=1,y=-1,代入mx+y+2=0中,得m-1+2=0,所以m=-1. 2.點(diǎn)P(-1,1)關(guān)于直線ax-y+b=0的對(duì)稱點(diǎn)是Q(3,-1),則a,b的值分別是 (　　) A.-2,2 B.2,-2 C.12,-12 D.12,12 【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)P(-1,1)關(guān)于直線ax-y+b=0的對(duì)稱點(diǎn)是Q(3,-1),所以a2-4=-1,a-1+32-1-12+b=0,所以a=2,b=-2. 3.已知過(guò)定點(diǎn)P(2,0)的直線l與曲線y=2-x2相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積最大時(shí),直線l的傾斜角為 (　　) A.150 B.135 C.120 D.30 【解析】選A.設(shè)∠AOB=α,則S△AOB=12(2)2sin α=sin α ≤1,當(dāng)且僅當(dāng)α=90時(shí),取等號(hào).此時(shí),△AOB為等腰直角三角形,如圖,斜邊為BA,斜邊上的高為1,又因?yàn)镺P=2,所以 ∠BPO=30,所以直線l的傾斜角為150. 4.設(shè)直線x-y+m=0(m∈R)與圓(x-2)2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作x軸的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若線段CD的長(zhǎng)度為7,則m= (　　) A.1或3 B.1或-3 C.-1或3 D.-1或-3 【解析】選D.聯(lián)立x-y+m=0,(x-2)2+y2=4得2x2+2(m-2)x+m2=0,則Δ=-4(m2+4m-4). 設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=2-m,x1x2=m22, 所以|CD|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=-m2-4m+4=7,解得m=-3或m=-1,此時(shí)Δ>0成立. 5.已知圓(x+3)2+y2=64的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點(diǎn),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0),線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P,則PMPN的取值范圍是 (　　) A.67,8 B.25,6 C.17,7 D.14,4 【解析】選C.因?yàn)閳A(x+3)2+y2=64的圓心為M,A為圓上任一點(diǎn),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0),線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P, 所以P是AN的垂直平分線上一點(diǎn), 所以PA=PN, 又因?yàn)锳M=8, 所以點(diǎn)P滿足PM+PN=AM=8>MN=6, 即P點(diǎn)滿足橢圓的定義,焦點(diǎn)是(3,0),(-3,0),半長(zhǎng)軸a=4, 故P點(diǎn)軌跡方程為x216+y27=1, 因?yàn)镻M+PN=8,所以PMPN=8-PNPN=8PN-1, 因?yàn)?≤PN≤7, 所以8PN∈87,8, 所以PMPN∈17,7. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知直線x+y+m=0與圓x2+y2=2交于不同的兩點(diǎn)A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),|+|≥||,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________. 【解析】因?yàn)橹本€x+y+m=0與圓x2+y2=2交于相異兩點(diǎn)A,B, 所以O(shè)點(diǎn)到直線x+y+m=0的距離d<2, 又因?yàn)閨+|≥||,由平行四邊形定理可知,夾角為鈍角的鄰邊所對(duì)的對(duì)角線比夾角為銳角的鄰邊所對(duì)的對(duì)角線短, 所以和的夾角為銳角. 又因?yàn)橹本€x+y+m=0的斜率為-1,即直線與x的負(fù)半軸的夾角為45度,當(dāng)和 的夾角為直角時(shí),直線與圓交于(-2,0),(0,-2)或(2,0),(0,2),此時(shí)原 點(diǎn)與直線的距離為1,故d≥1,綜合可知1≤d<2,又d=|m|2,所以1≤|m|2<2, 解得:-243. (2)直線l的方程為y=k(x-1), 代入圓C的方程得:(1+k2)x2-(2k2+6k+4)x+k2+6k+12=0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則x1x2=k2+6k+121+k2, x1+x2=2k2+6k+41+k2, 所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1) =k2(x1x2-x1-x2+1)=9k21+k2, 所以=x1x2+y1y2=10k2+6k+121+k2=12,解得k=3或k=0(舍), 所以l的方程為3x-y-3=0. 故圓心(2,3)在直線l上, 所以|MN|=2r=2. 【提分備選】 已知直線l:y=k(x+1)+3與圓x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=4,則|CD|=____________. 【解析】由圓的方程x2+y2=4可知:圓心為(0,0),半徑r=2. 因?yàn)橄议L(zhǎng)為|AB|=4=2r, 所以可以得知直線l經(jīng)過(guò)圓心O. 所以0=k(0+1)+3,解得k=-3, 所以直線AB的方程為:y=-3x, 設(shè)直線AB的傾斜角為θ,則tan θ=-3,所以θ=120, 所以在Rt△AOC中,|CO|=212=4, 那么|CD|=2|OC|=8. 答案:8 (20分鐘　20分) 1.(10分)已知點(diǎn)P(2,0)及圓C:x2+y2-6x+4y+4=0. (1)若直線l過(guò)點(diǎn)P且與圓心C的距離為1,求直線l的方程. (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l1與圓C交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=4時(shí),求以線段MN為直徑的圓Q的方程. (3)設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(1)設(shè)直線l的斜率為k(k存在), 則方程y-0=k(x-2),即kx-y-2k=0, 又圓C的圓心為(3,-2),半徑r=3, 由|3k+2-2k|k2+1=1,解得k=-34. 所以直線方程為y=-34(x-2),即3x+4y-6=0. 當(dāng)l的斜率不存在時(shí),l的方程為x=2,經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿足條件. 綜上所述,直線l的方程為x=2或3x+4y-6=0. (2)由于|CP|=5,而弦心距d=r2-|MN|22=5, 所以d=|CP|=5. 所以P恰為MN的中點(diǎn). 故以MN為直徑的圓Q的方程為(x-2)2+y2=4. (3)把直線y=ax+1,代入圓C的方程, 消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0. 由于直線ax-y-1=0交圓C于A,B兩點(diǎn), 故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0, 即-2a>0,解得a<0. 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0). 設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在,由于l2垂直平分弦AB,故圓心C(3,-2)必在l2上. 所以l2的斜率kPC=-2,而kAB=a=-1kPC,所以a=12. 由于12?(-∞,0),故不存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB. 2.(10分)已知圓A:x2+y2+2x-15=0,過(guò)點(diǎn)B(1,0)作直線l(與x軸不重合)交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (1) 求點(diǎn)E的軌跡方程. (2)動(dòng)點(diǎn)M在曲線E上,動(dòng)點(diǎn)N在直線l:y=23上,若OM⊥ON,求證:原點(diǎn)O到直線MN的距離是定值. 【解析】(1)如圖,因?yàn)閨AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|, 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4, 所以|EA|+|EB|=4, 由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2, 由橢圓的定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為x24+y23=1. (2)①若直線ON的斜率不存在, 則|ON|=23,|OM|=2,|MN|=4, 原點(diǎn)O到直線MN的距離d=|OM||ON||MN|=3. ②若直線ON的斜率存在,設(shè)直線OM的方程為y=kx,代入x24+y23=1,得x2=123+4k2,y2=12k23+4k2, 直線ON的方程為y=-1kx,代入y=23,得 N(-23k,23). 由題意知|MN|2=|ON|2+|OM|2 =(-23k)2+(23)2+12(1+k2)3+4k2=48(1+k2)23+4k2. 設(shè)原點(diǎn)O到直線MN的距離為d,由題意知 |MN|d=|OM||ON|, 得d2=|OM|2|ON|2|MN|2=3,則d=3. 綜上所述,原點(diǎn)O到直線MN的距離為定值3.