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專題跟蹤檢測（十九） 不等式選講
1．(2018全國卷Ⅱ)設函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范圍．
解：(1)當a＝1時，f(x)＝
當x<－1時，由2x＋4≥0，解得－2≤x<－1；
當－1≤x≤2時，顯然滿足題意；
當x>2時，由－2x＋6≥0，解得2
.所以3時，原不等式可化為x－3＋x－2<2，解得x<.所以3－，解得m>－2，
又m<0，所以m的取值范圍是(－2,0)．
4．(2018全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)畫出y＝f(x)的圖象；
(2)當x∈[0，＋∞)時，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解：(1)f(x)＝
y＝f(x)
的圖象如圖所示．
(2)由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當且僅當a≥3且b≥2時，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值為5.
5．已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M；
(2)設a，b∈M，證明：f(ab)>f(a)－f(－b)．
解：(1)①當x≤－1時，原不等式可化為－x－1<－2x－2，解得x<－1；
②當－11.
綜上，M＝{x|x<－1或x>1}．
(2)證明：因為f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以要證f(ab)>f(a)－f(－b)，
只需證|ab＋1|>|a＋b|，即證|ab＋1|2>|a＋b|2，
即證a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，
即證a2b2－a2－b2＋1>0，即證(a2－1)(b2－1)>0.
因為a，b∈M，所以a2>1，b2>1，
所以(a2－1)(b2－1)>0成立，所以原不等式成立．
6．(2018廣東五市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋(a≠0)．
(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求實數(shù)m的最大值；
(2)當a<時，函數(shù)g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零點，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)f(x＋m)＝|x＋m－a|＋.
∵f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，
∴當且僅當|m|≤1時，f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，
∴－1≤m≤1，即實數(shù)m的最大值為1.
(2)當a<時，
g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋
＝
∴g(x)min＝g＝－a＋＝≤0，
∴或
解得－≤a<0，
∴實數(shù)a的取值范圍是.
7．(2018鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|ax－5|(0＜a＜5)．
(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥9的解集；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的最小值為4，求實數(shù)a的值．
解：(1)當a＝1時，f(x)＝|2x－1|＋|x－5|＝所以f(x)≥9?
或或解得x≤－1或x≥5，
即所求不等式的解集為(－∞，－1]∪[5，＋∞)．
(2)∵0時，f(x)單調(diào)遞增，∴f(x)的最小值在上取得．
∵在上，當0＜a≤2時，f(x)單調(diào)遞增，
當2＜a≤5時，f(x)單調(diào)遞減，
∴或
解得a＝2.
8．(2018成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.
(1)當k＝1時，若不等式f(x)<4的解集為{x|x12時，原不等式可化為2x<5，∴2
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