2018年秋高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數(shù)量積 2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義學案 新人教A版必修4.doc
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2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 學習目標:1.平面向量的數(shù)量積.(重點)2.平面向量數(shù)量積的幾何意義.(難點)3.向量的數(shù)量積與實數(shù)的乘法的區(qū)別.(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1.平面向量數(shù)量積的定義 非零向量a,b的夾角為θ,數(shù)量|a||b|cos θ叫做向量a與b的數(shù)量積,記作ab,即ab=|a||b|cos θ.特別地,零向量與任何向量的數(shù)量積等于0. 思考:向量的數(shù)量積的運算結果與線性運算的結果有什么不同? [提示] 數(shù)量積的運算結果是實數(shù),線性運算的運算結果是向量. 2.向量的數(shù)量積的幾何意義 (1)投影的概念: ①b在a的方向上的投影為|b|cos θ; ②a在b的方向上的投影為|a|cos θ. (2)數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積. 思考:投影一定是正數(shù)嗎? [提示] 投影可正、可負也可以為零. 3.向量數(shù)量積的性質 垂直向量 ab=0 平行向量 同向 ab=|a||b| 反向 ab=-|a||b| 向量的模 aa=|a|2或|a|= 求夾角 cos θ= 不等關系 ab≤|a||b| 4.向量數(shù)量積的運算律 (1)ab=ba(交換律). (2)(λa)b=λ(ab)=a(λb)(結合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律). [基礎自測] 1.思考辨析 (1)向量的夾角和直線的傾斜角的范圍相同.( ) (2)設非零向量a與b的夾角為θ,則cos θ>0?ab>0.( ) (3)|ab|≤ab.( ) (4)(ab)2=a2b2.( ) [解析] (1).因向量的夾角包括180,直線的傾斜角不包括180. (2)√.由數(shù)量積的定義可知. (3).|ab|≥ab, (4).(ab)2=(|a||b|cos θ)2=a2b2cos2θ. [答案] (1) (2)√ (3) (4) 2.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=,且a與b的夾角為60,那么ab等于________. [ab=|a||b|cos 60=2=.] 3.已知|b|=3,a在b方向上的投影是,則ab為________. 2 [設a與b的夾角為θ,則a在b方向上的投影|a|cos θ=, 所以ab=|b||a|cos θ=3=2.] [合 作 探 究攻 重 難] 向量數(shù)量積的計算及其幾何意義 (1)已知單位向量e1,e2的夾角為,a=2e1-e2,則a在e1上的投影是________. (2)給出下列結論:①若a≠0,ab=0,則b=0;②若ab=bc,則a=c;③(ab)c=a(bc);④a[b(ac)-c(ab)]=0,其中正確結論的序號是________. (3)已知向量a與b滿足|a|=10,|b|=3,且向量a與b的夾角為120.求: ①(a-b)(a-b); ②(2a+b)(a-b). [思路探究] 根據(jù)數(shù)量積的定義、性質、運算律及投影的定義解答. (1) (2)④ [(1)設a與e1的夾角為θ,則a在e1上的投影為|a|cos θ==ae1=(2e1-e2)e1 =2e-e1e2 =2-11cos=. (2)因為兩個非零向量a,b垂直時,ab=0,故①不正確; 當a=0,b⊥c時,ab=bc=0,但不能得出a=c, 故②不正確; 向量(ab)c與c共線,a(bc)與a共線,故③不正確; a[b(ac)-c(ab)] =(ab)(ac)-(ac)(ab)=0,故④正確. (3)①(a-b)(a-b) =a2-b2=|a|2-|b|2=100-9=91. ②因為|a|=10,|b|=3,且向量a與b的夾角為120, 所以ab=103cos 120=-15, 所以(2a+b)(a-b)=2a2-ab-b2 =200+15-9=206.] [規(guī)律方法] 求平面向量數(shù)量積的步驟是:(1)求a與b的夾角θ,θ∈[0,π];(2)分別求|a|和|b|;(3)求數(shù)量積,即ab=|a||b|cos θ,要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“”連接,而不能用“”連接,也不能省去. 求投影的兩種方法: (1)b在a方向上的投影為|b|cos θ(θ為a,b的夾角),a在b方向上的投影 為|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影為,a在b方向上的投影為. [跟蹤訓練] 1.(1)在△ABC中,∠A=60,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且=-4,則λ的值為________. [設=a,=b,由已知得|a|=3,|b|=2,ab=|a||b|cos 60=3, 因為=2,所以-=2(-), 所以=+=a+b, 所以=(λb-a)=ab-a2+b2=(λ-2)-9+4=-4, 解得λ=.] (2)設非零向量a和b,它們的夾角為θ. ①若|a|=5,θ=150,求a在b方向上的投影; ②若ab=9,|a|=6,求b在a方向上的投影. [解]?、質a|cos θ=5cos 150=5=-, ∴a與b方向上的投影為-. ②==, ∴b在a方向上的投影為. 與向量模有關的問題 (1)已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=_______. (2)已知向量a與b夾角為45,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|. [思路探究] 靈活應用a2=|a|2求向量的模. (1)2 [(1)|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+2|a||2b|cos 60+(2|b|)2 =22+222+22=4+4+4=12, 所以|a+2b|==2. (2)因為|2a+b|=, 所以(2a+b)2=10, 所以4a2+4ab+b2=10, 又因為向量a與b的夾角為45且|a|=1, 所以412+41|b|+|b|2=10, 整理得|b|2+2|b|-6=0, 解得|b|=或|b|=-3(舍去).] [規(guī)律方法] 求向量的模的常見思路及方法 (1)求模問題一般轉化為求模平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應用a2=|a|2,勿忘記開方. (2)aa=a2=|a|2或|a|=,此性質可用來求向量的模,可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉化.,(3)一些常見的等式應熟記,如(ab)2=a22ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等. [跟蹤訓練] 2.已知向量a、b滿足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|. [解] 由已知,|a+b|=4, ∴|a+b|2=42,∴a2+2ab+b2=16.(*) ∵|a|=2,|b|=3, ∴a2=|a|2=4,b2=|b|2=9, 代入(*)式得4+2ab+9=16, 即2ab=3. 又∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=4-3+9=10, ∴|a-b|=. 與向量垂直、夾角有關的問題 [探究問題] 1.設a與b都是非零向量,若a⊥b,則ab等于多少?反之成立嗎? 提示:a⊥b?ab=0. 2.|ab|與|a||b|的大小關系如何?為什么?對于向量a,b,如何求它們的夾角θ? 提示:|ab|≤|a||b|,設a與b的夾角為θ,則ab=|a||b|cos θ. 兩邊取絕對值得: |ab|=|a||b||cos θ|≤|a||b|. 當且僅當|cos θ|=1, 即cos θ=1,θ=0或π時,取“=”, 所以|ab|≤|a||b|, cos θ=. (1)已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量,若向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角,則k的取值范圍為________. (2)已知非零向量a,b滿足a+3b與7a-5b互相垂直,a-4b與7a-2b互相垂直,求a與b的夾角. [思路探究] (1)兩個向量夾角為銳角等價于這兩個向量數(shù)量積大于0且方向不相同. (2)由互相垂直的兩個向量的數(shù)量積為0列方程,推出|a|與|b|的關系,再求a與b的夾角. (1)(0,1)∪(1,+∞) [(1)∵e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角, ∴(e1+ke2)(ke1+e2) =ke+ke+(k2+1)e1e2 =2k>0,∴k>0. 當k=1時,e1+ke2=ke1+e2,它們的夾角為0,不符合題意,舍去. 綜上,k的取值范圍為k>0且k≠1. (2)由已知條件得 即 ②-①得23b2-46ab=0, ∴2ab=b2,代入①得a2=b2, ∴|a|=|b|,∴cos θ===. ∵θ∈[0,π],∴θ=.] 母題探究:1.將例3(1)中的條件“銳角”改為“鈍角”其他條件不變,求k的取值范圍. [解] ∵e1+ke2與ke1+e2的夾角為鈍角, ∴(e1+ke2)(ke1+e2)=ke+ke+(k2+1)e1e2=2k<0, ∴k<0. 當k=-1時e1+ke2與ke1+e2方向相反,它們的夾角為π,不符合題意,舍去. 綜上,k的取值范圍是k<0且k≠-1. 2.將例3(1)中的條件“銳角”改為“”,求k的值. [解] 由已知得|e1+ke2|==, |ke1+e2|==, (e1+ke2)(ke1+e2)=ke+ke+(k2+1)e1e2=2k, 則cos==, 即=整理得k2-4k+1=0 解得k==2. [規(guī)律方法] 1.求向量夾角的方法: (1)求出ab,|a|,|b|,代入公式cos θ=求解. (2)用同一個量表示ab,|a|,|b|代入公式求解. (3)借助向量運算的幾何意義,數(shù)形結合求夾角. 2.要注意夾角θ的范圍θ∈[0,π],當cos θ>0時,θ∈;當cos θ<0時,θ∈,當cos θ=0時,θ=. [當 堂 達 標固 雙 基] 1.(2018全國卷Ⅱ)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 B [因為|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3,故選B.] 2.設e1和e2是互相垂直的單位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,則ab等于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 B [因為|e1|=|e2|=1,e1e2=0,所以ab=(3e1+2e2)(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1e2=-912+812+60=-1.故選B.] 3.已知|a|=3,|b|=5,且ab=12,則向量a在向量b的方向上的投影為________. [設a與b的夾角為θ, 因為ab=|a||b|cos θ=12, 又|b|=5,所以|a|cos θ=, 即a在b方向上的投影為.] 4.若ab<0,則a與b的夾角θ的取值范圍是________. [因為ab=|a||b|cos θ<0, 所以cos θ<0,又θ∈[0,π],所以θ∈.] 5.已知|a|=|b|=5,向量a與b的夾角為,求|a+b|,|a-b|. [解] ab=|a||b|cos θ=55=. |a+b|= = ==5. |a-b|= = ==5.- 配套講稿:
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