2018-2019版高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案新人教A版選修2 .doc
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2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題.3.掌握方差的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法，會(huì)利用公式求它們的方差． 知識(shí)點(diǎn)一 方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì) 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X和Y，X和Y的分布列如下： X 0 1 2 P Y 0 1 2 P 思考1 試求E(X)，E(Y)． 答案 E(X)＝0＋1＋2＝， E(Y)＝0＋1＋2＝. 思考2 能否由E(X)與E(Y)的值比較兩名工人技術(shù)水平的高低？ 答案 不能，因?yàn)镋(X)＝E(Y)． 思考3 試想用什么指標(biāo)衡量甲、乙兩名工人技術(shù)水平的高低？ 答案 方差． 梳理 (1)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①方差：D(X)＝(xi－E(X))2pi； ②標(biāo)準(zhǔn)差：. (2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義 隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越?。? (3)方差的性質(zhì)：D(aX＋b)＝a2D(X)． 知識(shí)點(diǎn)二 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差 X X服從兩點(diǎn)分布 X～B(n，p) D(X) p(1－p)(其中p為成功概率) np(1－p) 1．離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定．( ) 2．若a是常數(shù)，則D(a)＝0.( √ ) 3．離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度．( √ ) 類型一 求隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差 例1 已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)計(jì)算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì) 題點(diǎn) 方差性質(zhì)的應(yīng)用 解 (1)由分布列的性質(zhì)，知＋＋a＝1，故a＝， 從而X2的分布列為 X2 0 1 P (2)方法一 由(1)知a＝， 所以X的均值E(X)＝(－1)＋0＋1＝－. 故X的方差D(X)＝2＋2＋2＝. 方法二 由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)＋0＋1＝－， X2的均值E(X2)＝0＋1＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝. (3)因?yàn)閅＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11. 反思與感悟 方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，公式的記憶不能出錯(cuò)！在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下，運(yùn)用關(guān)系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失為一種比較實(shí)用的方法．另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX＋b)＝a2D(X)． 跟蹤訓(xùn)練1 已知η的分布列為 η 0 10 20 50 60 P (1)求方差及標(biāo)準(zhǔn)差； (2)設(shè)Y＝2η－E(η)，求D(Y)． 考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì) 題點(diǎn) 方差性質(zhì)的應(yīng)用 解 (1)∵E(η)＝0＋10＋20＋50＋60＝16， ∴D(η)＝(0－16)2＋(10－16)2＋(20－16)2＋(50－16)2＋(60－16)2＝384， ∴＝8. (2)∵Y＝2η－E(η)， ∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4384＝1 536. 類型二 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差 例2 為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù)，均值E(ξ)為3，標(biāo)準(zhǔn)差為. (1)求n和p的值，并寫出ξ的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率． 考點(diǎn) 三種常用分布的方差 題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的方差 解 由題意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n. (1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝， 得1－p＝，從而n＝6，p＝. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)， 得P(A)＝＋＋＋＝，或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－＝，所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為. 反思與感悟 解決此類問題第一步是判斷隨機(jī)變量ξ服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解．若ξ服從兩點(diǎn)分布，則D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B(n，p)，則D(ξ)＝np(1－p)． 跟蹤訓(xùn)練2 某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%. (1)計(jì)算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差； (2)從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，計(jì)算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差． 考點(diǎn) 三種常用分布的方差 題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的方差 解 (1)用ξ表示抽得的正品數(shù)，則ξ＝0,1. ξ服從兩點(diǎn)分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98， 所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98(1－0.98)＝0.019 6. (2)用X表示抽得的正品數(shù)，則X～B(10,0.98)， 所以D(X)＝100.980.02＝0.196， 標(biāo)準(zhǔn)差為≈0.44. 類型三 方差的實(shí)際應(yīng)用 例3 為選拔奧運(yùn)會(huì)射擊選手，對(duì)甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測(cè)試．已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人． 考點(diǎn) 均值、方差的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用 解 (1)依據(jù)題意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1. ∵乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2， ∴乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴ξ，η的分布列分別為 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)結(jié)合(1)中ξ，η的分布列，可得 E(ξ)＝100.5＋90.3＋80.1＋70.1＝9.2， E(η)＝100.3＋90.3＋80.2＋70.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)20.5＋(9－9.2)20.3＋(8－9.2)20.1＋(7－9.2)20.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)20.3＋(9－8.7)20.3＋(8－8.7)20.2＋(7－8.7)20.2＝1.21. ∵E(ξ)>E(η)，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高． 又∵D(ξ)下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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