2019屆高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 課堂達標11 函數與方程 文 新人教版.doc

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課堂達標(十一) 函數與方程 [A基礎鞏固練] 1．(2018荊門調研)已知函數y＝f(x)的圖象是連續(xù)不間斷的曲線，且有如下的對應值： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6 則函數y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有(　　) A．2個　　 B．3個　　 C．4個　　 D．5個 [解析]　依題意，f(2)f(3)＜0，f(3)f(4)＜0，f(4)f(5)＜0，故函數y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有3個，故選B. [答案]　B 2．(2018鄭州質檢)已知函數f(x)＝x－cos x，則f(x)在上的零點個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　作出g(x)＝x與h(x)＝cos x的圖象如圖所示，可以看到其在[0,2π]上的交點個數為3，所以函數f(x)在[0,2π]上的零點個數為3，故選C. [答案]　C 3．(2018寧夏育才中學第四次月考)已知函數f(x)＝(a∈R)，若函數f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1,0) D．[－1,0) [解析]　當x＞0時，f(x)＝3x－1有一個零點x＝，所以只需要當x≤0時，ex＋a＝0有一個根即可，即ex＝－a.當x≤0時，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)，故選D. [答案]　D 4．(2018北京市西城區(qū)一模)函數f(x)＝2x＋log2|x|的零點個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　函數f(x)＝2x＋log2|x|的零點個數， 即為函數 y＝－2x的圖象和函數y＝log 2|x|的圖象的交點個數．如圖所示： 數形結合可得，函數 y＝－2x 的圖象和函數y＝log 2|x|的圖象的交點個數為2，故選C. [答案]　C 5．(2018山東省實驗中學一模試卷)已知函數f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝x－的零點依次為a，b，c，則(　　 ) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c [解]　由f(x)＝0得ex＝－x，由g(x)＝0得ln x＝－x. 由h(x)＝0得x＝1，即c＝1. 在坐標系中，分別作出函數y＝ex ，y＝－x，y＝ln x的圖象，由圖象可知a＜0,0＜b＜1， 所以a＜b＜c.故選：B. [答案]　B 6．(2018合肥模擬)若偶函數f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]時，f(x)＝x2，則關于x的方程f(x)＝x在上的根的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　(1)因為f(x)為偶函數， 所以當x∈[－1,0]時，－x∈[0,1]，所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2. 又f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f(x)，故f(x)是以2為周期的周期函數，據此在同一坐標系中作出函數y＝f(x)與y＝x在上的圖象如圖所示，數形結合得兩圖象有3個交點，故方程f(x)＝x在上有三個根，故選C. [答案]　C 7．(2018煙臺模擬)函數f(x)＝cos x－log8x的零點個數為　________　. [解析]　由f(x)＝0得cos x＝log8x，設y＝cos x，y＝log8x，作出函數y＝cos x，y＝log8x的圖象，由圖象可知，函數的零點個數為3. [答案]　3 8．已知0＜a＜1，k≠0，函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－k有兩個零點，則實數k的取值范圍是______． [解析]　函數g(x)＝f(x)－k有兩個零點，即f(x)－k＝0有兩個解，即y＝f(x)與y＝k的圖象有兩個交點．分k＞0和k＜0作出函數f(x)的圖象．當0＜k＜1時，函數y＝f(x)與y＝k的圖象有兩個交點；當k＝1時，有一個交點；當k＞1或k＜0時，沒有交點，故當0＜k＜1時滿足題意． [答案]　(0,1) 9．(2018福建省三明市二模)已知函數f(x)＝log2x，g(x)＝x2，則函數y＝g(f(x))－x零點的個數為______． [解析]　令f(x)＝log2x＝t，得x＝2t， ∴y＝g(f(x))－x＝g(t)－2t＝t2－2t， 令t2－2t＝0得t＝2或t＝4， 作出y＝t2和y＝2t的函數圖象， 由圖象可知t2－2t＝0在(－∞，0)上有一解， 故方程t2－2t＝0共有3解， 又f(x)＝log2x是單調函數， ∴f(x)＝t有3解， ∴y＝g(f(x))－x有3個零點． 故答案為3. [答案]　3 10．(2018海淀一模)已知函數f(x)＝－x2－2x，g(x)＝. (1)求g[f(1)]的值； (2)若方程g[f(x)]－a＝0有4個實數根，求實數a的取值范圍． [解]　(1)∵f(1)＝－12－21＝－3， ∴g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)內有2個不同的解，則原方程有4個解等價于函數y＝g(t)(t＜1)與y＝a的圖象有2個不同的交點，作出函數y＝g(t)(t＜1)的圖象，如圖所示，由圖象可知，當1≤a＜時，函數y＝g(t)(t＜1)與y＝a有2個不同的交點，即所求a的取值范圍是. [B能力提升練] 1．(2018鄭州模擬)已知x0是函數f(x)＝＋ln x的一個零點，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則(　　) A．f(x1)＜0，f(x2)＜0　　 B．f(x1)＞0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＜0，f(x2)＞0 [解析]　令f(x)＝＋ln x＝0. 從而有l(wèi)n x＝，此方程的解即為函數f(x)的零點．在同一坐標系中作出函數y＝ln x與y＝的圖象如圖所示． 由圖象易知，＞ln x1，從而ln x1－＜0，故ln x1＋＜0，即f(x1)＜0.同理f(x2)＞0. [答案]　D 2．(2018哈師大模擬)若定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]時，f(x)＝1－x2，函數g(x)＝則函數h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]內的零點個數是(　　) A．5　　 B．7 C．8　　 D．10 [解析]　依題意得，函數f(x)是以2為周期的函數，在同一坐標系下畫出函數y＝f(x)與函數y＝g(x)的圖象，結合圖象得，當x∈[－5,5]時，它們的圖象的公共點共有8個，即函數h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]內的零點個數是8. [答案]　C 3．(2018衡水期中)若a＞1，設函數f(x)＝ax＋x－4的零點為m，函數g(x)＝logax＋x－4的零點為n，則＋的最小值為　________　. [解析]　設F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，則h(x)與F(x)，G(x)的交點A，B橫坐標分別為m，n(m＞0，n＞0)． 因為F(x)與G(x)關于直線y＝x對稱， 所以A，B兩點關于直線y＝x對稱． 又因為y＝x和h(x)＝4－x交點的橫坐標為2， 所以m＋n＝4. 又m＞0，n＞0，所以＋＝(＋) ＝≥＝1. 當且僅當＝，即m＝n＝2時等號成立． 所以＋的最小值為1. [答案]　1 4．若函數f(x)＝xln x－a有兩個零點，則實數a的取值范圍為　________　. [解析]　令g(x)＝xln x，h(x)＝a，則問題可轉化成函數g(x)與h(x)的圖象有兩個交點．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)＜0，即ln x＜－1，可解得0＜x＜；令g′(x)＞0，即ln x＞－1，可解得x＞，所以，當0時，函數g(x)單調遞增，由此可知當x＝時，g(x)min＝－.在同一坐標系中作出函數g(x)和h(x)的簡圖如圖所示，據圖可得－＜a＜0. [答案]　 5．設函數f(x)＝(x＞0)． (1)作出函數f(x)的圖象； (2)當0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍． [解]　(1)如圖所示． (2)∵f(x)＝ ＝ 故f(x)在(0,1]上是減函數，而在(1，＋∞)上是增函數，由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且－1＝1－，∴＋＝2. (3)由函數f(x)的圖象可知，當0＜m＜1時，方程f(x)＝m有兩個不相等的正根． [C尖子生專練] 已知函數f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)為偶函數． (1)求k的值； (2)若方程f(x)＝log4(a2x－a)有且只有一個根，求實數a的取值范圍． [解]　(1)∵f(x)為偶函數，∴f(－x)＝f(x)， 即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx， 即(2k＋1)x＝0，∴k＝－. (2)依題意有l(wèi)og4(4x＋1)－x＝log4(a2x－a)， 即 令t＝2x，則(1－a)t2＋at＋1＝0(*)， 只需其有一正根即可滿足題意． ①當a＝1，t＝－1時，不合題意． ②(*)式有一正一負根t1，t2，即 得a＞1，經驗證正根滿足at－a＞0，∴a＞1. ③(*)式有相等兩根，即Δ＝0?a＝2－2， 此時t＝， 若a＝2(－1)，則有t＝＜0，此時方程(1－a)t2＋at＋1＝0無正根，故a＝2(－1)舍去； 若a＝－2(＋1)，則有t＝＞0， 且a2x－a＝a(t－1)＝a＝＞0，因此a＝－2(＋1)． 綜上所述，a＞1或a＝－2－2.