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第2章 圓錐曲線與方程
[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P46]
一、圓錐曲線的意義
1．橢圓
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．
(1)焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)．
(2)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
2．雙曲線
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．
(1)焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)．
(2)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
3．拋物線
平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
二、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范圍
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
頂點(diǎn)
(a,0)，(0，b)
(0，a)，(b,0)
軸長(zhǎng)
短軸長(zhǎng)＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝2a
焦點(diǎn)
(c,0)
(0，c)
焦距
F1F2＝2c
對(duì)稱性
對(duì)稱軸x軸，y軸，對(duì)稱中心(0,0)
離心率
0
1
3. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
類型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖形
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
對(duì)稱軸
x軸
y軸
頂點(diǎn)
(0,0)
離心率
e＝1
開(kāi)口方向
向右
向左
向上
向下
三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義
(1)定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡．
當(dāng)01時(shí)，表示雙曲線；當(dāng)e＝1時(shí)，表示拋物線．
其中e是圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)F是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線．
(2)對(duì)于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線，與焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別為x＝－，x＝.
四、曲線與方程
1．定義
如果曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x，y)＝0的曲線．
2．求曲線的方程的方法
(1)直接法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，根據(jù)幾何條件直接尋求x、y之間的關(guān)系式．
(2)代入法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)．具體地說(shuō)，就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y來(lái)表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)并代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線的方程，由此即可求得所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系式．
(3)定義法：如果所給幾何條件正好符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
(4)參數(shù)法：選擇一個(gè)(或幾個(gè))與動(dòng)點(diǎn)變化密切相關(guān)的量作為參數(shù)，用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)，即得動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，可得動(dòng)點(diǎn)軌跡的普通方程．
(時(shí)間120分鐘，滿分160分)
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．將答案填在題中的橫線上)
1．(江蘇高考)雙曲線－＝1的兩條漸近線的方程為_(kāi)_______．
解析：令－＝0，解得y＝x.
答案：y＝x
2．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是________．
解析：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，而雙曲線的漸近線方程為y＝x，所以所求距離為＝.
答案：
3．方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則a的取值范圍是________．
解析：由題意得
解之得a<，且a≠0，
即a的取值范圍是(－∞，0)∪.
答案：
4．(遼寧高考)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)．若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．
解析：由題意因?yàn)镻Q過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)(5,0)，所以P，Q都在雙曲線的右支上，則有FP－PA＝6，F(xiàn)Q－QA＝6，兩式相加，利用雙曲線的定義得FP＋FQ＝28，所以△PQF的周長(zhǎng)為FP＋FQ＋PQ＝44.
答案：44
5．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)與圓x2＋y2＝2a2的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且PF1＝3PF2，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______．
解析：由得PF1＝3a，PF2＝a，
設(shè)∠F1OP＝α，則∠POF2＝180－α，
在△PF1O中，
PF＝OF＋OP2－2OF1OPcos α?、伲?
在△OPF2中，
PF＝OF＋OP2－2OF2OPcos(180－α)?、?，
由cos(180－α)＝－cos α與OP＝a，
①＋②得c2＝3a2，∴e＝＝＝.
答案：
6．已知?jiǎng)訄AP與定圓C：(x＋2)2＋y2＝1相外切，又與定直線l：x＝1相切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程是________．
解析：設(shè)P(x，y)，動(dòng)圓P在直線x＝1的左側(cè)，其半徑等于1－x，則PC＝1－x＋1，即＝2－x.
∴y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
7．已知雙曲C1＝－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸進(jìn)線的距離為2，則拋物線C2的方程為_(kāi)_______________________．
解析：∵雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的率心率為2.∴＝＝2，∴b＝a.∴雙曲線的漸近線方程為 xy＝0.∴拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為＝2.
∴p＝8.∴所求的拋物線方程為x2＝16y.
答案：x2＝16y
8．過(guò)拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)，若y1＋y2＝8，則P1P2的值為_(kāi)_______．
解析：由題意知p＝4，由拋物線的定義得P1P2＝P1F＋P2F＝＋＝(y1＋y2)＋p＝8＋4＝12.
答案：12
9．橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)到直線y＝x的距離是________．
解析：∵橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為(1,0)，
∴右焦點(diǎn)到直線x－3y＝0的距離d＝＝.
答案：
10．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為_(kāi)_______．
解析：在△ABF中，AF2＝AB2＋BF2－2ABBFcos∠ABF＝102＋82－2108＝36，則AF＝6.由AB2＝AF2＋BF2可知，△ABF是直角三角形，OF為斜邊AB的中線，c＝OF＝＝5.設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn)為F1，因?yàn)辄c(diǎn)O平分AB，且平分FF1，所以四邊形AFBF1為平行四邊形，所以BF＝AF1＝8.由橢圓的性質(zhì)可知AF＋AF1＝14＝2a?a＝7，則e＝＝.
答案：
11．(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ改編)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1，－1)，所以直線AB的方程為y＝(x－3)，代入橢圓方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為＝1，即a2＝2b2，
又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3.所以E的方程為＋＝1.
答案：＋＝1
12．拋物線y2＝12x截直線y＝2x＋1所得弦長(zhǎng)等于__________________________．
解析：令直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)
由得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝，
∴AB＝
＝＝.
答案：
13．以橢圓的焦距為直徑并過(guò)兩焦點(diǎn)的圓，交橢圓于四個(gè)不同的點(diǎn)，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為_(kāi)_______．
解析：如圖，設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，焦半徑為c.
由題意知∠F1AF2＝90，
∠AF2F1＝60.∴AF2＝c，
AF1＝2csin 60＝c.
∴AF1＋AF2＝2a＝(＋1)c.
∴e＝＝＝－1.
答案：－1
14．給出如下四個(gè)命題：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的圖形是圓；②橢圓＋＝1的離心率e＝；③拋物線x＝2y2的準(zhǔn)線的方程是x＝－；④雙曲線－＝－1的漸近線方程是y＝x.
其中所有不正確命題的序號(hào)是________．
解析：①表示的圖形是一個(gè)點(diǎn)(1,0)；②e＝；
④漸近線的方程為y＝x.
答案：①②④
二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
15．(本小題滿分14分)求與橢圓＋＝1有共同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(0,2)的雙曲線方程，并且求出這條雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、焦距、離心率以及漸近線方程．
解：橢圓＋＝1的焦點(diǎn)是(0，－5)，(0,5)，焦點(diǎn)在y軸上，
于是設(shè)雙曲線方程是－＝1(a>0，b>0)，
又雙曲線過(guò)點(diǎn)(0,2)，∴c＝5，a＝2，
∴b2＝c2－a2＝25－4＝21，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1，實(shí)軸長(zhǎng)為4，
焦距為10，離心率e＝＝，
漸近線方程是y＝x.
16．(本小題滿分14分)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，求直線l的方程．
解：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，|AB|＝4，不合題意．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，代入y2＝4x，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知k≠0，
則x1＋x2＝.
由拋物線定義知，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，
∴x1＋x2＋2＝8，即＋2＝8.
解得k＝1.
所以直線l的方程為y＝(x－1)，
即x－y－1＝0，x＋y－1＝0.
17．(本小題滿分14分) 如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，∠F1AF2＝60.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值．
解：(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，所以e＝.
(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，
直線AB的方程為y＝－(x－c)．
代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B.
所以|AB|＝|c－0|＝c.
由S△AF1B＝|AF1||AB|sin ∠F1AB＝ac＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.
法二：設(shè)AB＝t.因?yàn)閨AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由橢圓定義BF1＋BF2＝2a可知，BF1＝3a－t.
由余弦定理得(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60可得，
t＝a.
由S△AF1B＝aa＝a2＝40知，
a＝10，b＝5.
18．(浙江高考)(本小題滿分16分)如圖，點(diǎn)P(0，－1)是橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
(1)求橢圓C1的方程；
(2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程．
解：(1)由題意得
所以橢圓C1的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為y＝kx－1.
又圓C2：x2＋y2＝4，
故點(diǎn)O到直線l1的距離d＝，
所以AB＝2＝2 .
又l2⊥l1，故直線l2的方程為x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－，y0＝－1.
所以PD＝.
設(shè)△ABD的面積為S，則S＝ABPD＝，
所以S＝≤＝，
當(dāng)且僅當(dāng)k＝時(shí)取等號(hào)．
所以所求直線l1的方程為y＝x－1.
19．(陜西高考)(本小題滿分16分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到直線l：x＝4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍．
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率．
解：(1)設(shè)M到直線l的距離為d，根據(jù)題意d＝2|MN|.
由此得|4－x|＝2，
化簡(jiǎn)得＋＝1，
所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1.
(2)法一：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
將y＝kx＋3代入＋＝1中，
有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
其中Δ＝(24k)2－424(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0，
故k2>.
由根與系數(shù)的關(guān)系得，
x1＋x2＝－，①
x1x2＝.②
又因?yàn)锳是PB的中點(diǎn)，故x2＝2x1，③
將③代入①，②，得
x1＝－，x＝，
可得2＝，且k2＞，
解得k＝－或k＝，
所以直線m的斜率為－或.
法二：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵A是PB的中點(diǎn)，
∴x1＝，①
y1＝.②
又＋＝1，③
＋＝1，④
聯(lián)立①，②，③，④解得或
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(－2,0)，
所以直線m的斜率為－或.
20．(湖南高考)(本小題滿分16分)過(guò)拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1＋k2＝2，l1與E相交于點(diǎn)A，B，l2與E相交于點(diǎn)C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l.
(1)若k1>0，k2>0，證明： <2p2；
(2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程．
解：(1)證明：由題意，拋物線E的焦點(diǎn)為F，
直線l1的方程為y＝k1x＋.
由得x2－2pk1x－p2＝0.
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
從而x1＋x2＝2pk1，
y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，＝(pk1，pk)．
同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，＝(pk2，pk)．
于是＝p2(k1k2＋kk)．
因?yàn)閗1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，
所以00，所以點(diǎn)M到直線l的距離
d＝＝
＝.
故當(dāng)k1＝－時(shí)，d取最小值.
由題設(shè)，＝，解得p＝8.
故所求的拋物線E的方程為x2＝16y.
2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 章末小結(jié) 知識(shí)整合與階段檢測(cè)（含解析）蘇教版選修2-1.doc
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