(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級(jí) 重點(diǎn)增分 專題四 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義 理(普通生含解析).doc
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重點(diǎn)增分專題四 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) [全國(guó)卷3年考情分析] 年份 全國(guó)卷Ⅰ 全國(guó)卷Ⅱ 全國(guó)卷Ⅲ 2018 三角函數(shù)的最值及導(dǎo)數(shù)T16 三角函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用T10 三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題T15 2017 三角函數(shù)的圖象變換T9 三角函數(shù)的最值T14 余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)T6 2016 三角函數(shù)的圖象變換與對(duì)稱性T7 三角函數(shù)的圖象變換T14 (1)高考命題的熱點(diǎn)主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì),主要考查圖象的變換,函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性及最值,并常與三角恒等變換交匯命題. (2)高考對(duì)此部分內(nèi)容主要以選擇題、填空題的形式考查,難度為中等偏下,大多出現(xiàn)在第6~12或14~16題位置上. 三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系 [大穩(wěn)定] 1.在平面直角坐標(biāo)系中,以x軸的非負(fù)半軸為角的始邊,角α,β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)和,則sin(α+β)=( ) A.- B. C.- D. 解析:選D 因?yàn)榻铅?,β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)和,所以sin α=,cos α=,sin β=,cos β=-,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=. 2.若tan α=,則sin4α-cos4α的值為( ) A.- B.- C. D. 解析:選B ∵tan α=, ∴sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α) =sin2α-cos2α= ==-. 3.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x+π)=f(x)+sin x.當(dāng)0≤x<π時(shí),f(x)=0,則f=( ) A. B. C.0 D.- 解析:選A 由已知,得f=f+sin =f+sin +sin =f+sin +sin +sin =f+sin +sin+sin =0+++=. [解題方略] 1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧 知弦求弦 利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2α+cos2α=1求解 知弦求切 常通過(guò)平方關(guān)系、對(duì)稱式sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α建立聯(lián)系,注意tan α=的靈活應(yīng)用 知切求弦 通常先利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為sin α=tan αcos α的形式,然后用平方關(guān)系求解 和積轉(zhuǎn)換法 如利用(sin θcos θ)2=12sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化 巧用“1” 的變換 1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ 2.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟 利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟:去負(fù)-脫周-化銳.特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定.(注意“奇變偶不變,符號(hào)看象限”) [小創(chuàng)新] 1.設(shè)an=sin,Sn=a1+a2+…+an,在S1,S2,…,S100中,正數(shù)的個(gè)數(shù)是( ) A.25 B.50 C.75 D.100 解析:選D 當(dāng)1≤n≤24時(shí),an>0,當(dāng)26≤n≤49時(shí),an<0,但其絕對(duì)值要小于1≤n≤24時(shí)相應(yīng)的值;當(dāng)51≤n≤74時(shí),an>0;當(dāng)76≤n≤99時(shí),an<0,但其絕對(duì)值要小于51≤n≤74時(shí)相應(yīng)的值.故當(dāng)1≤n≤100時(shí),均有Sn>0. 2.某一算法程序框圖如圖所示,則輸出的S的值為( ) A. B.- C. D.0 解析:選A 由已知程序框圖可知,該程序的功能是計(jì)算S=sin +sin +sin +…+sin的值. 因?yàn)閟in =,sin =sin=sin =,sin =sin π=0, sin =sin=-sin =-, sin =sin=-sin =-, sin =sin 2π=0,而sin =sin=sin , sin =sin=sin ,sin =sin(2π+π)=sin π,所以函數(shù)值呈周期性變化,周期為6,且sin +sin +sin +sin +sin +sin =0. 而2 017=6336+1,所以輸出的S=3360+sin =.故選A. 3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積=(弦矢+矢2),弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng),“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為,半徑等于4 m的弧田,按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是( ) A.6 m2 B.9 m2 C.12 m2 D.15 m2 解析:選B 如圖,由題意可得∠AOB=,OA=4, 在Rt△AOD中,可得∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=4=2, 于是矢=4-2=2. 由AD=AOsin =4=2, 可得弦長(zhǎng)AB=2AD=22=4. 所以弧田面積=(弦矢+矢2)=(42+22)=4+2≈9(m2).故選B. 題型一 由“圖”定“式” [例1] (1)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為( ) A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin (2)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)到其相鄰的一條對(duì)稱軸的距離為,若f=,則函數(shù)f(x)在上的最小值為( ) A. B.- C.- D.- [解析] (1)由題圖可知,函數(shù)圖象上兩個(gè)相鄰的最值點(diǎn)分別為最高點(diǎn),最低點(diǎn), 所以函數(shù)的最大值為2,即A=2. 由圖象可得,x=-,x=為相鄰的兩條對(duì)稱軸, 所以函數(shù)的周期T=2=4π, 故=4π,解得ω=. 所以f(x)=2sin. 把點(diǎn)代入可得2sin=2, 即sin=1, 所以φ-=2kπ+(k∈Z), 解得φ=2kπ+(k∈Z). 又0<φ<π,所以φ=. 所以f(x)=2sin,故選B. (2)由題意得,函數(shù)f(x)的最小正周期T=4=π=,解得ω=2. 因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)f(x)的圖象上, 所以Asin=0, 解得φ=kπ+,k∈Z,由0<φ<π,可得φ=. 因?yàn)閒=,所以Asin=, 解得A=,所以f(x)=sin. 當(dāng)x∈時(shí),2x+∈, ∴sin∈, ∴f(x)的最小值為-. [答案] (1)B (2)C [解題方略] 由“圖”定“式”找“對(duì)應(yīng)”的方法 由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中參數(shù)的值,關(guān)鍵是把握函數(shù)圖象的特征與參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,其基本依據(jù)就是“五點(diǎn)法”作圖. (1)最值定A,B:根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定最值,設(shè)最大值為M,最小值為m,則M=A+B,m=-A+B,解得B=,A=. (2)T定ω:由周期的求解公式T=,可得ω=. (3)點(diǎn)坐標(biāo)定φ:一般運(yùn)用代入法求解φ值,注意在確定φ值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口,即“峰點(diǎn)”“谷點(diǎn)”與三個(gè)“中心點(diǎn)”. 題型二 三角函數(shù)的圖象變換 [例2] (1)(2019屆高三湘東五校聯(lián)考)將函數(shù)f(x)=sin的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,所得圖象的一條對(duì)稱軸的方程可能是( ) A.x=- B.x= C.x= D.x= (2)(2018鄭州第一次質(zhì)量測(cè)試)若將函數(shù)f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)圖象上的每一個(gè)點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)是奇函數(shù),則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) [解析] (1)依題意知,將函數(shù)f(x)=sin的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,得函數(shù)g(x)=sin的圖象.令x+=+kπ,k∈Z,得x=2kπ+, k∈Z,當(dāng)k=0時(shí),所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程為x=,故選D. (2)由題意知g(x)=3sin=3sin,因?yàn)間(x)是奇函數(shù),所以+φ=kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z),又0<φ<π,所以φ=,所以g(x)=3sin(2x+π)= -3sin 2x,由+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).故選A. [答案] (1)D (2)A [解題方略] 關(guān)于三角函數(shù)的圖象變換的方法 沿x軸 沿y軸 平移變換 由y=f(x)變?yōu)閥=f(x+φ)時(shí),“左加右減”,即φ>0,左移;φ<0,右移 由y=f(x)變?yōu)閥=f(x)+k時(shí),“上加下減”,即k>0,上移;k<0,下移 伸縮變換 由y=f(x)變?yōu)閥=f(ωx)時(shí),點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍 由y=f(x)變?yōu)閥=Af(x)時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的|A|倍 增分考點(diǎn)講練沖關(guān) [典例] (1)(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=2cos2x-sin2x+2,則( ) A.f(x)的最小正周期為π,最大值為3 B.f(x)的最小正周期為π,最大值為4 C.f(x)的最小正周期為2π,最大值為3 D.f(x)的最小正周期為2π,最大值為4 (2)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+φ)(-π<φ<0).若f(x)+f′(x)是偶函數(shù),則φ等于( ) A. B.- C. D.- (3)(2018昆明調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=sin ωx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且f(x)在上為增函數(shù),則ω=( ) A. B.3 C. D.6 (4)(2018全國(guó)卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是減函數(shù),則a的最大值是( ) A. B. C. D.π [解析] (1)∵f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,∴f(x)的最小正周期為π,最大值為4.故選B. (2)f(x)+f′(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2cos.根據(jù)誘導(dǎo)公式,要使f(x)+f′(x)為偶函數(shù),則φ+=kπ(k∈Z), 所以k=0時(shí),φ=-,故選B. (3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin ωx的圖象關(guān)于對(duì)稱, 所以π=kπ(k∈Z),即ω=k(k∈Z).① 又函數(shù)f(x)=sin ωx在區(qū)間上是增函數(shù), 所以≤且ω>0,所以0<ω≤2.② 由①②得ω=,故選A. (4)法一:∵f(x)=cos x-sin x=-sin x-, ∴當(dāng)x-∈,即x∈時(shí), y=sin單調(diào)遞增, f(x)=-sin單調(diào)遞減, ∴是f(x)在原點(diǎn)附近的單調(diào)減區(qū)間, 結(jié)合條件得[0,a]?, ∴a≤,即amax=.故選C. 法二:f′(x)=-sin x-cos x=-sin. 于是,由題設(shè)得f′(x)≤0,即sin≥0在區(qū)間[0,a]上恒成立. 當(dāng)x∈[0,a]時(shí),x+∈, 所以a+≤π,即a≤, 故所求a的最大值是.故選C. [答案] (1)B (2)B (3)A (4)C [解題方略] 1.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法 (1)代換法:求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A,ω,φ為常數(shù),A≠0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),令ωx+φ=z,得y=Asin z(或y=Acos z),然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得. (2)圖象法:畫(huà)出三角函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象求其單調(diào)區(qū)間. 2.判斷對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的方法 利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)這一性質(zhì),通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷. 3.求三角函數(shù)周期的常用結(jié)論 (1)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為,y=tan(ωx+φ)的最小 正周期為. (2)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期;正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是個(gè)周期. [多練強(qiáng)化] 1.若函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱,則函數(shù)f(x)在上的最小值是( ) A.-1 B.- C.- D.- 解析:選B f(x)=2sin,又圖象關(guān)于中心對(duì)稱, 所以2+θ+=kπ(k∈Z), 所以θ=kπ-(k∈Z),又0<θ<π,所以θ=, 所以f(x)=-2sin 2x,因?yàn)閤∈, 所以2x∈,f(x)∈[-,2], 所以f(x)的最小值是-. 2.(2018濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期為π,且f=f(x),則( ) A.f(x)在上單調(diào)遞減 B.f(x)在上單調(diào)遞增 C.f(x)在上單調(diào)遞增 D.f(x)在上單調(diào)遞減 解析:選D 因?yàn)閒(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin的最小正周期為π,所以=π,所以ω=2.因?yàn)閒=f(x),所以直線x=是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,所以2+φ+=+kπ,k∈Z,所以φ=-+kπ,k∈Z,因?yàn)閨φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.當(dāng)x∈時(shí),2x+∈,f(x)先增后減,當(dāng)x∈時(shí),2x+∈,f(x)單調(diào)遞減.故選D. 3.(2018北京高考)已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為,求m的最小值. 解:(1)f(x)=sin2x+sin xcos x =-cos 2x+sin 2x =sin+, 所以f(x)的最小正周期為T(mén)==π. (2)由(1)知f(x)=sin+. 由題意知-≤x≤m, 所以-≤2x-≤2m-. 要使f(x)在區(qū)間上的最大值為, 即sin在區(qū)間上的最大值為1. 所以2m-≥,即m≥. 所以m的最小值為. 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 [典例] 已知函數(shù)f(x)=2sin ωxcos ωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn),求b的最小值. [解] (1)f(x)=2sin ωxcos ωx+(2sin2ωx-1) =sin 2ωx-cos 2ωx=2sin. 由最小正周期為π,得ω=1, 所以f(x)=2sin, 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,k∈Z. (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到y(tǒng)=2sin 2x+1的圖象, 所以g(x)=2sin 2x+1. 令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z), 所以在[0,π]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn),若y=g(x)在[0,b]上有10個(gè)零點(diǎn),則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可. 所以b的最小值為4π+=. [解題方略] 解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問(wèn)題的思路 (1)先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)+B(一角一函數(shù))的形式; (2)把“ωx+φ”視為一個(gè)整體,借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y=Asin(ωx+φ)+B的單調(diào)性、奇偶性、最值、對(duì)稱性等問(wèn)題. [多練強(qiáng)化] (2017山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0. (1)求ω; (2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在上的最小值. 解:(1)因?yàn)閒(x)=sin+sin, 所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx =sin ωx-cos ωx = =sin. 因?yàn)閒=0, 所以-=kπ,k∈Z. 故ω=6k+2,k∈Z. 又0<ω<3,所以ω=2. (2)由(1)得f(x)=sin, 所以g(x)=sin=sin. 因?yàn)閤∈,所以x-∈, 當(dāng)x-=-,即x=-時(shí),g(x)取得最小值-. 直觀想象——數(shù)形結(jié)合法在三角函數(shù)圖象問(wèn)題中的應(yīng)用 [典例] 函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的圖象如圖所示,為了得到g(x)=cos的圖象,則只需將f(x)的圖象( ) A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 [解析] 根據(jù)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象知,=-=,∴T=π,即=π,解得ω=2.根據(jù)“五點(diǎn)作圖法”并結(jié)合|φ|<,可知2+φ=π,解得φ=,∴f(x)=sin.∴g(x)=cos=sin+=sin.故為了得到g(x)的圖象,只需將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可. [答案] A [素養(yǎng)通路] 本題利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題,通過(guò)對(duì)圖形的理解,由圖象建立形與數(shù)的聯(lián)系,確定函數(shù)的周期,根據(jù)“五點(diǎn)作圖法”代入數(shù)據(jù)求參數(shù).考查了直觀想象這一核心素養(yǎng). A組——“6+3+3”考點(diǎn)落實(shí)練 一、選擇題 1.(2018全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)=的最小正周期為( ) A. B. C.π D.2π 解析:選C 由已知得f(x)====sin xcos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期為T(mén)==π. 2.(2018貴陽(yáng)第一學(xué)期檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分圖象如圖所示,則φ的值為( ) A.- B. C.- D. 解析:選B 由題意,得=+=,所以T=π,由T=,得ω=2,由圖可知A=1,所以f(x)=sin(2x+φ).又f=sin=0,-<φ<,所以φ=. 3.(2019屆高三西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=時(shí)取得最小值,則f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A. B. C. D. 解析:選A 因?yàn)?<θ<π,所以<+θ<, 又f(x)=cos(x+θ)在x=時(shí)取得最小值, 所以+θ=π,θ=,所以f(x)=cos. 由0≤x≤π,得≤x+≤. 由π≤x+≤,得≤x≤π, 所以f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是,故選A. 4.函數(shù)f(x)=sin的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱,則g(x)具有的性質(zhì)是( ) A.最大值為1,圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 B.在上單調(diào)遞減,為奇函數(shù) C.在上單調(diào)遞增,為偶函數(shù) D.周期為π,圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 解析:選B 由題意得,g(x)=sin=sin(-2x)=-sin 2x,最大值為1,而g=0,圖象不關(guān)于直線x=對(duì)稱,故A錯(cuò)誤;當(dāng)x∈時(shí),2x∈,滿足單調(diào)遞減,顯然g(x)也是奇函數(shù),故B正確,C錯(cuò)誤;周期T==π,g=-,故圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故D錯(cuò)誤. 5.(2019屆高三安徽知名示范高中聯(lián)考)先將函數(shù)y=2sin+1的圖象向左平移個(gè)最小正周期的單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是( ) A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.不能確定 解析:選B 因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin+1,所以其最小正周期T=π,所以將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2sin+1=2sin+1=2sin+1=2cos 2x+1,再將圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2cos 2x,該函數(shù)為偶函數(shù),故選B. 6.(2018廣州高中綜合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=sinωx+(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍為( ) A. B. C. D. 解析:選B 法一:因?yàn)閤∈,所以ωx+∈, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增, 所以 即 又ω>0,所以0<ω≤,選B. 法二:取ω=1,f=sin=-sin <0,f=sin=sin =1,f=sin=sin =,不滿足題意,排除A、C、D,選B. 二、填空題 7.(2018惠州調(diào)研)已知tan α=,且α∈,則cos=____________. 解析:法一:cos=sin α,由α∈知α為第三象限角, 聯(lián)立得5sin2α=1,故sin α=-. 法二:cos=sin α,由α∈知α為第三象限角,由tan α=,可知點(diǎn)(-2,-1)為α終邊上一點(diǎn),由任意角的三角函數(shù)公式可得sin α=-. 答案:- 8.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為P,在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為Q,則f的值為_(kāi)_____. 解析:由題意得=-=,所以T=π,所以ω=2, 將點(diǎn)P代入f(x)=sin(2x+φ), 得sin=1,所以φ=+2kπ(k∈Z). 又|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin(x∈R),所以f=sin=-. 答案:- 9.已知函數(shù)f(x)=cos,其中x∈,m,若f(x)的值域是,則m的最大值是________. 解析:由x∈,可知≤3x+≤3m+, ∵f=cos =-,且f=cos π=-1, ∴要使f(x)的值域是, 需要π≤3m+≤,即≤m≤, 即m的最大值是. 答案: 三、解答題 10.(2018石家莊模擬)函數(shù)f(x)=Asinωx-+1(A>0,ω>0)的最小值為-1,其圖象相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為π. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)設(shè)α∈,f=2,求α的值. 解:(1)∵函數(shù)f(x)的最小值為-1, ∴-A+1=-1,即A=2. ∵函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為π, ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=π, ∴ω=2,故函數(shù)f(x)的解析式為 f(x)=2sin+1. (2)∵f=2sin+1=2, ∴sin=. ∵0<α<,∴-<α-<, ∴α-=,得α=. 11.已知m=,n=(cos x,1). (1)若m∥n,求tan x的值; (2)若函數(shù)f(x)=mn,x∈[0,π],求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解:(1)由m∥n得,sin-cos x=0,展開(kāi)變形可得,sin x=cos x,即tan x=. (2)f(x)=mn=sincos x+1 =sin xcos x-cos2x+1 =sin 2x-+1 =+ =sin+, 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 又x∈[0,π],所以當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和. 12.已知函數(shù)f(x)=cos x(2sin x+cos x)-sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若當(dāng)x∈時(shí),不等式f(x)≥m有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解:(1)f(x)=2sin xcos x+cos2x-sin2x =sin 2x+cos 2x =2 =2sin, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=π. (2)由題意可知,不等式f(x)≥m有解, 即m≤f(x)max, 因?yàn)閤∈,所以2x+∈, 故當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取得最大值, 且最大值為f=2.從而可得m≤2. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,2]. B組——大題專攻補(bǔ)短練 1.已知向量m=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-2sin ωx)(ω>0),函數(shù)f(x)=mn+,直線x=x1,x=x2是函數(shù)y=f(x)的圖象的任意兩條對(duì)稱軸,且|x1-x2|的最小值為. (1)求ω的值; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解:(1)因?yàn)橄蛄縨=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-2sin ωx)(ω>0),所以函數(shù)f(x)=mn+=2sin ωxcos ωx+sin ωx(-2sin ωx)+=sin 2ωx-2sin2ωx+= sin 2ωx+cos 2ωx=2sin. 因?yàn)橹本€x=x1,x=x2是函數(shù)y=f(x)的圖象的任意兩條對(duì)稱軸,且|x1-x2|的最小值為,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2=π,即=π,得ω=1. (2)由(1)知,f(x)=2sin, 令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). 2.已知函數(shù)f(x)=sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(0<ω<1),若點(diǎn)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心. (1)求f(x)的解析式,并求距y軸最近的一條對(duì)稱軸的方程; (2)先列表,再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π,π]上的圖象. 解:(1)f(x)=sin 2ωx+(cos2ωx-sin2ωx)(cos2ωx+sin2ωx)+1 =sin 2ωx+cos 2ωx+1 =2sin+1. ∵點(diǎn)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心, ∴-+=kπ,k∈Z,∴ω=-3k+,k∈Z. ∵0<ω<1,∴k=0,ω=,∴f(x)=2sin+1. 由x+=kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z, 令k=0,得距y軸最近的一條對(duì)稱軸方程為x=. (2)由(1)知,f(x)=2sin+1,當(dāng)x∈[-π,π]時(shí),列表如下: x+ - - 0 π x -π - - π f(x) 0 -1 1 3 1 0 則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π,π]上的圖象如圖所示. 3.(2018山東師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示. (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式; (2)說(shuō)明函數(shù)y=f(x)的圖象可由函數(shù)y=sin 2x-cos 2x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換得到; (3)若方程f(x)=m在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍. 解:(1)由題圖可知,A=2,T=4=π, ∴=π,ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ),∵f=0, ∴sin=0,∴φ+=kπ,k∈Z, 即φ=-+kπ,k∈Z. ∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin. (2)y=sin 2x-cos 2x=2sin=2sin, 故將函數(shù)y=sin 2x-cos 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)y=f(x)的圖象. (3)當(dāng)-≤x≤0時(shí),-≤2x+≤,故-2≤f(x)≤,若方程f(x)=m在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則曲線y=f(x)與直線y=m在上有2個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖形,易知-2<m≤-. 故m的取值范圍為(-2,- 4.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為,且在x=時(shí)取得最大值1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)當(dāng)x∈時(shí),若方程f(x)=a恰好有三個(gè)根,分別為x1,x2,x3,求x1+x2+x3的取值范圍. 解:(1)由題意,T=2=π,故ω==2, 所以sin=sin=1, 所以+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z. 因?yàn)?≤φ≤,所以φ=,所以f(x)=sin. (2)畫(huà)出該函數(shù)的圖象如圖,當(dāng)≤a<1時(shí),方程f(x)=a恰好有三個(gè)根,且點(diǎn)(x1,a)和(x2,a)關(guān)于直線x=對(duì)稱,點(diǎn)(x2,a)和(x3,a)關(guān)于直線x=對(duì)稱, 所以x1+x2=,π≤x3<, 所以≤x1+x2+x3<, 故x1+x2+x3的取值范圍為.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 通用版2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級(jí) 重點(diǎn)增分 專題四 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義 理普通生,含解析 通用版 2019 高考 數(shù)學(xué) 二輪 復(fù)習(xí) 第一 部分 第二 層級(jí) 重點(diǎn) 專題
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