2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題20 數(shù)列求和 理.doc

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專題20 數(shù)列求和 一、 考綱要求： 1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. 2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： (1.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若an ＝bncn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和． (2)通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． 2.錯(cuò)位相減法求和的適用范圍 如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和. 3.錯(cuò)位相減法求和的注意事項(xiàng) ①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式. ②在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018天津卷） 設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），{bn}是等差數(shù)列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn（n∈N*）， （i）求Tn； （ii）證明=﹣2（n∈N*）． 【答案】（Ⅰ），bn=n； （Ⅱ）（i）Tn=2n+1-n-2 【解析】：（Ⅰ）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q﹣2=0． ∵q＞0，可得q=2． 故． 設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4， 由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16， ∴b1=d=1． 故bn=n； 　例2.（2018江蘇卷）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn＞12an+1成立的n的最小值為　　． 【答案】27 【解析】：利用列舉法可得： S26=，a27=43，?12a27=516，不符合題意． S27==546，28=45?1228=540，符合題意， 故答案為：27． 例3.【2017課標(biāo)1，理12】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興 趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1， 1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來 的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么 該款軟件的激活碼是 A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A 例4.【2015高考新課標(biāo)2，理16】設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則________． 【答案】 【解析】：由已知得，兩邊同時(shí)除以，得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以． 例5.【2015高考山東，理18】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知. （I）求的通項(xiàng)公式； （II）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和. 【答案】（I）; （II）. （II）因?yàn)?，所以 當(dāng) 時(shí)， 所以 當(dāng) 時(shí)， 所以 兩式相減，得 經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)也適合， 綜上可得： 例6.(2017全國卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【答案】(1) an＝. (2) Sn＝ 例7.(2017山東高考)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 【答案】(1) an＝2n. (2) Tn＝5－. 【解析】：　(1)設(shè){an}的公比為q， 由題意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2， 又an>0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1＝2，q＝2， 所以an＝2n. (2)由題意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1， 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1. 令cn＝，則cn＝. 因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－， 所以Tn＝5－. 　例8.(2016北京高考)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和． 【答案】(1) an＝2n－1(n＝1,2,3，…)． (2) n2＋. (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. 數(shù)列求和練習(xí) 一、選擇題 1．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S5＝25，則S7＝ (　　) A．41　　　　　　　　　　　 B．48 C．49 D．56 【答案】C 2．?dāng)?shù)列{1＋2n－1}的前n項(xiàng)和為 (　　) A．1＋2n B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n 【答案】C 【解析】：由題意得an＝1＋2n－1， 所以Sn＝n＋＝n＋2n－1． 3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為 (　　) A．－200 B．－100 C．200 D．100 【答案】D 【解析】：根據(jù)題意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝250＝100，故選D． 4．?dāng)?shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項(xiàng)和Sn的值等于 (　　) A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ 【答案】A　 【解析】：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(2n－1)＋， 則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋ ＝n2＋1－. 5．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝，則S5等于 (　　) A．1　　 B． C． D． 【答案】B 【解析】：∵an＝＝－， ∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝. 6．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，前n項(xiàng)和為9，則n等于 (　　) A．9 B．99 C．10 D．100 【答案】B　 7．已知數(shù)列{an}中，an＝－4n＋5，等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，則|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝ (　　) A．1－4n B．4n－1 C． D． 【答案】B 【解析】：由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4， ∴bn＝(－3)(－4)n－1， ∴|bn|＝34n－1， 即{|bn|}是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列． ∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1． 8．在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若S10＝50，則數(shù)列{an＋an＋1}的前10項(xiàng)和為 (　　) A．100 B．110 C．120 D．130 【答案】C 【解析】：{an＋an＋1}的前10項(xiàng)和為a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋102＝120.故選C． 9．[數(shù)學(xué)文化]中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了 (　　) A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 【答案】B　 【解析】：由題意，知每天所走路程形成以a1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則＝378，解得a1＝192，則a2＝96，即第二天走了96里．故選B. 10．已知數(shù)列5,6,1，－5，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16等于 (　　) A．5 B．6 C．7 D．16 【答案】C　 11．已知函數(shù)f(x)＝xa的圖象過點(diǎn)(4,2)，令an＝，n∈N*，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 019＝ (　　) A．－1 B．－1 C．－1 D．＋1 【答案】C　 【解析】：由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，則f(x)＝x. ∴an＝＝＝－， S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 12．已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對(duì)稱，且f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則{an}的前100項(xiàng)的和為 (　　) A．－200 B．－100 C．0 D．－50 【答案】B 【解析】：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對(duì)稱，又函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100，故選B. 二、填空題 13．設(shè)數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝sin，n∈N*，則S2 018＝__________. 【答案】1 【解析】：　an＝sin，n∈N*，顯然每連續(xù)四項(xiàng)的和為0. S2 018＝S4504＋a2 017＋a2 018＝0＋1＋0＝1. 14．計(jì)算：32－1＋42－2＋52－3＋…＋(n＋2)2－n＝__________. 【答案】4－　 15．(2017全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________. 【答案】　 【解析】：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 由得 ∴Sn＝n1＋1＝， ＝＝2. ∴ ＝＋＋＋…＋ ＝2 ＝2＝. 16．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－2n，則Sn＝__________. 【答案】n2n(n∈N*)　 三、解答題 17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝n2＋2n，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【答案】(1) an＝2n＋1 (2) 【解析】：　(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1， a1＝S1＝3也滿足an＝2n＋1， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1. (2)由(1)知＝， 則Tn＝ ＝＝－＝. 18.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝(－1)n－1an，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n. 【答案】(1) an＝1＋(n－1)2＝2n－1 (2) T2n＝－2n. 19.已知等差數(shù)列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10項(xiàng)和S10＝100. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 【答案】(1) an＝2n－1 (2) 【解析】：(1)由已知得 解得 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)bn＝ ＝， 所以Tn＝ ＝＝. 20．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋an＋1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若cn＝2an(bn－1)(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 【答案】(1) bn＝2n＋1 (2) Tn＝(n－1)2n＋2＋4. 21.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*). (1)求m的值； (2)若數(shù)列{bn}滿足＝log2bn(n∈N*)，求數(shù)列{(an＋6)bn}的前n項(xiàng)和． 【答案】(1) m＝5 (2) Tn＝(n－1)2n－1＋(n∈N*)． 【解析】：　(1)由已知得am＝Sm－Sm－1＝4， 且am＋1＋am＋2＝Sm＋2－Sm＝14， 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 則2am＋3d＝14， ∴d＝2. 由Sm＝0，得ma1＋2＝0， 即a1＝1－m， ∴am＝a1＋(m－1)2＝m－1＝4， ∴m＝5. (2)由(1)知a1＝－4，d＝2， ∴an＝2n－6， ∴n－3＝log2bn，得bn＝2n－3. ∴(an＋6)bn＝2n2n－3＝n2n－2. 設(shè)數(shù)列{(an＋6)bn}的前n項(xiàng)和為Tn， ∴Tn＝12－1＋220＋…＋(n－1)2n－3＋n2n－2，?、? 2Tn＝120＋221＋…＋(n－1)2n－2＋n2n－1，?、? ①－②，得－Tn＝2－1＋20＋…＋2n－2－n2n－1 ＝－n2n－1 ＝2n－1－－n2n－1， ∴Tn＝(n－1)2n－1＋(n∈N*)． 22．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 【答案】(1) an＝3n. (2) Tn＝(n－1)3n＋1＋3. (2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)3n， ∴Tn＝13＋332＋533＋…＋(2n－1)3n，① 3Tn＝132＋333＋534＋…＋(2n－1)3n＋1，② ①－②得－2Tn＝13＋232＋233＋…＋23n－(2n－1)3n＋1＝3＋2(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)3n＋1 ＝3＋2－(2n－1)3n＋1 ＝－6－(2n－2)3n＋1. ∴Tn＝(n－1)3n＋1＋3.