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基礎送分專題三 不等式
不等式的性質及解法
[題組練透]
1．(2019屆高三南寧二中、柳州高中聯(lián)考)設a>b，a，b，c∈R，則下列式子正確的是( )
A．a(chǎn)c2>bc2 B.>1
C．a(chǎn)－c>b－c D．a(chǎn)2>b2
解析：選C 若c＝0，則ac2＝bc2，故A錯；若b<0，則<1，故B錯；不論c取何值，都有a－c>b－c，故C正確；若a，b都小于0，則a2
0，q：<0，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A p：由x2－x－20>0，解得x>5或x<－4.q：由<0?(1－x2)(|x|－2)<0，當x≥0時，可化為(x＋1)(x－1)(x－2)>0，解得0≤x<1或x>2.
當x<0時，可化為(x－1)(x＋1)(x＋2)<0，解得－12，所以由p?q，但qp，故選A.
4．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.∪{2}
解析：選B 當a2－4＝0時，解得a＝2或a＝－2，當a＝2時，不等式可化為4x－1≥0，解集不是空集，不符合題意；當a＝－2時，不等式可化為－1≥0，此式不成立，解集為空集．當a2－4≠0時，要使不等式的解集為空集，則有解得－20在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是________．
解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有兩個不等實數(shù)根，又知兩根之積為負，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一負根．于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范圍為.
答案：
[題后悟通]
快審題
1.看到有關不等式的命題或結論的判定，想到不等式的性質．
2.看到解不等式，想到求解不等式的方法步驟．
準 解 題
1.明確解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集．
(2)含指數(shù)、對數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉化為整式不等式求解．
2.掌握不等式恒成立問題的解題方法
(1)f(x)>a對一切x∈I恒成立?f(x)min>a；
f(x)g(x)對一切x∈I恒成立?f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方．
(3)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法，一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．利用分離參數(shù)法時，常用到函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等．
避誤區(qū)
解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時，易忽視系數(shù)a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論.
簡單的線性規(guī)劃問題
[題組練透]
1．(2019屆高三重慶調(diào)研)若實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值為( )
A．3 B．4
C．5 D．7
解析：選B 作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線2x＋y＝0并平移該直線，易知當直線經(jīng)過點A(1,2)時，目標函數(shù)z＝2x＋y取得最小值，且zmin＝21＋2＝4，故選B.
2．(2018廣州測試)若x，y滿足約束條件則z＝x2＋2x＋y2的最小值為( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選D 畫出約束條件對應的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1的幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點到定點(－1,0)的距離的平方再減去1，觀察圖形可得，平面區(qū)域內(nèi)的點到定點(－1,0)的距離的最小值為，故zmin＝－1＝－.
3．(2019屆高三湖北八校聯(lián)考)已知x，y滿足約束條件若z＝x＋2y的最大值為4，則實數(shù)m的值為( )
A．－4 B．－2
C．－1 D．1
解析：選B 作出約束條件所對應的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知直線z＝x＋2y過A點時z取得最大值4，由得A(0,2)，所以m＝20－2＝－2.
4．(2018合肥質檢)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件．甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A，B兩種設備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設備2小時，B設備6小時，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設備3小時，B設備1小時．A，B兩種設備每月可使用時間數(shù)分別為480小時、960小時，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為( )
A．320千元 B．360千元
C．400千元 D．440千元
解析：選B 設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，利潤為z千元，則每月利潤z＝2x＋y，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線2x＋y＝0，平移該直線，當直線經(jīng)過直線2x＋3y＝480與直線6x＋y＝960的交點(150,60)時，z取得最大值，為360.
5．(2018全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________．
解析：作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示．
由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.
作直線l0：y＝－x.
平移直線l0，當直線y＝－x＋過點(2,0)時，
z取最大值，zmax＝32＋20＝6.
答案：6
[題后悟通]
快 審 題
1.看到最優(yōu)解求參數(shù)，想到由最值列方程(組)求解．
2.看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其幾何意義．
3.看到最優(yōu)解型的實際應用題，想到線性規(guī)劃問題，想到確定實際意義．
準 解 題
記牢三種常見的目標函數(shù)及其求法
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉化為y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．
(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，設動點P(x，y)，定點M(a，b)，則z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，設動點P(x，y)，定點M(a，b)，則z＝kPM.
避 誤 區(qū)
1.忽視目標函數(shù)中y的系數(shù)的正負，而由直線截距的最值確定目標函數(shù)的最值．
2.求解含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，首先要注意對參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值.
基本不等式及其應用
[題組練透]
1．已知正數(shù)a，b的等比中項是2，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：選C 由正數(shù)a，b的等比中項是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，
所以m＋n＝a＋b＋＋≥2＋＝5，當且僅當a＝b＝2時取“＝”，
故m＋n的最小值為5.
2．已知P(a，b)為圓x2＋y2＝4上任意一點，則當＋取最小值時，a2的值為( )
A. B．2
C. D．3
解析：選C ∵P(a，b)為圓x2＋y2＝4上任意一點，∴a2＋b2＝4.又a≠0，b≠0，
∴＋＝(a2＋b2)＝≥＝，
當且僅當b2＝2a2＝時取等號，故a2＝，選C.
3．設x>0，則函數(shù)y＝x＋－的最小值為________．
解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0.當且僅當x＋＝，即x＝時等號成立．
答案：0
4．(2018石家莊質檢)已知直線l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)經(jīng)過點(2,3)，則a＋b的最小值為________．
解析：因為直線l經(jīng)過點(2,3)，
所以2a＋3b－ab＝0，
即＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2，當且僅當＝，即a＝3＋，b＝2＋時等號成立．
答案：5＋2
5．(2018洛陽統(tǒng)考)我市某高中從高三年級甲、乙兩個班中各選出7名學生參加2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽(河南初賽)，他們?nèi)〉玫某煽?滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的中位數(shù)是81，乙班學生成績的平均數(shù)是86，若正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則＋的最小值為________．
解析：由甲班學生成績的中位數(shù)是81，可知81為甲班7名學生的成績按從小到大的順序排列的第4個數(shù)，故x＝1.由乙班學生成績的平均數(shù)為86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比數(shù)列，可得G2＝xy＝4，由正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝(a＋b)＝ ≥(5＋4)＝(當且僅當b＝2a時取等號)．故＋的最小值為.
答案：
[題后悟通]
快審題
看到最值問題，想到“積定和最小”，“和定積最大”．
準 解 題
掌握基本不等式求最值的3種解題技巧
(1)湊項：通過調(diào)整項的符號，配湊項的系數(shù)，使其積或和為定值．
(2)湊系數(shù)：若無法直接運用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值．
(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開，即化為y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值．
避誤區(qū)
運用基本不等式時，一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指“正數(shù)”；“二定”指應用基本不等式求最值時，和或積為定值；“三相等”是指滿足等號成立的條件．若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號成立的條件一致，否則最值取不到.
一、選擇題
1．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集為A∩B，則a＋b＝( )
A．1 B．0
C．－1 D．－3
解析：選D 由題意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1，3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集為(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
2．若x>y>0，m>n，則下列不等式正確的是( )
A．xm>ym B．x－m≥y－n
C.> D．x>
解析：選D A不正確，因為同向同正不等式相乘，不等號方向不變，m可能為0或負數(shù)；B不正確，因為同向不等式相減，不等號方向不確定；C不正確，因為m，n的正負不確定．故選D.
3．已知a∈R，不等式≥1的解集為p，且－2?p，則a的取值范圍為( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析：選D ∵－2?p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
4．(2018成都一診)若關于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[－1,1] D．[0，＋∞)
解析：選B 法一：當x＝0時，不等式為1≥0恒成立；
當x＞0時，x2＋2ax＋1≥0?2ax≥－(x2＋1)?2a≥－，又－≤－2，當且僅當x＝1時取等號，所以2a≥－2?a≥－1，所以實數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)．
法二：設f(x)＝x2＋2ax＋1，函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝－a.
當－a≤0，即a≥0時，f(0)＝1＞0，所以當x∈[0，＋∞)時，f(x)≥0恒成立；
當－a＞0，即a＜0時，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝ －a2＋1≥0，得－1≤a＜0.綜上，實數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)．
5．已知函數(shù)f(x)＝若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(－∞，0) B．[－2,2]
C．(－∞，2] D．[0,2]
解析：選C 由f(x)≥－1在R上恒成立，可得當x≤0時，2x－1≥－1，即2x≥0，顯然成立；又x＞0時，x2－ax≥－1，即為a≤＝x＋，由x＋≥2 ＝2，當且僅當x＝1時，取得最小值2，可得a≤2，綜上可得實數(shù)a的取值范圍為(－∞，2]．
6．若<<0，給出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正確的不等式的序號是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
解析：選C 法一：因為<<0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②錯誤；因為ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④錯誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C.
法二：由<<0，可知b0，所以<，故①正確；
②中，因為b－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②錯誤；
③中，因為b－>0，所以a－>b－，故③正確；
④中，因為ba2>0，而y＝ln x在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以ln b2>ln a2，故④錯誤．
由以上分析，知①③正確．
7．(2018長春質檢)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最小值為( )
A．8 B．9
C．12 D．16
解析：選B 由4x＋y＝xy，得＋＝1，則x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，當且僅當＝，即x＝3，y＝6時取“＝”，故選B.
8．如果實數(shù)x，y滿足不等式組目標函數(shù)z＝kx－y的最大值為6，最小值為0，則實數(shù)k的值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選B 作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．
則A(1,2)，B(1，－1)，C(3,0)，
因為目標函數(shù)z＝kx－y的最小值為0，
所以目標函數(shù)z＝kx－y的最小值可能在A或B處取得，
所以若在A處取得，則k－2＝0，得k＝2，此時，z＝2x－y在C點有最大值，z＝23－0＝6，成立；
若在B處取得，則k＋1＝0，得k＝－1，此時，z＝－x－y，
在B點取得最大值，故不成立，故選B.
9．(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤為( )
甲
乙
原料限額
A/噸
3
2
12
B/噸
1
2
8
A．15萬元 B．16萬元
C．17萬元 D．18萬元
解析：選D 設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，獲利潤z萬元，由題意可知
z＝3x＋4y，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，
直線z＝3x＋4y過點M時取得最大值，
由得∴M(2,3)，
故z＝3x＋4y的最大值為18，故選D.
10．已知實數(shù)x，y滿足約束條件若y≥kx－3恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A. B.
C．(－∞，0]∪ D.∪[0，＋∞)
解析：選A 由約束條件
作出可行域如圖中陰影分部所示，
則A，B(3，－3)，C(3,8)，
由題意得
解得－≤k≤0.
所以實數(shù)k的取值范圍是.
11．若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋－n2－＜0有解，則實數(shù)n的取值范圍是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D.
解析：選B 因為不等式x＋－n2－＜0有解，
所以min＜n2＋，
因為x＞0，y＞0，且＋＝1，
所以x＋＝＝＋＋≥＋2 ＝，
當且僅當＝，即x＝，y＝5時取等號，
所以min＝，
故n2＋－＞0，解得n＜－或n＞1，
所以實數(shù)n的取值范圍是∪(1，＋∞)．
12．(2019屆高三福州四校聯(lián)考)設x，y滿足約束條件其中a＞0，若的最大值為2，則a的值為( )
A. B.
C. D.
解析：選C 設z＝，則y＝x，當z＝2時，y＝－x，作出x，y滿足的約束條件所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，易知此直線與區(qū)域的邊界線2x－2y－1＝0的交點為，當直線x＝a過點時，a＝，又此時直線y＝x的斜率的最小值為－，即－1＋的最小值為－，即z的最大值為2，符合題意，所以a的值為，故選C.
二、填空題
13．(2018岳陽模擬)不等式≥1的解集為________．
解析：不等式≥1可轉化成－1≥0，即≥0，
等價于解得≤x＜2，
故不等式的解集為.
答案：
14．(2018全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________．
解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示．由圖可知當直線x＋y＝z過點A時z取得最大值．
由得點A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
15．已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為xx＜－1或x＞，則關于x的不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0的解集為________．
解析：由題意知－1，是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，
所以且a＜0，
所以
所以不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0化為
－a(lg x)2＋blg x＋a＜0，
即－a(lg x)2＋alg x＋a＜0.
所以(lg x)2－lg x－2＜0，
所以－1＜lg x＜2，所以＜x＜100.
答案：
16．設x＞0，y＞0，且2＝，則當x＋取最小值時，x2＋＝________.
解析：∵x＞0，y＞0，∴當x＋取最小值時，2取得最小值，∵2＝x2＋＋，2＝，∴x2＋＝＋，2＝＋≥2 ＝16，∴x＋≥4，當且僅當＝，即x＝2y時取等號，∴當x＋取最小值時，x＝2y，x2＋＋＝16，即x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12.
答案：12
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