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專題跟蹤檢測(十四) 圓錐曲線的綜合問題
1.(2018武漢調(diào)研)已知拋物線C:x2=2py(p>0)和定點M(0,1),設(shè)過點M的動直線交拋物線C于A,B兩點,拋物線C在A,B處的切線的交點為N.
(1)若N在以AB為直徑的圓上,求p的值;
(2)若△ABN的面積的最小值為4,求拋物線C的方程.
解:設(shè)直線AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x2-2pkx-2p=0,
則x1+x2=2pk,x1x2=-2p.①
(1)由x2=2py得y′=,則A,B處的切線斜率的乘積為=-,
∵點N在以AB為直徑的圓上,
∴AN⊥BN,
∴-=-1,∴p=2.
(2)易得直線AN:y-y1=(x-x1),
直線BN:y-y2=(x-x2),
聯(lián)立結(jié)合①式,
解得即N(pk,-1).
所以|AB|=|x2-x1|
=
=,
點N到直線AB的距離d=,
則S△ABN=|AB|d=≥2,
當k=0時,取等號,
∵△ABN的面積的最小值為4,
∴2=4,∴p=2,
故拋物線C的方程為x2=4y.
2.(2019屆高三河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:+y2=1,點P(x1,y1),Q(x2,y2)是橢圓C上兩個動點,直線OP,OQ的斜率分別為k1,k2,若m=,n=,mn=0.
(1)求證:k1k2=-;
(2)試探求△POQ的面積S是否為定值,并說明理由.
解:(1)證明:∵k1,k2存在,∴x1x2≠0,
∵mn=0,∴+y1y2=0,
∴k1k2==-.
(2)①當直線PQ的斜率不存在,
即x1=x2,y1=-y2時,
由=-,得-y=0,
又由P(x1,y1)在橢圓上,
得+y=1,
∴|x1|=,|y1|=,
∴S△POQ=|x1||y1-y2|=1.
②當直線PQ的斜率存在時,設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b(b≠0).
由得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,
Δ=64k2b2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(4k2+1-b2)>0,
∴x1+x2=,x1x2=.
∵+y1y2=0,
∴+(kx1+b)(kx2+b)=0,
得2b2-4k2=1,滿足Δ>0.
∴S△POQ=|PQ|
=|b|
=2|b|=1.
∴△POQ的面積S為定值.
3.(2018長春質(zhì)檢)如圖,在矩形ABCD中,|AB|=4,|AD|=2,O為AB的中點,P,Q分別是AD和CD上的點,且滿足①=,②直線AQ與BP的交點在橢圓E:+=1(a>b>0)上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)R為橢圓E的右頂點,M為橢圓E第一象限部分上一點,作MN垂直于y軸,垂足為N,求梯形ORMN面積的最大值.
解:(1)設(shè)AQ與BP的交點為G(x,y),P(-2,y1),Q(x1,2),
由題可知,=.
∵kAG=kAQ,kBG=kBP,
∴=,=-,
從而有=-=-,整理得+y2=1,
即橢圓E的方程為+y2=1.
(2)由(1)知R(2,0),設(shè)M(x0,y0),則y0=,
從而梯形ORMN的面積S=(2+x0)y0=,
令t=2+x0,則2
0,u=4t3-t4單調(diào)遞增,
當t∈(3,4)時,u′<0,u=4t3-t4單調(diào)遞減,
所以當t=3時,u取得最大值,則S也取得最大值,最大值為.
4.已知拋物線E:y2=2px(p>0),直線x=my+3與E交于A,B兩點,且=6,其中O為坐標原點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)已知點C的坐標為(-3,0),記直線CA,CB的斜率分別為k1,k2,證明:+-2m2為定值.
解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立消去x,整理得y2-2pmy-6p=0,
則y1+y2=2pm,y1y2=-6p,x1x2==9,
由=x1x2+y1y2=9-6p=6,
解得p=,所以y2=x.
(2)證明:由題意得k1==,
k2==,
所以=m+,=m+,
所以+-2m2=2+2-2m2
=2m2+12m+36-2m2
=12m+36.
由(1)可知:y1+y2=2pm=m,y1y2=-6p=-3,
所以+-2m2=12m+36=24,
所以+-2m2為定值.
5.(2018惠州調(diào)研)已知C為圓(x+1)2+y2=8的圓心,P是圓上的動點,點Q在圓的半徑CP上,且有點A(1,0)和AP上的點M,滿足=0,=2.
(1)當點P在圓上運動時,求點Q的軌跡方程;
(2)若斜率為k的直線l與圓x2+y2=1相切,與(1)中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F,H,O是坐標原點,且≤≤,求k的取值范圍.
解:(1)由題意知MQ是線段AP的垂直平分線,
所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2,
所以點Q的軌跡是以點C,A為焦點,焦距為2,長軸長為2的橢圓,
所以a=,c=1,b==1,
故點Q的軌跡方程是+y2=1.
(2)設(shè)直線l:y=kx+t,F(xiàn)(x1,y1),H(x2,y2),
直線l與圓x2+y2=1相切?=1?t2=k2+1.
聯(lián)立?(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
則Δ=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)=8(2k2-t2+1)=8k2>0?k≠0,
x1+x2=,x1x2=,
所以=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2
=+kt+t2
=-+k2+1
=,
所以≤≤?≤k2≤?≤|k|≤,
所以-≤k≤-或≤k≤.
故k的取值范圍是∪.
6.如圖所示,設(shè)橢圓M:+=1(a>b>0)的左頂點為A,中心為O,若橢圓M過點P,且AP⊥OP.
(1)求橢圓M的方程;
(2)若△APQ的頂點Q也在橢圓M上,試求△APQ面積的最大值;
(3)過點A作兩條斜率分別為k1,k2的直線交橢圓M于D,E兩點,且k1k2=1,求證:直線DE過定點.
解:(1)由AP⊥OP,可知kAPkOP=-1.
又點A的坐標為(-a,0),
所以=-1,解得a=1.
又因為橢圓M過點P,所以+=1,解得b2=,
所以橢圓M的方程為x2+=1.
(2)由題意易求直線AP的方程為=,
即x-y+1=0.
因為點Q在橢圓M上,故可設(shè)Q,
又|AP|=,
所以S△APQ=
= cos+1 .
當θ+=2kπ(k∈Z),即θ=2kπ-(k∈Z)時,
S△APQ取得最大值+.
(3)證明:法一:由題意易得,直線AD的方程為y=k1(x+1),代入x2+3y2=1,消去y,得(3k+1)x2+6kx+3k-1=0.
設(shè)D(xD,yD),則(-1)xD=,
即xD=,yD=k1=.
設(shè)E(xE,yE),同理可得xE=,yE=.
又k1k2=1且k1≠k2,可得k2=且k1≠1,
所以xE=,yE=,
所以kDE===,
故直線DE的方程為y-=.
令y=0,可得x=-=-2.
故直線DE過定點(-2,0).
法二:設(shè)D(xD,yD),E(xE,yE).
若直線DE垂直于y軸,則xE=-xD,yE=y(tǒng)D,此時k1k2====與題設(shè)矛盾,
若DE不垂直于y軸,可設(shè)直線DE的方程為x=ty+s,將其代入x2+3y2=1,消去x,得(t2+3)y2+2tsy+s2-1=0,
則yD+yE=,yDyE=.
又k1k2=
=
=1,
可得(t2-1)yDyE+t(s+1)(yD+yE)+(s+1)2=0,
所以(t2-1)+t(s+1)+(s+1)2=0,
可得s=-2或s=-1.
又DE不過點A,即s≠-1,所以s=-2.
所以DE的方程為x=ty-2.
故直線DE過定點(-2,0).
7.(2018南昌模擬)如圖,已知直線l:y=kx+1(k>0)關(guān)于直線y=x+1對稱的直線為l1,直線l,l1與橢圓E:+y2=1分別交于點A,M和A,N,記直線l1的斜率為k1.
(1)求kk1的值;
(2)當k變化時,試問直線MN是否恒過定點?若恒過定點,求出該定點坐標;若不恒過定點,請說明理由.
解:(1)設(shè)直線l上任意一點P(x,y)關(guān)于直線y=x+1對稱的點為P0(x0,y0),
直線l與直線l1的交點為(0,1),
∴l(xiāng):y=kx+1,l1:y=k1x+1,
k=,k1=,
由=+1,
得y+y0=x+x0+2, ①
由=-1,得y-y0=x0-x, ②
由①②得
∴kk1=
==1.
(2)由得(4k2+1)x2+8kx=0,
設(shè)M(xM,yM),N(xN,yN),
∴xM=,yM=.
同理可得xN==,yN==.
kMN====-,
直線MN:y-yM=kMN(x-xM),
即y-=-,
即y=-x-+=-x-.
∴當k變化時,直線MN過定點.
8.(2019屆高三湘東五校聯(lián)考)已知橢圓C的中心在原點,離心率等于,它的一個短軸端點恰好是拋物線x2=8y的焦點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,已知P(2,3),Q(2,-3)是橢圓上的兩點,A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點.
①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;
②當A,B運動時,滿足∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值?請說明理由.
解:(1)設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0),
∵拋物線的焦點為(0,2).
∴b=2.
由=,a2=c2+b2,得a=4,
∴橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
①設(shè)直線AB的方程為y=x+t,
代入+=1,
得x2+tx+t2-12=0,
由Δ>0,解得-4
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