2018-2019學年高中數學 第三講 柯西不等式與排序不等式 本講知識歸納與達標驗收講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc
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第三講 柯西不等式與排序不等式 考情分析 從近兩年高考來看，對本部分內容還未單獨考查，但也不能忽視，利用柯西不等式構造“平方和的積”與“積的和的平方”，利用排序不等式證明成“對稱”形式，或兩端是“齊次式”形式的不等式問題． 真題體驗 1．(2017江蘇高考)已知a，b，c，d為實數，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8. 證明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 因為a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8. 2．(2015陜西高考)已知關于x的不等式|x＋a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}． (1)求實數a，b的值； (2)求＋的最大值． 解：(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a， 則解得 (2)＋＝＋ ≤ ＝2＝4， 當且僅當＝，即t＝1時等號成立， 故(＋)max＝4. 利用柯西不等式證明有關不等式問題 柯西不等式的一般形式為(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1，2，…，n)，形式簡潔、美觀、對稱性強，靈活地運用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式證明問題迎刃而解． [例1] 已知a，b為正實數，a＋b＝1，x1，x2為正實數． (1)求＋＋的最小值； (2)求證：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2. [解] (1)∵a，b為正實數，a＋b＝1，x1，x2為正實數， ∴＋＋≥3＝3≥ 3＝6，當且僅當＝＝，a＝b， 即a＝b＝，且x1＝x2＝1時，＋＋有最小值6. (2)證明：∵a，b∈R＋，a＋b＝1，x1，x2為正實數， ∴(ax1＋bx2)(ax2＋bx1) ＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(＋)2＝x1x2(a＋b)2＝x1x2， 當且僅當x1＝x2時取等號. 利用排序不等式證明有關的不等式問題 排序不等式具有自己獨特的體現(xiàn)：多個變量的排列與其大小順序有關，特別是與多變量間的大小順序有關的不等式問題，利用排序不等式解決往往很簡捷． [例2] 在△ABC中，試證：≤＜. [證明] 不妨設a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 以上三式相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)． 得≥，① 又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有 0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． 得＜.② 由①②得原不等式成立. 利用柯西不等式或排序不等式求最值問題 有關不等式問題往往要涉及到對式子或量的范圍的限定．其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理．在這類題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易． [例3] 已知5a2＋3b2＝，求a2＋2ab＋b2的最大值． [解] ∵[(a)2＋(b)2] ≥2 ＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，當且僅當5a＝3b即a＝，b＝時取等號． ∴a2＋2ab＋b2≤(5a2＋3b2)＝＝1. ∴a2＋2ab＋b2的最大值為1. [例4] 已知a＋b＋c＝1. (1)求S＝2a2＋3b2＋c2的最小值及取得最小值時a，b，c的值； (2)若2a2＋3b2＋c2＝1，求c的取值范圍． [解] (1)根據柯西不等式， 得1＝a＋b＋c＝a＋b＋1c ≤(2a2＋3b2＋c2)＝ ， 即 ≥1，∴S≥，當且僅當a＝， b＝，c＝時等號成立， ∴當a＝，b＝，c＝時，Smin＝. (2)由條件可得 根據柯西不等式， 得(a＋b)2≤[(a)2＋(b)2]＝(2a2＋3b2)， ∴(1－c)2≤(1－c2)，解得≤c≤1. ∴c的取值范圍為. (時間：90分鐘，總分120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．設a，b∈R＋且a＋b＝16，則＋的最小值是( ) A. B. C. D. 解析：選A (a＋b)≥2＝4，∴＋≥. 當且僅當＝， 即a＝b＝8時取等號． 2．已知x＋3y＋5z＝6，則x2＋y2＋z2的最小值為( ) A. B. C. D．6 解析：選C 由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)(x2＋y2＋z2)≥(x＋3y＋5z)2＝62＝，當且僅當x＝＝時等號成立． 3．已知a，b，c為正數且a＋b＋c＝3，則＋＋的最小值為( ) A．4 B．4 C．6 D．6 解析：選C ∵a，b，c為正數． ∴ ＝ ≥a＋b. 同理 ≥b＋c， ≥c＋a， 相加得 (＋＋)≥2(b＋c＋a)＝6， 即＋＋≥6，當且僅當a＝b＝c＝時取等號． 4．設a，b，c均大于0，a2＋b2＋c2＝3，則ab＋bc＋ca的最大值為( ) A．0 B．1 C．3 D. 解析：選C 設a≥b≥c＞0，由排序不等式得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以ab＋bc＋ca≤3，故選C. 5．已知a，b，c為正數，則(a＋b＋c)的最小值為( ) A．1 B. C．3 D．4 解析：選D (a＋b＋c) ＝[()2＋()2] ≥2＝22＝4. 當且僅當a＋b＝c時取等號． 6．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，則3x＋4y的最大值為( ) A．21 B．11 C．18 D．28 解析：選A 根據柯西不等式得[(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3(x－1)＋4(y－2)]2＝(3x＋4y－11)2， ∴(3x＋4y－11)2≤100. 可得3x＋4y≤21，當且僅當＝＝時取等號． 7．設a，b，c為正數，a＋b＋4c＝1，則＋＋2的最大值是( ) A. B. C．2 D. 解析：選B ∵1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2 ＝[()2＋()2＋(2)2](12＋12＋12) ≥(＋＋2)2， ∴(＋＋2)2≤3，當且僅當a＝b＝4c時等式成立，故＋＋2的最大值為. 8．函數f(x)＝＋cos x，則f(x)的最大值是( ) A. B. C．1 D．2 解析：選A 因為f(x)＝＋cos x， 所以f(x)＝ ＋cos x ≤ ＝，當且僅當cos x＝時取等號． 9．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，則3x＋2x＋5x＋x的最小值是( ) A. B. C．3 D. 解析：選B ∵[3x＋2x＋5(－x3)2＋x]≥(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1， 即3x＋2x＋5x＋x≥. 10．已知a，b，c∈R＋，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正負情況是( ) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D．小于等于零 解析：選B 設a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3， 根據排序不等式， 得a3a＋b3b＋c3c≥a3b＋b3c＋c3a. 又ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把正確答案填寫在題中橫線上) 11．設a，b，c是正實數，且a＋b＋c＝9，則＋＋的最小值為________． 解析：∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥ 2＝18， ∴＋＋≥2，當且僅當a＝b＝c＝3時等號成立． ∴＋＋的最小值為2. 答案：2 12．已知A，B，C是三角形三個內角的弧度數，則＋＋的最小值是________． 解析：(A＋B＋C)≥(1＋1＋1)2＝9，而A＋B＋C＝π，故＋＋≥，當且僅當A＝B＝C＝時，等號成立． 答案： 13．設有兩組實數：a1，a2，a3，…，an與b1，b2，b3，…，bn，且它們滿足：a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2，b3，…，bn的任意一個排列，則a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1c1＋a2c2＋…＋ancn≥a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，反序和與順序和相等的條件是________． 解析：反序和與順序和相等，則兩組數至少有一組相等． 答案：a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn 14．設a，b，c為正數，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值為________． 解析：∵(a＋2b＋3c)≥2＝(＋＋)2， ∴(＋＋)2≤. ∴＋＋≤. 當且僅當＝＝時取等號． 又a＋2b＋3c＝13， ∴a＝9，b＝，c＝時， ＋＋有最大值. 答案： 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)已知實數a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求實數a的取值范圍． 解：由柯西不等式，得： (2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2， 即2b2＋3c2＋6b2≥(b＋c＋d)2. 由條件可得5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2. 所以實數a的取值范圍為[1,2]． 16．(本小題滿分12分)求函數y＝＋的最大值． 解：由1－sin x≥0,4sin x－1≥0， 得≤sin x≤1， 則y2＝2 ≤(1＋4) ＝，即y≤， 當且僅當4(1－sin x)＝sin x－，即sin x＝時等號成立，所以函數y＝＋的最大值為. 17．(本小題滿分12分)設a1，a2，…，an是1,2，…，n的一個排列，求證：＋＋…＋≤＋＋…＋. 證明：設b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一個排列， 且b1
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