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1、
第5節(jié) 三角恒等變換
課時訓練 練題感 提知能
【選題明細表】
知識點、方法
題號
三角函數(shù)式的化簡與求值
1、4
給值求值問題
3、5、6、10、13、14
給值求角問題
7、8、10
綜合問題
2、9、11、12、15
A組
一、選擇題
1.計算sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值為( B )
(A)-22 (B)22 (C)32 (D)1
解析:sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°=
sin 68°cos 23°-cos 68°sin
2、 23°=
sin(68°-23°)=sin 45°=22.
故選B.
2.(20xx惠州模擬)函數(shù)f(x)=1-2sin2x是( D )
(A)最小正周期為2π的奇函數(shù)
(B)最小正周期為2π的偶函數(shù)
(C)最小正周期為π的奇函數(shù)
(D)最小正周期為π的偶函數(shù)
解析:f(x)=1-2sin2x=cos 2x,
∴f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù),故選D.
3.(20xx淄博模擬)已知cos(α-π4)=24,則sin 2α等于( D )
(A)24 (B)-24 (C)34 (D)-34
解析:法一 ∵cos(α-π4)=24,
∴22cos α+22sin α=2
3、4,
∴cos α+sin α=12,
∴1+sin 2α=14,
∴sin 2α=-34.
故選D.
法二 sin 2α=cos(2α-π2)
=2cos2(α-π4)-1
=2×(24)2-1
=-34.
故選D.
4.化簡sin235°-12cos10°cos80°等于( C )
(A)-2 (B)-12 (C)-1 (D)1
解析:sin235°-12cos10°cos80°=1-cos 70°2-12cos10°sin10°=-12cos 70°12sin 20°=-1.
故選C.
5.當-π2≤x≤π2時,函數(shù)f(x)=sin x+3cos x的( D
4、)
(A)最大值是1,最小值是-1
(B)最大值是1,最小值是-12
(C)最大值是2,最小值是-2
(D)最大值是2,最小值是-1
解析:f(x)=2sin(x+π3),
∵-π2≤x≤π2,
∴-π6≤x+π3≤5π6,
∴-1≤2sin(x+π3)≤2.
故選D.
二、填空題
6.(高考新課標全國卷Ⅱ)設θ為第二象限角,若tan(θ+π4)=12,則sin θ+cos θ= .?
解析:因為θ為第二象限角,
所以π2+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,
因此34π+2kπ<θ+π4<54π+2kπ,k∈Z,
又tan(θ+π4)=12,
從而sin(θ
5、+π4)<0.
所以sin(θ+π4)=-55,
所以sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)=-105.
答案:-105
7.sin α=35,cos β=35,其中α、β∈(0,π2),則α+β= .?
解析:∵sin α=35,cos β=35,α,β∈(0,π2),
∴cos α=45,sin β=45,
∴cos(α+β)=45×35-35×45=0.
又∵α+β∈(0,π),
∴α+β=π2.
答案:π2
8.設tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的兩根,0<α<π2,π<β<3π2,則α+β= .?
解析:∵tan α,tan
6、β是方程6x2-5x+1=0的兩根,
∴tan α+tan β=56,tan αtan β=16,
∴tan (α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1.
∵0<α<π2,π<β<3π2,
∴π<α+β<2π,
∴α+β=5π4.
答案:5π4
9.已知角α、β的頂點在坐標原點,始邊與x軸的正半軸重合,α、β∈(0,π),角β的終邊與單位圓交點的橫坐標是-13,角α+β的終邊與單位圓交點的縱坐標是45,則cos α= .?
解析:依題設得,
cos β=-13,∵0<β<π,
∴π2<β<π,sin β=223,
又∵sin(α+β)=45>0,0<α<
7、π,
∴π2<α+β<π,
cos(α+β)=-35.
∴cos α=cos[(α+β)-β]=
cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β
=-35×-13+45×223
=3+8215.
答案:3+8215
三、解答題
10.(20xx洛陽模擬)已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2.
(1)求tan 2α的值;
(2)求β.
解:(1)由cos α=17,0<α<π2,得
sin α=1-cos2α=1-172=437.
∴tan α=sinαcosα=437×71=43,
于是tan 2α=2tanα1-tan2α
8、=
2×431-(43)2=-8347.
(2)由0<β<α<π2,得0<α-β<π2,
∵cos(α-β)=1314,
∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=1-13142=3314.
由β=α-(α-β),得
cos β=cos[α-(α-β)]=
cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=
17×1314+437×3314=12,
所以β=π3.
11.(20xx廣東深圳第一次調研)已知函數(shù)f(x)=2sin(πx6+π3) (0≤x≤5),點A、B分別是函數(shù)y=f(x)圖象上的最高點和最低點.
(1)求點A、B的坐標以及OA→·OB→的值;
9、(2)設點A、B分別在角α、β的終邊上,求tan(α-2β)的值.
解:(1)∵0≤x≤5,
∴π3≤πx6+π3≤7π6,
∴-12≤sin(πx6+π3)≤1.
當πx6+π3=π2,即x=1時,
Sin(πx6+π3)=1,f(x)取得最大值2;
當πx6+π3=7π6,即x=5時,
Sin(πx6+π3)=-12,f(x)取得最小值-1.
因此,點A、B的坐標分別是A(1,2)、B(5,-1).
∴OA→·OB→=1×5+2×(-1)=3.
(2)∵點A(1,2)、B(5,-1)分別在角α、β的終邊上,
∴tan α=2,tan β=-15.
∵tan 2β=2
10、×(-15)1-(-15)?2=-512,
∴tan(α-2β)=2-(-512)1+2×(-512)=292.
12.(20xx惠州市高三第一次調研)已知函數(shù)f(x)=sin (ωx+)
(ω>0,0≤≤π)為偶函數(shù),周期為2π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若α∈(-π3,π2),f(α+π3)=13,求sin(2α+2π3)的值.
解:(1)∵T=2π,則ω=2πT=1.
∴f(x)=sin (x+).
∵f(x)是偶函數(shù),∴=kπ+π2(k∈Z),
又0≤≤π,∴=π2.則f(x)=cos x.
(2)f(α+π3)=cos(α+π3)=13,
∵α∈(-π
11、3,π2),∴α+π3∈(0,5π6).
則sin(α+π3)=223.
∴sin(2α+2π3)=2sin(α+π3)cos(α+π3)=429.
B組
13.若cos α=-45,α是第三象限的角,則1+tanα21-tanα2等于( A )
(A)-12 (B)12 (C)2 (D)-2
解析:因為α是第三象限的角,
且cos α=-45,
所以sin α=-35.
1+tanα21-tanα2=sinα2+cosα2cosα2-sinα2
=1+sinαcosα
=1-35-45=-12.
故選A.
14.(20xx贛州模擬)已知sin(α+π6)+cos α
12、=453,則cos(π6-α)的值為( A )
(A)45 (B)35 (C)32 (D)35
解析:∵sin(α+π6)+cos α=453,
∴32sin α+12cos α+cos α=453,
即3×(12sin α+32cos α)=453,
∴sin(α+π3)=45,
∴cos(π6-α)=sin[π2-(π6-α)]=sin(α+π3)=45,
故選A.
15.設函數(shù)f(x)=sin x+cos x,f′(x)是f(x)的導數(shù),若f(x)=2f′(x),則sin2x-sin2xcos2x= .?
解析:f′(x)=cos x-sin x,由f(x)=2f′(x)得
sin x+cos x=2cos x-2sin x,∴cos x=3sin x,
于是sin2x-sin2xcos2x=sin2x-2sinxcosxcos2x
=sin2x-6sin2x9sin2x=-59.
答案:-59
新編高三數(shù)學復習 第5節(jié) 三角恒等變換
