2019屆高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 課堂達標35 空間幾何體的表面積與體積 文 新人教版.doc
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課堂達標(三十五) 空間幾何體的表面積與體積 [A基礎鞏固練] 1．(2017浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是( ) A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3 [解析] V＝3＝＋1，選A. [答案] A 2．(2018山西省高三考前質量檢測)某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為3，則側視圖中線段的長度x的值是( ) A. B．2 C．4 D．5 [解析] 分析題意可知，該幾何體為如圖 所示的四棱錐PABCD，故其體積V＝4CP＝3， ∴CP＝，∴x＝＝4，故選C. [答案] C 3．(2017課標Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為( ) A．π B. C. D. [解析] 繪制圓柱的軸截面如圖所示， 由題意可得：AC＝1，AB＝，結合勾股定理，底面半徑r＝＝， 由圓柱的體積公式可得：圓柱的體積是V＝πr2h＝π21＝π，故選B. [答案] B 4．(2018青島二模)已知三棱錐DABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，則該三棱錐的外接球的表面積為( ) A.π B．6π C．5π D．8π [解析] ∵由勾股定理易知DA⊥BC，AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD＝＝.∴AC2＋AD2＝CD2.∴DA⊥AC.取CD的中點O，由直角三角形的性質知O到點A，B，C，D的距離均為，其即為三棱錐的外接球球心．故三棱錐的外接球的表面積為4π2＝6π. [答案] B 5．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是( ) A．28＋6 B．30＋6 C．56＋12 D．60＋12 [解析] 由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示， 其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4. ∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5. 又CD⊥BD，CD⊥AE， 則CD⊥平面ABD，故CD⊥AD， 所以AC＝且S△ACD＝10. 在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2. 在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4， 故S△BCD＝10，且BC＝. 在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10. 在△ABC中，AB＝2，BC＝AC＝， 則AB邊上的高h＝6，故S△ABC＝26＝6.因此，該三棱錐的表面積為S＝30＋6. [答案] B 6．如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內切球，則平面ACD1截球O的截面面積為( ) A.π B. C. D.π [解析] 平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內切圓．因為正方體的棱長為1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以內切圓的半徑r＝tan 30＝，所以S＝πr2＝π＝π. [答案] C 7．有一根長為3π cm，底面直徑為2 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為______ cm. [解析] 把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)， 由題意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度．AC＝＝5π(cm)，故鐵絲的最短長度為5π cm. [答案] 5π 8．(2017江蘇)如圖，在圓柱O1，O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切．記圓柱O1，O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是______． [解析] 設球半徑為r，則＝＝，故答案為. [答案] 9．(2018遼寧省沈陽二中期中)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1的側棱A1A和B1B上各有一個動點P，Q，且滿足A1P＝BQ，M是棱CA上的動點，則的最大值是______． [解析] 設三棱柱ABCA1B1C1的體積為V ∵側棱AA1和BB1上各有一動點P，Q滿足A1P＝BQ， ∴四邊形PQBA與四邊形PQB1A1的面積相等， ∵M是棱CA上的動點， ∴M是C時，最大 又四棱椎M－PQBA的體積等于三棱錐C－ABA1的體積等于V，∴的最大值是＝. [答案] 10.如圖，在三棱錐DABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱錐DABC的體積的最大值． [解] 由題意知，線段AB＋BD與線段AC＋CD的長度是定值，因為棱AD與棱BC相互垂直． 設d為AD到BC的距離． 則VDABC＝ADBCd＝2d，當d最大時，VDABC體積最大，∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，∴當AB＝BD＝AC＝CD＝5時，d有最大值＝.此時V＝2. [B能力提升練] 1．(2018太原一模)如圖，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′BCD的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為( ) A．3π B.π C．4π D.π [解析] 由圖示可得BD＝A′C＝，BC＝，△DBC與△A′BC都是以BC為斜邊的直角三角形，由此可得BC中點到四個點A′，B，C，D的距離相等，即該三棱錐的外接球的直徑為，所以該外接球的表面積S＝4π2＝3π. [答案] A 2．(2018寧夏銀川市興慶區(qū)長慶高中一模試卷)如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為( ) A. B. C. D．4 [解析] 如圖所示，由三視圖可知該幾何體為： 四棱錐PABCD.連接BD. 其體積V＝VBPAD＋VBPCD＝ 122＋122＝. [答案] B 3．如圖，正方體ABCDA1B1C1D1 的棱長為，以頂點A為球心，2為半徑作為一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和為______． [解析] 由題意，圖中弧為過球心的平面與球面相交所得大圓的一段弧，因為∠A1AE＝∠BAF＝，所以∠EAF＝，由弧長公式知弧的長為2＝.弧為不過球心的平面與球面相交所得小圓的一段弧，其圓心為B，因為球心到平面BCC1B1的距離d＝，球的半徑R＝2，所以小圓的半徑r＝＝1，又∠GBF＝，所以弧的長為1＝.故兩段弧長之和為. [答案] π 4．(2016浙江)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值是______． [解析] 設PD＝DA＝x， 在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120， ∴AC＝ ＝＝2， ∴CD＝2－x，且∠ACB＝(180－120)＝30， ∴S△BCD＝BCDCsin∠ACB＝2(2－x)＝(2－x)． 要使四面體體積最大，當且僅當點P到平面BCD的距離最大，而P到平面BCD的最大距離為x. 則V四面體PBCD＝(2－x)x＝[－(x－)2＋3]，由于0
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