2019年高考數(shù)學 考試大綱解讀 專題11 概率與統(tǒng)計（含解析）理.doc

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11 概率與統(tǒng)計 考綱原文 （六）統(tǒng)計 1．隨機抽樣 （1）理解隨機抽樣的必要性和重要性. （2）會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法. 2．用樣本估計總體 （1）了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點. （2）理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差. （3）能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并給出合理的解釋. （4）會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想. （5）會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題. 3．變量的相關性 （1）會作兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系. （2）了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. （七）概率 1．事件與概率 （1）了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別. （2）了解兩個互斥事件的概率加法公式. 2．古典概型 （1）理解古典概型及其概率計算公式. （2）會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 3．隨機數(shù)與幾何概型 （1）了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率. （2）了解幾何概型的意義. （二十一）概率與統(tǒng)計 1．概率 （1）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性. （2）理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用. （3）了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題. （4）理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題. （5）利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義. 2．統(tǒng)計案例 了解下列一些常見的統(tǒng)計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題. （1）獨立性檢驗 了解獨立性檢驗（只要求22列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡單應用. （2）回歸分析 了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用. 概率與統(tǒng)計作為高考的必考內(nèi)容，在2019年的高考中預計仍會以“一小一大”的格局呈現(xiàn). 小題一般比較簡單，出現(xiàn)在選擇題或填空題中比較靠前的位置，命題角度主要有兩個方面：一是統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析，多以統(tǒng)計圖表(折線圖或柱狀圖）的形式提供數(shù)據(jù)，進行數(shù)據(jù)的特征分析，如均值、方差、最值點及趨勢分析等；二是概率的求解，以古典概型的求解為主，涉及簡單的排列組合知識，幾何概型可能會與其他知識模塊內(nèi)容結(jié)合起來考查，如與函數(shù)、不等式、解析幾何或定積分的計算等相結(jié)合. 解答題一般出現(xiàn)在第18題或第19題的位置，屬于中檔題目，題目涉及兩個以上的知識模塊，具有一定的綜合性.命題角度主要有三個方面：一是統(tǒng)計圖表與分布列的綜合，涉及用頻率估計概率、互斥事件、對立事件以及相互獨立事件等的概率求解，以離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求解為核心；二是統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與回歸分析、獨立性檢驗等的綜合，此類問題計算量較大，注重數(shù)據(jù)的分析與應用；三是統(tǒng)計圖表與函數(shù)內(nèi)容的結(jié)合，包括函數(shù)解析式的求解與應用等，這有可能重新成為命題的熱點. 考向一 三種抽樣方法 樣題1 從某社區(qū)65戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，105戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會購買力的某一項指標，應采用的最佳抽樣方法是 A．系統(tǒng)抽樣 B．分層抽樣 C．簡單隨機抽樣 D．各種方法均可 【答案】B 【解析】從某社區(qū)65戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，105戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會購買力的某一項指標，因為社會購買力的某項指標，受到家庭收入的影響，而社區(qū)中各個家庭收入差別明顯，所以應用分層抽樣法，故選B． 考向二 頻率分布直方圖的應用 樣題2 （2017新課標全國Ⅱ理科）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）．其頻率分布直方圖如下： （1）設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率； （2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關； 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）． 附：， （2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表： 箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 的觀測值， 由于，故有的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關． （3）因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為 ， 箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為， 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為． 【名師點睛】利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和． 考向三 線性回歸方程及其應用 樣題3 (2018新課標全國Ⅱ理科)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖． 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型②：． （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； （2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）利用模型②得到的預測值更可靠．理由見解析. 【解析】（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 (億元)． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 (億元)． （2）利用模型②得到的預測值更可靠． 理由如下： （ⅰ）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線上下．這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠． （ⅱ）從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理．說明利用模型②得到的預測值更可靠． 考向四 概率的求解 樣題4 （2018新課標全國Ⅱ理科）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是 A． B． C． D． 【答案】C 【名師點睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法： (1)列舉法. (2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目. 樣題5 如圖,莖葉圖表示的是甲,乙兩人在5次綜合測評中的成績,其中一個數(shù)字被污染,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為 A． B． C． D． 【答案】C 考向五 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差 樣題6 (2018新課標全國Ⅰ理科)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立． （1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點． （2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用． （i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求; （ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ 【答案】（1）；（2）（i）490；（ii）應該對余下的產(chǎn)品作檢驗. 【解析】（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此 . 令，得. 當時，；當時，. 所以的最大值點為. （2）由（1）知，. （i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即. 所以. （ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元. 由于，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗. 考向六 正態(tài)分布 樣題7 已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，，函數(shù)的對稱軸是， 所以，故選B． 樣題8 (2017新課標全國Ⅰ理科)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查． （?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到0.01）． 附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則， ，． （2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小. 因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的. （ii）由，得的估計值為，的估計值為， 由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查. 剔除之外的數(shù)據(jù)9.22， 剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 因此的估計值為10.02. ，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為， 因此的估計值為. 【名師點睛】數(shù)學期望是離散型隨機變量中重要的數(shù)學概念，反映隨機變量取值的平均水平. 求解離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望時，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機變量的所有取值，然后根據(jù)概率類型選擇公式，計算每個變量取每個值的概率，列出對應的分布列，最后求出數(shù)學期望. 正態(tài)分布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其是正態(tài)分布的原則. 考向七 獨立性檢驗 樣題9 (2018年高考新課標Ⅲ卷理)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖： （1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； （2）求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過 不超過 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 （3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：， 【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高，理由見解析；（2）見解析；（3）能. （iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. （iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分. （2）由莖葉圖知. 列聯(lián)表如下： 超過 不超過 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 （3）由于， 所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.