新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 專題探究課3 數(shù)列中的高考熱點問題 理 北師大版

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1、 1

2、 1 三) 數(shù)列中的高考熱點問題 (對應學生用書第90頁) [命題解讀] 數(shù)列在中學數(shù)學中既具有獨立性,又具有較強的綜合性,是初等數(shù)學與高等數(shù)學的一個重要銜接點,從近五年全國卷高考試題來看,本專題的熱點題型有:一是等差、等比數(shù)列的綜合問題;二是數(shù)列的通項與求和;三是數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯,難度中等. 等差、等比數(shù)列的綜合問題 解決等差、等比數(shù)列的綜合問題,關鍵

3、是理清兩種數(shù)列的項之間的關系,并注重方程思想的應用,等差(比)數(shù)列共涉及五個量a1,an,Sn,d(q),n,“知三求二”.  已知等差數(shù)列{an},公差d=2,S1,S2,S4成等比數(shù)列. (1)求an; (2)令bn=(-1)n,求{bn}的前n項和Tn. [解] (1)∵S1,S2,S4成等比數(shù)列. ∴S=S1S4, ∴(2a1+2)2=a1 解得a1=1, ∴an=1+2(n-1)=2n-1. (2)bn=(-1)n· =(-1)n· =(-1)n. ∴當n為偶數(shù)時,{bn}的前n項和Tn=-+-…+ =-1+=, 當n為奇數(shù)時,{bn}的前n項和Tn=-+

4、-…- =-1-=-. 故Tn= [規(guī)律方法] 1.若{an}是等差數(shù)列,則{ban}(b>0,且b≠1)是等比數(shù)列;若{an}是正項等比數(shù)列,則{logban}(b>0,且b≠1)是等差數(shù)列. 2.對等差、等比數(shù)列的綜合問題,應重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關系,以便實現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉化. [跟蹤訓練] 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,常數(shù)λ>0,且λa1an=S1+Sn對一切正整數(shù)n都成立. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設a1>0,λ=100.當n為何值時,數(shù)列的前n項和最大? [解] (1)取n=1,得λa=2S1=2a1,a1(λa1-2)=

5、0. 若a1=0,則Sn=0. 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=0-0=0, 所以an=0(n≥1). 若a1≠0,則a1=. 當n≥2時,2an=+Sn,2an-1=+Sn-1, 兩式相減得2an-2an-1=an, 所以an=2an-1(n≥2),從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列, 所以an=a1·2n-1=·2n-1=. 綜上,當a1=0時,an=0;當a1≠0時,an=. (2)當a1>0,且λ=100時,令bn=lg, 由(1)知,bn=lg=2-nlg 2. 所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列,公差為-lg 2. b1>b2>…>b6=lg=lg>lg 1=

6、0, 當n≥7時,bn≤b7=lg=lg

7、1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2. 3分 所以數(shù)列{an}是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,通項公式為an=3n-1. 5分 (2)由(1)知anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=, 7分 因此{bn}是首項為1,公比為的等比數(shù)列. 9分 記{bn}的前n項和為Sn, 則Sn==-. 12分 [閱卷者說] 易錯點 防范措施 不知道如何求出a1 加強賦值法的訓練,明確遞推式anbn+1+bn+1=nbn對任意n∈N+均成立,欲求a1,只需令n=1即可. 不會應用第(1)問的結果 事實上,一個解答題設計幾問,后一問的解答,應有意識的應用前一問的結果.

8、 [規(guī)律方法] 若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.首項與公差是等差數(shù)列的“基本量”,首項與公比是等比數(shù)列的“基本量”.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關問題時,“基本量法”是常用的方法. [跟蹤訓練] (20xx·全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通項公式; (2)若T3=21,求S3. [解] 設{an}的公差為d,{bn}的公比為q, 則an=-1+(n-1)·d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3.① (1)由a3+b3=5

9、得2d+q2=6.② 聯(lián)立①和②解得(舍去), 因此{bn}的通項公式為bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 當q=-5時,由①得d=8,則S3=21. 當q=4時,由①得d=-1,則S3=-6. 數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯 數(shù)列與函數(shù)的交匯一般體現(xiàn)在兩個方面:一是以數(shù)列的特征量n,an,Sn等為坐標的點在函數(shù)圖像上,可以得到數(shù)列的遞推關系;二是數(shù)列的項或前n項和可以看作關于n的函數(shù),然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題. 數(shù)列與不等式的交匯考查方式主要有三種:一是判斷數(shù)列中的一些不等關系;二是以數(shù)列為載體,考查不等

10、式恒成立問題;三是考查與數(shù)列有關的不等式的證明. ◎角度1 數(shù)列與函數(shù)的交匯  已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n2+2n. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若點(bn,an)在函數(shù)y=log2 x的圖像上,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 【導學號:79140186】 [解] (1)當n≥2時, an=Sn-Sn-1=2n2+2n-[2(n-1)2+2(n-1)]=4n, 當n=1時,a1=S1=4=4×1, 所以數(shù)列{an}的通項公式為an=4n. (2)由點(bn,an)在函數(shù)y=log2 x的圖像上得an=log2bn,且an=4n,所以bn=2

11、=24n=16n, 故數(shù)列{bn}是以16為首項,公比為16的等比數(shù)列. Tn==. [規(guī)律方法] 解決此類問題要抓住一個中心——函數(shù),兩個密切聯(lián)系:一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系,數(shù)列的通項公式是數(shù)列問題的核心,函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎;二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系,利用它們之間的對應關系進行靈活的處理. ◎角度2 數(shù)列與不等式的交匯  (20xx·東北三省三校二模)已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=2an-n+1,數(shù)列{bn}滿足bn=an-n. (1)證明:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列; (2)若數(shù)列{cn}滿足cn=,且數(shù)列{cn}的前n項和Tn,求證:Tn<.

12、[證明] (1)∵an+1=2an-n+1, ∴an+1-(n+1)=2(an-n),即bn+1=2bn. 又b1=a1-1=2, ∴數(shù)列{bn}是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)知,bn=2×2n-1=2n, ∴cn==-. ∴Tn=-+-+…+- =-<. [規(guī)律方法] 解決數(shù)列與不等式的綜合問題時,如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等;如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法,如列表法、因式分解法等.總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結合起來綜合處理就行了. [跟蹤訓練] 設n∈N+,xn是曲線y=x2n+

13、2+1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標. (1)求數(shù)列{xn}的通項公式; (2)記Tn=xx…x,證明:Tn≥. [解] (1)y′=(x2n+2+1)′=(2n+2)x2n+1,曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線斜率為2n+2, 從而切線方程為y-2=(2n+2)(x-1). 令y=0,解得切線與x軸交點的橫坐標xn=1-=, 所以數(shù)列{xn}的通項公式xn=. (2)證明:由題設和(1)中的計算結果知, Tn=xx…x=…. 當n=1時,T1=. 當n≥2時,因為x=2=>==, 所以Tn>×××…×=. 綜上可得,對任意的n∈N+,均有Tn≥.

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