2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第九章 9-3幾何概型《教案》.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第九章 9-3幾何概型《教案》 1．幾何概型 設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn)．這時(shí)，事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度(長(zhǎng)度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無(wú)關(guān)．把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型． 2．在幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式 P(A)＝. 3．幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零．(　√　) (2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等．(　√　) (3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　√　) (4)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．(　　) (5)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P＝.(　　) 1．在線段[0,3]上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為________． 答案　 解析　坐標(biāo)小于1的區(qū)間為[0,1]，長(zhǎng)度為1，[0,3]區(qū)間長(zhǎng)度為3， 故所求概率為. 2．(xx遼寧改編)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是________． 答案　 解析　設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A， 則P(A)＝＝＝. 3．(xx福建)如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為________． 答案　0.18 解析　由題意知，這是個(gè)幾何概型問(wèn)題， ＝＝0.18， ∵S正＝1，∴S陰＝0.18. 4．(xx山東)在區(qū)間[－3,3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率為________． 答案　 解析　由絕對(duì)值的幾何意義知：使|x＋1|－|x－2|≥1成立的x值為x∈[1,3]，由幾何概型知所求概率為P＝＝＝. 題型一　與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型 例1　(1)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，求cos x的值介于0到之間的概率． (2)如圖所示，在△ABC中，∠B＝60，∠C＝45，高AD＝，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率． 解　(1)如圖，由函數(shù) y＝cos x的圖象知， 當(dāng)－1，故圖中陰影部分符合構(gòu)成三角形的條件． 因?yàn)殛幱安糠值娜切蔚拿娣e占大三角形面積的， 故這三條線段能構(gòu)成三角形的概率為. 溫馨提醒　解決幾何概型問(wèn)題的易誤點(diǎn)： (1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型，導(dǎo)致錯(cuò)誤． (2)利用幾何概型的概率公式時(shí)，忽視驗(yàn)證事件是否具有等可能性，導(dǎo)致錯(cuò)誤． 方法與技巧 1．區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)． 2．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 對(duì)一個(gè)具體問(wèn)題，可以將其幾何化，如建立坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對(duì)應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式． (1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在坐標(biāo)軸上即可； (2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來(lái)描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型； (3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型． 失誤與防范 1．準(zhǔn)確把握幾何概型的“測(cè)度”是解題關(guān)鍵． 2．幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果. A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘) 1．(xx陜西改編)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為________． 答案　 解析　取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長(zhǎng)的情況有6種，概率為＝. 2．設(shè)p在[0,5]上隨機(jī)地取值，則方程x2＋px＋＋＝0有實(shí)根的概率為________． 答案　 解析　一元二次方程有實(shí)數(shù)根?Δ≥0，而Δ＝p2－4＝(p＋1)(p－2)，解得p≤－1或p≥2，故所求概率為P＝＝. 3．在區(qū)間[－1,4]內(nèi)取一個(gè)數(shù)x，則2x－x2≥的概率是________． 答案　 解析　不等式2x－x2≥，可化為x2－x－2≤0， 則－1≤x≤2， 故所求概率為＝. 4．已知△ABC中，∠ABC＝60，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為______． 答案　 解析　如圖，當(dāng)BE＝1時(shí)，∠AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B、E點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時(shí)，∠BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(不包含C、F點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形．所以△ABD為鈍角三角形的概率為＝. 5．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是________． 答案　1－ 解析　設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連結(jié)OC，DC. 不妨令OA＝OB＝2， 則OD＝DA＝DC＝1. 在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝＋11－＝1， 所以整體圖形中空白部分面積S2＝2. 又因?yàn)镾扇形OAB＝π22＝π， 所以陰影部分面積為S3＝π－2. 所以P＝＝1－. 6．已知集合A＝{α|α＝，n∈Z}，若從A中任取一個(gè)元素均可作為直線l的傾斜角，則直線的斜率小于零的概率是________． 答案　 解析　由于傾斜角范圍為[0，π)，故當(dāng)0≤n≤8時(shí)，集合A中共有9個(gè)解，分別為0，，，，，，，，.其中當(dāng)α為，，，時(shí)，此時(shí)α為鈍角，直線l的斜率小于零． 故直線l的斜率小于零的概率P＝. 7．(xx湖北)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 答案　3 解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m. 當(dāng)m≤2時(shí)，由題意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去． 當(dāng)2n. 如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分， ∴所求的概率為P＝. 9．小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________． 答案　 解析　∵去看電影的概率P1＝＝， 去打籃球的概率P2＝＝， ∴不在家看書的概率為P＝＋＝. 10．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)． (1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足ab＝－1的概率； (2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足ab<0的概率． 解　(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為66＝36(個(gè))； 由ab＝－1有－2x＋y＝－1， 所以滿足ab＝－1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè)； 故滿足ab＝－1的概率為＝. (2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，則全部基本事件的結(jié)果為Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}； 滿足ab<0的基本事件的結(jié)果為 A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}； 畫出圖形如圖， 矩形的面積為S矩形＝25， 陰影部分的面積為S陰影＝25－24＝21， 故滿足ab<0的概率為. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘) 1．(xx湖北改編)由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組確定的平面區(qū)域?yàn)棣?，在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為________． 答案　 解析　如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD， 易知C(－，)，故由幾何概型的概率公式，得所求概率P＝＝＝. 2．一個(gè)長(zhǎng)方體空屋子，長(zhǎng)，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個(gè)角上各裝有一個(gè)捕蠅器(大小忽略不計(jì))，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率是________． 答案　 解析　屋子的體積為543＝60米3， 捕蠅器能捕捉到的空間體積為π133＝. 故蒼蠅被捕捉的概率是＝. 3.已知點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y＝1上，點(diǎn)C(3,4)，若AB≤，則△ABC的面積大于5的概率是________． 答案　 解析　設(shè)B(x,1)，根據(jù)題意知點(diǎn)D(，1)， 若△ABC的面積小于或等于5，則DB4≤5，即DB≤，此時(shí)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x∈[－，]，而AB≤， 所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x∈[－3,3]，所以△ABC的面積小于或等于5的概率為P＝＝， 所以△ABC的面積大于5的概率是1－P＝. 4．在面積為S的△ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)P，△PBC的面積大于的概率為________． 答案　 解析　如圖，假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P落在EF上時(shí)(EF∥BC)，恰好滿足△PBC的面積等于， 作PG⊥BC，AH⊥BC，則易知＝.符合要求的點(diǎn)P可以落在△AEF內(nèi)的任意處，其概率為P＝＝. 5．平面內(nèi)有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個(gè)平面內(nèi)，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是________． 答案　 解析　如圖所示，當(dāng)硬幣中心落在陰影區(qū)域時(shí)，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為. 6．設(shè)f(x)和g(x)是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)．若對(duì)任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，則稱f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”．設(shè)f(x)＝ax，g(x)＝. (1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率． (2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率． 解　(1)設(shè)事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”， 則|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情況有： x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，共6種且每種情況被取到的可能性相同． 又當(dāng)a>0，b>0時(shí)，y＝ax＋在(0，)上遞減，在(，＋∞)上遞增； 且y＝x－和y＝4x－在(0，＋∞)上遞增， ∴對(duì)x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的情況有x－，x＋，x＋，4x－， 故事件A包含的基本事件有4種， ∴P(A)＝＝，故所求概率是. (2)設(shè)事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”， ∵a是從區(qū)間[1,4]中任取的數(shù)，b是從區(qū)間[1,4]中任取的數(shù)， ∴點(diǎn)(a，b)所在的區(qū)域是長(zhǎng)為3，寬為3的矩形區(qū)域． 要使x∈[1,2]時(shí)，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立， 需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋≤8， ∴事件B表示的點(diǎn)的區(qū)域是如圖所示的陰影部分． ∵矩形區(qū)域的面積S＝33＝9， 陰影部分的面積S陰＝(2＋)3＝， ∴根據(jù)幾何概型的概率公式可得所求概率為P＝＝＝.