2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)6 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 新人教A版選修1 -1.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(六) 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(5,0)，(－5,0)　　　　　 B．(0,5)，(0，－5) C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0) C　[c2＝169－25＝144.c＝12，故選C.] 2．已知橢圓過點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．x2＋＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．以上都不對(duì) A　[設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 則 ∴ ∴橢圓的方程為x2＋＝1.] 3．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△F1PF2的面積等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792056】 A．5　　　　　　　 B．4 C．3 D．1 B　[由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面積為|PF1||PF2|＝42＝4，故選B.] 4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則線段MF1的中點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．線段 D．直線 B　[|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a>|F1O|，因此點(diǎn)P的軌跡是橢圓．] 5．如果方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，－2) C．(3，＋∞)∪(－∞，－2) D．(3，＋∞)∪(－6，－2) D　[由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上， 所以即 解得a＞3或－6＜a＜－2，故選D.] 二、填空題 6．已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓與x軸的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792057】 ＋＝1　[由題意知，解得則b2＝a2－c2＝3， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.] 7．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 3　[依題意，有 可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.] 8．已知P是橢圓＋＝1上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是________． (x＋1)2＋y2＝16　[如圖，依題意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常數(shù)且a＞0)． 又|PQ|＝|PF2|， ∴|PF1|＋|PQ|＝2a， 即|QF1|＝2a. 由題意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1. ∴|QF1|＝4，F(xiàn)1(－1,0)， ∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心，4為半徑的圓， ∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是(x＋1)2＋y2＝16.] 三、解答題 9．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)．設(shè)橢圓C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)． [解]　∵橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4， ∴2a＝4，a2＝4， ∵點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)， ∴＋＝1， ∴b2＝3，∴c2＝1， ∴橢圓C的方程為＋＝1. 焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)． 10．已知點(diǎn)A(0，)和圓O1：x2＋(y＋)2＝16，點(diǎn)M在圓O1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在半徑O1M上，且|PM|＝|PA|，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792058】 [解]　因?yàn)閨PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4， 所以|PO1|＋|PA|＝4， 又因?yàn)閨O1A|＝2<4， 所以點(diǎn)P的軌跡是以A，O1為焦點(diǎn)的橢圓，所以c＝，a＝2，b＝1. 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋＝1. [能力提升練] 1．已知橢圓＋y2＝1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在該橢圓上，且＝0，則點(diǎn)M到x軸的距離為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. C　[設(shè)M(x0，y0)，由F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)得＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)， 由＝0得x＋y＝3， 又＋y＝1，解得y0＝. 即點(diǎn)M到x軸的距離為，故選C.] 2.如圖213，∠OFB＝，△ABF的面積為2－，則以O(shè)A為長半軸，OB為短半軸，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓方程為__________． 圖213 ＋＝1　[設(shè)所求橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，由題意可知，|OF|＝c，|OB|＝b， ∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b. ∴S△ABF＝|AF||BO|＝(a－c)b＝(2b－b)b＝2－， 解得b2＝2，則a＝2b＝2. ∴所求橢圓的方程為＋＝1.] 3．若橢圓2kx2＋ky2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，－4)，則k的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792059】 k＝　[易知k>0，方程2kx2＋ky2＝1變形為＋＝1，所以－＝16，解得k＝.] 4．如圖214所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2＝________. 圖214 2　[設(shè)正三角形POF2的邊長為c，則c2＝， 解得c＝2，從而|OF2|＝|PF2|＝2， 連接PF1(略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2 則|PF1|＝＝＝2 所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋2，即a＝＋1 所以b2＝a2－c2＝(＋1)2－4＝2.] 5．設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(如圖215所示)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面積是△F1F2B面積的2倍．若|AB|＝，求橢圓C的方程． 圖215 [解]　由題意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B， ∴|F2A|＝2|F2B|， 由橢圓的定義得 |F1B|＋|F2B| ＝|F1A|＋|F2A|＝2a， 設(shè)|F2A|＝2|F2B|＝2m， 在△F1F2B中，由余弦定理得 (2a－m)2＝4c2＋m2－22cmcos? m＝. 在△F1F2A中，同理可得m＝， 所以＝，解得2a＝3c， 可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4. 由＝，得a＝6，b2＝20， 所以橢圓C的方程為＋＝1.