新編高考數(shù)學文科一輪總復習 第2篇 第8節(jié) 函數(shù)與方程

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第二篇　第8節(jié) 一、選擇題 1．(2014山東臨沂市模擬)函數(shù)f(x)＝x－2－x的零點個數(shù)為(　　) A．0　　　　 B．1 C．2　 D．3 解析：由f(x)＝x－2－x＝0得x＝x，在同一坐標系中作出函數(shù)y＝x，y＝x的圖象，由圖象可知兩函數(shù)的交點有1個，即函數(shù)f(x)＝x－2－x的零點個數(shù)為1.故選B. 答案：B 2．(2014合肥質檢)“m<1”是“函數(shù)f(x)＝x2－x＋m存在零點”的(　　) A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：若函數(shù)f(x)＝x2－x＋m存在零點， 則有Δ

2、＝1－m≥0，解得m≤1. 因此當m<1時，函數(shù)必有零點；但當函數(shù)有零點時，不一定有m<1，故“m<1”是“函數(shù)f(x)＝x2－x＋m存在零點”的充分不必要條件．故選A. 答案：A 3．(2014宣城調(diào)研)設f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在[a，b]上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“關聯(lián)區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“關聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[－1,0] B－，－2 C．(－∞，－2]

3、 D．－，＋∞ 解析：設h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m ＝x－2－－m， 則h(x)在區(qū)間[0,3]上有兩個不同的零點， 所以 即 解得－

4、x)＝x2－4x＋4的圖象的交點個數(shù)為(　　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 解析：g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)＝ln x與g(x)＝(x－2)2的圖象(如圖)．由圖可得兩個函數(shù)的圖象有2個交點．故選C. 答案：C 6．(2013年高考重慶卷)若a

5、f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， ∴f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，故選A. 答案：A 二、填空題 7．(2014年山東棗莊一模)函數(shù)f(x)＝的零點的個數(shù)為________． 解析：當x≥0時，由f(x)＝0得x＋1＝0，此時x＝－1不成立．當x＜0時，由f(x)＝0得x2＋x＝0，此時x＝－1或x＝0(不成立舍去)．所以函數(shù)的零點為x＝－1. 答案：1 8．函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln x的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________. 解析：由于f(1)＝－4<0

6、，f(2)＝ln 2－1<0， f(3)＝2＋ln 3>0， 又f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 所以零點在區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n＝2. 答案：2 9．(2014上海長寧區(qū)期末)設a為非零實數(shù)，偶函數(shù)f(x)＝x2＋a|x－m|＋1在區(qū)間(2,3)上存在唯一零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以m＝0， 所以f(x)＝x2＋a|x|＋1.要使函數(shù)在區(qū)間(2,3)上存在唯一零點， 則有f(2)f(3)＜0，即(4＋2a＋1)(9＋3a＋1)＜0， 所以(5＋2a)(10＋3a)＜0，解得－＜a＜－，即實數(shù)a的取值范圍是(－，－).

7、 答案：(－，－) 10．(2014山東即墨市期末)已知函數(shù)f(x)＝且關于x的方程f(x)－a＝0有兩個實根，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：f(x)的圖象如圖，要使方程f(x)－a＝0有兩個實根，即y＝f(x)與y＝a的圖象有兩個交點，0＜a≤1. 答案：(0,1] 三、解答題 11．判斷函數(shù)f(x)＝1＋4x＋x2－x3在區(qū)間(－1,1)內(nèi)零點的個數(shù)，并說明理由． 解：∵f(－1)＝1－4＋1＋＝－＜0， f(1)＝1＋4＋1－＝＞0， ∴f(x)在區(qū)間(－1,1)內(nèi)有零點． 又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－2(x＋1)(x－2)， 當－1＜x＜1

8、時，f′(x)＞0， ∴f(x)在(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞增， 因此，f(x)在(－1,1)內(nèi)有且僅有一個零點． 12．已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點． 解：f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點， 即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅有一個實根， 設2x＝t(t>0)，則t2＋mt＋1＝0僅有一個正實根． 當Δ＝0時，m2－4＝0，解得m＝2或m＝－2， 而m＝－2時，t＝1； m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)， ∴2x＝1，x＝0符合題意． 當Δ>0，即m>2或m<－2時， t2＋mt＋1＝0有兩正根或兩負根， 即f(x)有兩個零點或沒有零點． ∴這種情況不符合題意． 綜上可知，m＝－2時，f(x)有唯一零點，該零點為0.