新編高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 第一篇集合與常用邏輯用語

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第1講　集合及其運(yùn)算 知 識(shí) 梳 理 1．集合與元素 (1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關(guān)系為屬于或不屬于關(guān)系，分別用符號(hào)∈或?表示． (3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法． (4)常用數(shù)集：自然數(shù)集N、正整數(shù)集N*(或N＋)、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R. (5)集合的分類：按集合中元素個(gè)數(shù)劃分，集合可以分為有限集、無限集、空集． 2．集合間的基本關(guān)系 (1)子集：對(duì)任意的x∈A，有x∈B，則A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，則AB(或BA)． (3)空集：空

2、集是任意一個(gè)集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)． (4)若A含有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，A的非空子集有2n－1個(gè)． (5)集合相等：若A?B，且B?A，則A＝B. 3．集合的運(yùn)算及其性質(zhì) (1)集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算 并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}； 交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}； 補(bǔ)集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}． U為全集，?UA表示A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集． (2)集合的運(yùn)算性質(zhì) ①并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝A?B?A. ②交集的性質(zhì)： A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝A?A?B. ③補(bǔ)集的性

3、質(zhì)：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A. 辨 析 感 悟 1．元素與集合的辨別 (1)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(×) (2)含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，真子集個(gè)數(shù)是2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)是2n－2.(√) (3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，則A∩B＝{x|x∈R}．(×) 2．對(duì)集合基本運(yùn)算的辨別 (4)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)總成立．(√) (5)(2013·浙江卷改編)設(shè)集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則S∩T＝ {x|－2＜x≤1}．(√) (

4、6)(2013·陜西卷改編)設(shè)全集為R，函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镸，則?RM＝{x|x＞1，或x＜－1}．(√) [感悟·提升] 1．一點(diǎn)提醒　求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件．如第(3)題就是混淆了數(shù)集與點(diǎn)集． 2．兩個(gè)防范　一是忽視元素的互異性，如(1)； 二是運(yùn)算不準(zhǔn)確，尤其是運(yùn)用數(shù)軸圖示法時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心， 如(6). 考點(diǎn)一　集合的基本概念 【例1】 (1)(2013·江西卷改編)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝________. (2

5、)(2013·山東卷改編)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是________． 解析　(1)由ax2＋ax＋1＝0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，可得當(dāng)a＝0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解； 當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.(a＝0不合題意舍去)． (2)x－y∈{－2，－1,0,1,2}． 答案　(1)4　(2)5 規(guī)律方法 集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性． 【訓(xùn)練1】 已知a∈R，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 014＋b2 014＝________

6、. 解析　由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2 014＋b2 014＝1. 答案　1 考點(diǎn)二　集合間的基本關(guān)系 【例2】 (1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

7、，4]． (2)A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A， ∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判別式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}． ①若B＝{－1}，則m＝1； ②若B＝{－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，這兩式不能同時(shí)成立， ∴B≠{－2}； ③若B＝{－1，－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由這兩式得m＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)知m＝1和m＝2符合條件．∴m＝1或2. 規(guī)律方法 (1)已知兩個(gè)集合之間的

8、關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對(duì)子集是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解． (2)在解決兩個(gè)數(shù)集關(guān)系問題時(shí)，避免出錯(cuò)的一個(gè)有效手段是合理運(yùn)用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論． 【訓(xùn)練2】 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

9、則集合C可能為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)a＝0時(shí)，B＝{x|1≠0}＝??A；a≠0時(shí)，B＝?A，則－＝－1或－＝1，故a＝0或a＝1或－1. 答案　(1)4　(2) 考點(diǎn)三　集合的基本運(yùn)算 【例3】 (1)(2013·山東卷改編)已知集合A，B均為全集U＝{1,2，3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩?UB＝________. (2)(2014·唐山模擬)若集合M＝{y|y＝3x}，集合S＝{x|y＝lg(x－1)}，則下列各式正確的是________． ①M(fèi)∪S＝M；②M∪S＝S；③M＝S；④M∩S＝?

10、 審題路線　(1)?A∩?UB＝{3}； (2)先分別求出集合M，S，再判斷各式． 解析　(1)由?U(A∪B)＝{4}知A∪B＝{1,2,3}． 又B＝{1,2}，∴3∈A，?UB＝{3,4}，∴A∩?UB＝{3}． (2)M＝{y|y＞0}，S＝{x|x＞1}，故只有①正確． 答案　(1){3}　(2)① 規(guī)律方法 一般來講，集合中的元素離散時(shí)，則用Venn圖表示；集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù)時(shí)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況． 【訓(xùn)練3】 (1)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為________． (2)已知全集

11、U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，則A∩(?UB)＝________. 解析　(1)?UA＝{0,4}，∴(?UA)∪B＝{0,2,4}． (2)由log2(x－2)＜1，得0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以B＝{x|2＜x＜4}．故?UB＝{x|x≤2，或x≥4}，從而A∩(?UB)＝{x|－1≤x≤2}． 答案　(1){0,2,4}　(2){x|－1≤x≤2} 數(shù)軸和韋恩(Venn)圖是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時(shí)要先把集合中各種形式的元素化簡(jiǎn)，使之明確化，盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖

12、等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 創(chuàng)新突破1——與集合有關(guān)的新概念問題 【典例】 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為________． 解析　法一(列表法)　因?yàn)閤∈A，y∈A，所以x，y的取值只能為1,2,3,4,5，故x，y及x－y的取值如下表所示： 1 2 3 4 5 1 0 －1 －2 －3 －4 2 1 0 －1 －2 －3 3 2 1 0 －1 －2 4 3

13、2 1 0 －1 5 4 3 2 1 0 由題意x－y∈A，故x－y只能取1,2,3,4，由表可知實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)的取值滿足條件的共有10個(gè)，即B中的元素個(gè)數(shù)為10. 法二(直接法)　因?yàn)锳＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都為正數(shù)，若x－y∈A，則必有x－y＞0，x＞y. 當(dāng)y＝1時(shí)，x可取2,3,4,5，共有4個(gè)數(shù)； 當(dāng)y＝2時(shí)，x可取3,4,5，共有3個(gè)數(shù)； 當(dāng)y＝3時(shí)，x可取4,5，共有2個(gè)數(shù)； 當(dāng)y＝4時(shí)，x只能取5，共有1個(gè)數(shù)； 當(dāng)y＝5時(shí)，x不能取任何值． 綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)為 4＋3＋2＋1＝10. 答案　10

14、 [反思感悟] (1)解決集合中新定義問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的實(shí)質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證，把其轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本運(yùn)算． (2)以集合為載體的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，常見的命題形式有新概念、新法則、新運(yùn)算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力． 【自主體驗(yàn)】 設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于k∈A，如果k－1?A，且k＋1?A，那么稱k是A的一個(gè)“好元素”．給定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________個(gè)． 解析　依題，可知由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“

15、好元素”，則這3個(gè)元素一定是相連的3個(gè)數(shù)．故這樣的集合共有6個(gè)． 答案　6 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．(2013·安徽卷改編)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}．則(?RA)∩B＝________. 解析　因?yàn)锳＝{x|x＞－1}，則?RA＝{x|x≤－1}，所以(?RA)∩B＝{－2，－1}． 答案　{－2，－1} 2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，則下列各式不正確的是________． ①M(fèi)?N；②N?M；③M∩N＝{2,3}；④M∪N＝{1,4}． 解析　由已知得M∩N＝{2,3}，故選①②④.

16、答案　①②④ 3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，則P的子集個(gè)數(shù)有________． 解析　P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4個(gè)． 答案　4 4．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，則A與B的關(guān)系是________． 解析　集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，則BA. 答案　BA 5．設(shè)集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，則圖中陰影部分表示的集合為________． 解析　陰影部分是A∩?RB.集合A＝{x|－4＜x＜2}，?RB＝{x|x≥1}，所以A∩?RB

17、＝{x|1≤x＜2}． 答案　{x|1≤x＜2} 6．(2013·湖南卷)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，則(?UA)∩B＝________. 解析　由集合的運(yùn)算，可得(?UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}． 答案　{6,8} 7．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為________． 解析　根據(jù)并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4. 答案　4 8．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整數(shù)為________． 解析　由|x－2|≤5，得－5≤x－

18、2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整數(shù)為－3. 答案　－3 二、解答題 9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B. 解　由A∩B＝{－3}知，－3∈B. 又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3. ①當(dāng)a－3＝－3時(shí)，a＝0，此時(shí)A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2，1}，A∩B＝{1，－3}． 故a＝0舍去． ②當(dāng)a－2＝－3時(shí)，a＝－1， 此時(shí)A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}， 滿足A∩B＝{－3}，從而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}． 10．設(shè)A＝{x|x2＋4x＝0}，

19、B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}， (1)若B?A，求a的值； (2)若A?B，求a的值． 解　(1)A＝{0，－4}， ①當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，解得a＜－1； ②當(dāng)B為單元素集時(shí)，a＝－1，此時(shí)B＝{0}符合題意； ③當(dāng)B＝A時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得： 解得a＝1. 綜上可知：a≤－1或a＝1. (2)若A?B，必有A＝B，由(1)知a＝1. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，則集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的個(gè)數(shù)為________．

20、 解析　當(dāng)x＝－1，y＝0時(shí)，z＝－1；當(dāng)x＝－1，y＝2時(shí)，z＝1； 當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，z＝1；當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，z＝3.故z的值為－1,1,3，故所求集合為{－1,1,3}，共含有3個(gè)元素． 答案　3 2．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________. 解析　A＝{x|－5

21、)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．記集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分別為集合S，T的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論：①|(zhì)S|＝1且|T|＝0；②|S|＝1且|T|＝1，③|S|＝2且|T|＝2；④|S|＝2且|T|＝3，其中不可能成立的是________． 解析　取a＝0，b＝0，c＝0，則S＝{x|f(x)＝x3＝0}，|S|＝1，T＝{x|g(x)＝1≠0}，|T|＝0.因此①可能成立．取a＝1，b＝0，c＝1，則S＝{x|f(x)＝(x＋1)(x2＋1)＝0}，|S|＝1，T＝{x|g(x)＝(x＋1)(x2＋1)＝0}，|T|＝1，

22、因此②可能成立．取a＝－1，b＝0，c＝－1，則S＝{x|f(x)＝(x－1)(x2－1)＝0}，|S|＝2，T＝{x|g(x)＝(－x＋1)·(－x2＋1)＝0}，|T|＝2.因此③可能成立．對(duì)于④，若|T|＝3，則Δ＝b2－4c＞0，從而導(dǎo)致f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)也有3解，因此|S|＝2且|T|＝3不可能成立．故④不可能成立． 答案?、? 二、解答題 4．已知集合A＝{y|y＝2x－1,0＜x≤1}，B＝{x|(x－a)[x－(a＋3)]＜0}．分別根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． (1)A∩B＝A；(2)A∩B≠?. 解　因?yàn)榧螦是函數(shù)y＝2x－1(0＜x≤1

23、)的值域，所以A＝(－1,1]，B＝(a，a＋3)． (1)A∩B＝A?A?B? 即－2＜a≤－1，故當(dāng)A∩B＝A時(shí)，a的取值范圍是(－2，－1]． (2)當(dāng)A∩B＝?時(shí)，結(jié)合數(shù)軸知，a≥1或a＋3≤－1，即a≥1或a≤－4. 故當(dāng)A∩B≠?時(shí)，a的取值范圍是(－4,1). 第2講　命題及其關(guān)系、充要條件 知 識(shí) 梳 理 1．命題的概念 在數(shù)學(xué)中用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的語句叫做命題，其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題． 2．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的

24、真假性； ②兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 3．充分條件、必要條件與充要條件 (1)如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件； (2)如果p?q，q?p，則p是q的充要條件． 辨 析 感 悟 1．對(duì)四種命題的認(rèn)識(shí) (1)(2012·湖南卷改編)命題“若α＝，則tan α＝1”的否命題是“若α＝，則 tan α≠1”．(×) (2)若原命題“若p，則q”為真，則在這個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)為1或2.(×) (3)命題“若x2－3x＋2＞0，則x＞2或x＜1”的逆否命題是“若1≤x≤2，則x2－3x＋2≤0”．(√) 2．

25、對(duì)充分條件、必要條件的理解 (4)給定兩個(gè)命題p，q.若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件．(√) (5)“(2x－1)x＝0”的充分不必要條件是“x＝0”．(√) (6)在△ABC中，“A＝60°”是“cos A＝”的充分不必要條件．(×) [感悟·提升] 1．一個(gè)區(qū)別　否命題與命題的否定是兩個(gè)不同的概念．否命題同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，命題的否定僅僅否定原命題的結(jié)論(條件不變)，如(1)把否命題錯(cuò)看成是命題的否定． 2．三個(gè)防范　一是分清命題中的條件和結(jié)論，并搞清楚其中的關(guān)鍵詞，如“≠”與“＝”，“＞”與“≤”，“且”與“或”，“是”與“不是”，“都不是”與

26、“至少一個(gè)是”，“都是”與“不都是”等互為否定，如(3)． 二是弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B A，且A B，如(5)；而“A是B的充分不必要條件”則是指AB且B A，如(6)． 三是注意題中的大前提，如(6). 考點(diǎn)一　命題及其相互關(guān)系 【例1】 已知：命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則①否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m＞1”，是真命題；②逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，是假命題；③逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是

27、減函數(shù)”，是真命題；④逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”，是真命題．以上四個(gè)結(jié)論正確的是________．(填序號(hào)) 解析　由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”是真命題，所以其逆否命題“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題． 答案?、? 規(guī)律方法 (1)在判斷四種命題的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的條件與結(jié)論，當(dāng)確定了原命題時(shí)，要能根據(jù)四種命題的關(guān)系寫出其他三種命題． (2)當(dāng)一個(gè)命題有大前提

28、時(shí)，若要寫出其他三種命題，大前提需保持不變． (3)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；說明一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例． (4)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假． 【訓(xùn)練1】 (2013·吉林白山二模)命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是________． 答案　若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0 考點(diǎn)二　充分條件、必要條件的判斷 【例2】 (1)(2013·福建卷改編)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則“x＝2且y＝－1”是“點(diǎn)P在直線l：x＋y－1＝0上”的________條件

29、． (2)(2013·濟(jì)南模擬)如果a＝(1，k)，b＝(k,4)，那么“a∥b”是“k＝－2”的________條件． 解析　(1)當(dāng)x＝2且y＝－1時(shí)，滿足方程x＋y－1＝0， 但方程x＋y－1＝0有無數(shù)多個(gè)解，不能確定x＝2且y＝－1， ∴“x＝2且y＝－1”是“點(diǎn)P在直線l上”的充分而不必要條件． (2)因?yàn)閍∥b，所以1×4－k2＝0，即4＝k2，所以k＝±2.所以“a∥b”是“k＝－2”的必要不充分條件． 答案　(1)充分而不必要　(2)必要不充分 規(guī)律方法 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對(duì)于帶有否定性

30、的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題． 【訓(xùn)練2】 已知條件p：x≤1，條件q：＜1，則綈p是q的________條件． 解析　由x＞1，得＜1；反過來，由＜1，不能得知x＞1，即綈p是q的充分不必要條件． 答案　充分不必要 考點(diǎn)三　充要條件的應(yīng)用 【例3】 (2014·無錫一中調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ax－bx2(a>0)． (1)當(dāng)b>0時(shí)，若對(duì)任意x∈R都有f(x)≤1，證明：a≤2； (2)當(dāng)b>1時(shí)，證明：對(duì)任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立的充要條件是b

31、－1≤a≤2. 證明　(1)由題意知bx2－ax＋1≥0對(duì)任意x∈R恒成立， ∴Δ＝a2－4b≤0，又a>0，b>0，∴a≤2. (2)①先證充分性：∵b>1，a≥b－1，∴對(duì)任意x∈[0,1]， 有ax－bx2≥(b－1)x－bx2＝b(x－x2)－x≥－x≥－1， 即ax－bx2≥－1；∵b>1，a≤2，∴對(duì)任意x∈[0,1]， 有ax－bx2≤2x－bx2＝－(x－1)2＋1≤1， 即ax－bx2≤1，∴|f(x)|≤1成立，充分性得證； ②再證必要性：∵對(duì)任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1， ∴f(1)≥－1，即a≥b－1； ∵對(duì)任意x∈[0,1]，|f(x)|≤

32、1，而b>1， ∴f≤1，即a≤2，必要性得證． 由①②可知，當(dāng)b>1時(shí)，對(duì)任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立的充要條件是b－1≤a≤2. 規(guī)律方法 (1)涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題化歸為簡(jiǎn)單、熟悉的問題來解決． (2)①p的充分不必要條件為q，等價(jià)于p?q，q p；②p的必要不充分條件為q，等價(jià)于p?q，q p. 【訓(xùn)練3】 已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且綈p是綈q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　由得 即2＜x＜3， ∴q的解集為{x|2＜x＜3}． 設(shè)A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，

33、∵綈p?綈q，∴q?p.∴B?A. ∴2＜x＜3屬于集合A，即2＜x＜3滿足不等式2x2－9x＋a＜0. ∴2＜x＜3滿足不等式a＜9x－2x2. ∵當(dāng)2＜x＜3時(shí)，9x－2x2＝－2＝－22＋的值大于9且小于等于，即9＜9x－2x2≤，∴a≤9. 1．當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其它三種命題時(shí)，必須保留大前提，也就是大前提不動(dòng)；對(duì)于由多個(gè)并列條件組成的命題，在寫其它三種命題時(shí)，應(yīng)把其中一個(gè)(或幾個(gè))作為大前提． 2．?dāng)?shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題與定理是有區(qū)別的；命題有真假之分，而定理都是真的． 3．命題的充要關(guān)系的判斷方法 (1)定義法：直接判斷若p則q、若

34、q則p的真假． (2)等價(jià)法：利用A?B與綈B?綈A，B?A與綈A?綈B，A?B與綈B?綈A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法． (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思想方法1——等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在充要條件關(guān)系中的應(yīng)用 【典例】 已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且綈p是綈q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　法一　由q：x2－2x＋1－m2≤0， 得1－m≤x≤1＋m， ∴綈q：A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m

35、＞0}， 由p：≤2， 解得－2≤x≤10， ∴綈p：B＝{x|x＞10或x＜－2}． ∵綈p是綈q的必要而不充分條件． ∴AB，∴或 即m≥9或m＞9.∴m≥9. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[9，＋∞)． 法二　∵綈p是綈q的必要而不充分條件， ∴p是q的充分而不必要條件， 由q：x2－2x＋1－m2≤0， 得1－m≤x≤1＋m， ∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 由p：≤2， 解得－2≤x≤10， ∴p：P＝{x|－2≤x≤10}． ∵p是q的充分而不必要條件， ∴PQ，∴或 即m≥9或m＞9.∴m≥9. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[9，＋∞)． [反思

36、感悟] 本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問題來解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵． 【自主體驗(yàn)】 1．(2013·山東卷改編)給定兩個(gè)命題p，q.若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的________條件． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解析　由q?綈p且綈pq可得p?綈q且綈q p，所以p是綈q的充分而不必要條件． 答案　充分不必要 2．已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，則a的取

37、值范圍是________． ①[1，＋∞)；②(－∞，1]；③[－1，＋∞)；④(－∞，－3] 解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件．故a≥1. 答案?、? 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．(2012·重慶卷改編)命題“若p，則q”的逆命題是________． 解析　根據(jù)原命題與逆命題的關(guān)系可得：“若p，則q”的逆命題是“若q，則p”． 答案　若q，則p 2．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是_____

38、___． 解析　同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題． 答案　若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2＜3 3．(2014·南通調(diào)研)“a＝2”是“直線(a2－a)x＋y＝0和直線2x＋y＋1＝0互相平行”的________條件． 解析　因?yàn)閮芍本€平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1. 答案　充分不必要 4．命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是________． 解析　由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x，y不都是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”．

39、 答案　若x＋y不是偶數(shù)，則x、y不都是偶數(shù) 5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，則“x∈A∪B”是“x∈C”的________條件． 解析　由題意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要條件． 答案　充分必要 6．(2013·鹽城調(diào)研)“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解”的________條件． 解析　x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解等價(jià)于Δ＝1－4m≥0，即m≤. 答案　充分不必要 7．已知a，b，c都是實(shí)數(shù)

40、，則在命題“若a＞b，則ac2＞bc2”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是________． 解析　當(dāng)c2＝0時(shí)，原命題不正確，故其逆否命題也不正確；逆命題為“若ac2＞bc2，則a＞b”，逆命題正確，則否命題也正確． 答案　2 8．(2014·揚(yáng)州模擬)下列四個(gè)說法： ①一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真； ②命題“設(shè)a，b∈R，若a＋b≠6，則a≠3或b≠3”是一個(gè)假命題； ③“x>2”是“<”的充分不必要條件； ④一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真． 其中說法不正確的序號(hào)是________． 解析　①逆命題與逆否命題之間不存在必

41、然的真假關(guān)系，故①錯(cuò)誤；②此命題的逆否命題為“設(shè)a，b∈R，若a＝3且b＝3，則a＋b＝6”，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，②錯(cuò)誤；③<，則－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要條件，故③正確；④否命題和逆命題是互為逆否命題，真假性相同，故④正確． 答案?、佗? 二、解答題 9．判斷命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實(shí)根”的逆否命題的真假． 解　原命題：若a≥0，則x2＋x－a＝0有實(shí)根． 逆否命題：若x2＋x－a＝0無實(shí)根，則a＜0. 判斷如下： ∵x2＋x－a＝0無實(shí)根，∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－＜0. ∴“若x2＋x－a＝0無實(shí)根，則a

42、＜0”為真命題． 10．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　p：x2－8x－20≤0?－2≤x≤10， q：x2－2x＋1－a2≤0?1－a≤x≤1＋a. ∵p?q，q p， ∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}． 故有且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，解得a≥9. 因此，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[9，＋∞)． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是________． 解析　否命題既否定題設(shè)又否定結(jié)論． 答案

43、　若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù) 2．設(shè)a，b都是非零向量．下列四個(gè)條件①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|中，使＝成立的充分條件是________． 解析　對(duì)于①，注意到a＝－b時(shí)，≠；對(duì)于②，注意到a∥b時(shí)，可能有a＝－b，此時(shí)≠；對(duì)于③，當(dāng)a＝2b時(shí)，＝＝；對(duì)于④，當(dāng)a∥b且|a|＝|b|時(shí)，可能有a＝－b，此時(shí)≠，綜上所述，使＝成立的充分條件是a＝2b. 答案　③ 3．設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________. 解析　已知方程有根，由判別式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐個(gè)分析，當(dāng)n＝

44、1,2時(shí)，方程沒有整數(shù)根；而當(dāng)n＝3時(shí)，方程有整數(shù)根1,3；當(dāng)n＝4時(shí)，方程有整數(shù)根2. 答案　3或4 二、解答題 4．設(shè)命題p：|4x－3|≤1；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴綈q?綈p，且綈p 綈q等價(jià)于p?q，且q?/ p. 記p：A＝{x||4x－3|≤1}＝，q：B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0|＝{x|a≤x≤a＋1}， 則AB. 從而且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，解得0≤a≤. 故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 第3講　簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量

45、詞 知 識(shí) 梳 理 1．簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)邏輯聯(lián)結(jié)詞 命題中的“且”、“或”、“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞． (2)命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全稱量詞與存在量詞 (1)“所有”、“任意”、“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，用符號(hào)“?x”表示“對(duì)任意x”，含有全稱量詞的命題，稱為全稱命題．全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：?x∈M，p(x)． (2)“有一個(gè)”

46、、“有些”、“存在一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞．用符號(hào)“?x”表示“存在x”，含有存在量詞的命題稱為存在性命題．存在性命題“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可以用符號(hào)簡(jiǎn)記為：?x∈M，p(x)． 3．含有一個(gè)量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x) ?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x) 辨 析 感 悟 1．邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解與應(yīng)用 (1)命題p∧q為假命題的充要條件是命題p，q至少有一個(gè)假命題．(√) (2)命題p∨q為假命題的充要條件是命題p，q至少有一個(gè)假命題．(×) 2．對(duì)命題的否定形式的理解 (3)(201

47、3·山西四校聯(lián)考改編)“有些偶數(shù)能被3整除”的否定是“所有的偶數(shù)都不能被3整除”．(√) (4)(2013·東北聯(lián)考改編)命題p：?n0∈N,2n0＞1 000，則綈p：?n∈ N, 2n≤1 000.(×) (5)(2013·四川卷改編)設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集，若命題p：?x∈A,2x∈B，則綈p：?x?A,2x?B.(×) (6)已知命題p：若x＋y＞0，則x，y中至少有一個(gè)大于0，則綈p：若x＋y≤0，則x，y中至多有一個(gè)大于0.(×) [感悟·提升] 1．一個(gè)區(qū)別　邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與日常生活中的“或”是有區(qū)別的，前者包括“或此、或彼、或兼”三種情形，后者僅

48、表示“或此、或彼”兩種情形．有的含有“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)詞的命題，從字面上看不一定有“且”“或”“非”等字樣，這就需要我們掌握一些詞語、符號(hào)或式子與邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的關(guān)系．如“并且”、“綉”的含義為“且”；“或者”、“≤”的含義為“或”；“不是”、“”的含義為“非”． 2．兩個(gè)防范　一是混淆命題的否定與否命題的概念導(dǎo)致失誤，綈p指的是命題的否定，只需否定結(jié)論．如(5)、(6)；二是否定時(shí)，有關(guān)的否定詞否定不當(dāng)，如(6)． 考點(diǎn)一　含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷 【例1】 設(shè)命題p：函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)y＝cos x的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱．則p∧

49、q為________，p∨q為________．(填“真”或“假”) 解析　函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期為＝π，故命題p為假命題；x＝不是y＝cos x的對(duì)稱軸，命題q為假命題，故p∧q為假．p∨q為假． 答案　假　假 規(guī)律方法 若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，再依據(jù)“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相對(duì)，做出判斷即可． 【訓(xùn)練1】 (2013·湖北卷改編)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次．設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為____

50、____(填序號(hào))． ①(綈p)∨(綈q)；②p∨(綈q)；③(綈p)∧(綈q)；④p∨q. 解析　命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包含以下三種情況：“甲、乙均沒有降落在指定范圍”“甲降落在指定范圍，乙沒有降落在指定范圍”“乙降落在指定范圍，甲沒有降落在指定范圍”．或者，命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”等價(jià)于命題“甲、乙均降落在指定范圍”的否命題，即“p∧q”的否定． 答案　① 考點(diǎn)二　含有一個(gè)量詞的命題否定 【例2】 寫出下列命題的否定，并判斷其真假： (1)p：?x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：?x∈R，x2＋2x＋2≤

51、0； (4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x使x3＋1＝0. 解　(1)綈p：?x∈R，x2－x＋＜0，假命題． (2)綈q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題． (3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命題． (4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題． 規(guī)律方法 對(duì)含有存在(全稱)量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：(1)將存在(全稱)量詞改寫成全稱(存在)量詞；(2)將結(jié)論加以否定．這類問題常見的錯(cuò)誤是沒有變換量詞，或者對(duì)于結(jié)論沒給予否定．有些命題中的量詞不明顯，應(yīng)注意挖掘其隱含的量詞． 【訓(xùn)練2】 (1)(2013·江門、佛山模擬)已知命題p：?x＞1，x2－1＞0，那么綈p是____

52、____． (2)命題：“對(duì)任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有實(shí)根”的否定是________． 解析　(1)特稱命題的否定為全稱命題，所以綈p：?x＞1，x2－1≤0. (2)將“任意”改為“存在”，“有實(shí)根”改為“無實(shí)根”，所以原命題的否定為“存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0無實(shí)根”． 答案　(1)?x＞1，x2－1≤0　(2)存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0無實(shí)根 考點(diǎn)三　含有量詞的命題的真假判斷 【例3】 下列四個(gè)命題 p1：?x0∈(0，＋∞)，＜； p2：?x0∈(0,1)，x0＞x0； p3：?x∈(0，＋∞)，＞x； p4：?x∈，＜x. 其中真命題

53、是________． 根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)?x∈(0，＋∞)，＞，故命題p1是假命題；由于x－x＝－＝，故對(duì)?x∈(0,1)，x＞x，所以?x0∈(0,1)，x0＞x0，命題p2是真命題；當(dāng)x∈時(shí)，＜1，x＞1，故＞x不成立，命題p3是假命題；?x∈，＜1，x＞1，故＜x，命題p4是真命題． 解析　答案　p2，p4 規(guī)律方法 對(duì)于存在性命題的判斷，只要能找到符合要求的元素使命題成立，即可判斷該命題成立，對(duì)于全稱命題的判斷，必須對(duì)任意元素證明這個(gè)命題為真，而只要找到一個(gè)特殊元素使命題為假，即可判斷該命題不成立. 【訓(xùn)練3】 (2013·開封二模)下列命題中的真命題是________

54、(填序號(hào))． ①?x∈R，使得sin x＋cos x＝；②?x∈(0，＋∞)，ex>x＋1；③?x∈(－∞，0)，2x<3x；④?x∈(0，π)，sin x>cos x. 解析　因?yàn)閟in x＋cos x＝sin≤<，故①錯(cuò)誤；當(dāng)x<0時(shí)，y＝2x的圖象在y＝3x的圖象上方，故③錯(cuò)誤；因?yàn)閤∈時(shí)有sin x

55、p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“綈p”，只是否定命題p的結(jié)論． 命題的否定與原命題的真假總是對(duì)立的，即兩者中有且只有一個(gè)為真．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答題模板1——借助邏輯聯(lián)結(jié)詞求解參數(shù)范圍問題 【典例】 (12分)已知a＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞增；命題q：不等式ax2－ax＋1＞0對(duì)?x∈R恒成立．若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求a的取值范圍． [規(guī)范解答]　∵函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞增，∴p：a＞1. 不等式ax2－ax＋1＞0對(duì)?x∈R恒成立，且a＞0， ∴a2－4a＜0，

56、解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.(5分) ∵“p∧q”為假，“p∨q”為真，∴p、q中必有一真一假．(7分) ①當(dāng)p真，q假時(shí)，{a|a＞1}∩{a|a≥4}＝{a|a≥4}．(9分) ②當(dāng)p假，q真時(shí)，{a|0＜a≤1}∩{a|0＜a＜4}＝{a|0＜a≤1}．(11分) 故a的取值范圍是{a|0＜a≤1，或a≥4}．(12分) [反思感悟] 解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把每個(gè)條件所對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍求解出來，然后轉(zhuǎn)化為集合交、并、補(bǔ)的基本運(yùn)算． 【自主體驗(yàn)】 (2014·泰州月考)命題p：關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋4＞0對(duì)一切x∈R恒成立，q：函數(shù)f(x)＝(3－2a

57、)x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　設(shè)g(x)＝x2＋2ax＋4，由于關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋4＞0對(duì)一切x∈R恒成立，所以函數(shù)g(x)的圖象開口向上且與x軸沒有交點(diǎn)， 故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2. 又∵函數(shù)f(x)＝(3－2a)x是增函數(shù)， ∴3－2a＞1，∴a＜1. 又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假． (1)若p真q假，則 ∴1≤a＜2； (2)若p假q真，則 ∴a≤－2. 綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪[1,2). 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．命題“?

58、x∈?RQ，x3∈Q”的否定是________． 解析　根據(jù)存在性命題的否定為全稱命題知． 答案　?x∈?RQ，x3?Q 2．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，則p∧綈q為________，p∨q為________．(填“真”或“假”) 解析　∵p為真，∴綈p為假．又∵q為假，∴綈q為真， ∴“p且綈q”為真，“p或q”為真． 答案　真　真 3．命題：?x∈R，sin x＜2的否定是________命題(填“真”、“假”)． 解析　命題的否定是x∈R，sin x≥2，所以是假命題． 答案　假 4．下列命題中的假命題是________． ①?x∈R，lg x＝0；②?x∈R，

59、tan x＝；③?x∈R，x3＞0；④?x∈R,2x＞0 解析　當(dāng)x＝1時(shí)，lg x＝0，故命題“?x∈R，lg x＝0”是真命題；當(dāng)x＝時(shí)，tan x＝，故命題“?x∈R，tan x＝”是真命題；由于x＝－1時(shí)，x3＜0，故命題“?x∈R，x3＞0”是假命題；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)?x∈R,2x＞0，故命題“?x∈R,2x＞0”是真命題． 答案　③ 5．已知命題p1：函數(shù)y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù)，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命題是________． 解析　命題p1是真命

60、題，p2是假命題，故q1為真，q2為假，q3為假，q4為真． 答案　q1，q4 6．命題：“?x∈R，ex≤x”的否定是________． 答案　?x∈R，ex＞x 7．若命題p：關(guān)于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－}，命題q：關(guān)于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集是{x|a＜x＜b}，則在命題“p∧q”、“p∨q”、 “綈p”、“綈q”中，是真命題的有________． 解析　依題意可知命題p和q都是假命題，所以“p∧q”為假、“p∨q”為假、“綈p”為真、“綈q”為真． 答案　綈p，綈q 8．若命題“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范

61、圍是________． 解析　當(dāng)a＝0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，由題意知得－8≤a＜0.綜上，－8≤a≤0. 答案　[－8,0] 二、解答題 9．分別指出“p∨q”、“p∧q”、“綈p”的真假． (1)p：梯形有一組對(duì)邊平行；q：梯形有兩組對(duì)邊相等． (2)p：1是方程x2－4x＋3＝0的解；q：3是方程x2－4x＋3＝0的解． (3)p：不等式x2－2x＋1＞0的解集為R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集為?. 解　(1)p真q假，∴“p∨q”為真，“p∧q”為假，“綈p”為假． (2)p真q真，∴“p∨q”為真，“p∧q”為真，“綈p”為假． (3)p假q假，∴

62、“p∨q”為假，“p∧q”為假，“綈p”為真． 10．已知c＞0，且c≠1，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f(x)＝x2－2cx＋1在上為增函數(shù)，若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍． 解　∵函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，∴0＜c＜1. 即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴綈p：c＞1. 又∵f(x)＝x2－2cx＋1在上為增函數(shù)， ∴c≤. 即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴綈q：c＞且c≠1. 又∵“p∨q”為真，“p∧q”為假，∴p與q一真一假． ①當(dāng)p真， q假時(shí)， {c|0＜c＜1}∩＝. ②當(dāng)p假，q真時(shí)，{c|c＞1}∩＝?.

63、綜上所述，實(shí)數(shù)c的取值范圍是. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．(2014·湖南五市十校聯(lián)考)下列命題中是假命題的是________． ①?α ，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；②?φ∈R，函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù)； ③?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； ④?a＞0，函數(shù)f(x)＝ln2 x＋ln x－a有零點(diǎn)． 解析　對(duì)于①，當(dāng)α＝0時(shí)，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；對(duì)于②，當(dāng)φ＝時(shí)，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x為偶函數(shù)；對(duì)于③

64、，當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3＝x－1＝，滿足條件；對(duì)于④，令ln x＝t，?a＞0，對(duì)于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，方程恒有解，故滿足條件． 答案　② 2．(2013·衡水二模)已知命題p：“?x∈R，使得x2＋2ax＋1＜0成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析　“?x∈R，x2＋2ax＋1＜0”是真命題，即不等式x2＋2ax＋1＜0有解，∴Δ＝(2a)2－4＞0，得a2＞1，即a＞1或a＜－1. 答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 3．(2014·宿州檢測(cè))給出如下四個(gè)命題： ①若“p∧q”為假命題，則p，q均為假

65、命題； ②命題“若a＞b，則2a＞2b－1”的否命題為“若a≤b，則2a≤ 2b－1”； ③“?x∈R，x2＋1≥1”的否定是“?x0∈R，x2＋1≤1”； ④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要條件． 其中不正確的命題的序號(hào)是________． 解析　若“p∧q”為假命題，則p，q至少有一個(gè)為假命題，所以①不正確；②正確；“?x∈R，x2＋1≥1”的否定是“?x0∈R，x2＋1＜1”，所以③不正確；在△ABC中，若A＞B，則a＞b，根據(jù)正弦定理可得sin A＞sin B，所以④正確． 答案?、佗? 二、解答題 4．已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不

66、等的負(fù)根；命題q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實(shí)根．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　若方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不等的負(fù)根，則解得m＞2，即命題p：m＞2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實(shí)根， 則Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0， 解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3. 因“p或q”為真，所以p，q至少有一個(gè)為真， 又“p且q”為假，所以命題p，q至少有一個(gè)為假， 因此，命題p，q應(yīng)一真一假，即命題p為真、命題q為假或命題p為假、命題q為真． ∴或 解得：m≥3或1＜m≤2， 即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,2]∪[3，＋∞)． 基礎(chǔ)回扣練——集合與常用邏輯用語　 (建議用時(shí)：60分鐘) 一、填空題 1．(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷改編)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，則A∩B＝________. 解析　∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}． 答案　{1,4} 2．(2013·合肥一模)設(shè)全集U＝R，集合M＝{x|x＞1}，P＝{x